小升初奥数思维训练第20讲：排列组合（拓展训练）（含答案解析）

第20讲排列组合

1.如下图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3

条路可走.那么，从甲地到丙地共有多少种走法？

【答案】11种

【解析】

【分析】分析题意，从甲地到丙地，先看是用加法原理还是乘法原理，判断好方法，然后简

单计算就可以了。从甲地到丙地共有两大类不同的走法，用加法原理。

第一类，由甲地途经乙地到丙地，这时，要分两步走，第一步从甲地到乙地，有4种走

法；第二步从乙地到丙地共2种走法，所以要用乘法原理，这时共有4X2种不同的走法。

第二类，由甲地直接到丙地，由条件知，有3种不同的走法。

由加法原理知，由甲地到丙地共有：4X2+3=11（种）不同的走法。

【详解】4X2+3

=8+3

=11（种）

答：从甲地到丙地有11种不同的走法。

【点睛】考察了加法原理和乘法原理的实际应用。

2.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相

同.问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？

②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

【答案】①11种②24种

【解析】

【分析】先弄清楚用加法原理还是乘法原理，先看有几大类，再看分几步.本题应注意加法

原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一

步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中

的一种做法都可以完成这件事.往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要

由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理.

①从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋

中取，共有两大类方法.所以是加法原理的问题.

②要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中

取一个，分两步完成，是乘法原理的问题.

【详解】①从两个口袋中任取一个小球共有3+8=11（种），不同的取法.

②从两个口袋中各取一个小球共有3X8=24（种）不同的取法.

答：从两个口袋任取一球有11种不同的取法，从两个口袋各取一球有24种不同的取法.

3.下图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列

只能出现一个棋子。问：共有多少种不同的放法？

【答案】576种

【解析】

【分析】由于四个棋子要一个一个地放入方格内。故可看成是分四步完成这件事。要用乘法

原理。

第一步放棋子A,A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步

放棋子B,由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B,故还剩

下9个方格可以放B,B有9种放法；第三步放C,再去掉B所在的行和列的方格，还剩

下四个方格可以放C,C有4种放法；最后一步放D,再去掉C所在的行和列的方格，只

剩下一个方格可以放D,D有1种放法，本题要由乘法原理解决。

【详解】16X9X4X1=576（种）

答：共有576种不同的方法。

【点睛】熟练掌握乘法原理是解决本题的关键。

4.如下图，要从A点沿线段走到B,要求每一步都是向右、向上或者向斜上方.问有多少

种不同的走法？

【答案】22种

【解析】

【分析】注意到，从A到B要一直向右、向上，那么，经过右图中C、D、E、F四点中的某

一点的路线一定不再经过其他的点.也就是说从A到B点的路线共分为四类，它们是分别经

过C、D、E、F的路线.

第一类，经过C的路线，分为两步，从A到C再从C到B,从A到C有2条路可走，从C

到B也有两条路可走，由乘法原理，从A经C到B共有2X2=4条不同的路线.

第二类，经过D点的路线，分为两步，从A到D有4条路，从D到B有4条路，由乘法原

理，从A经D到B共有4X4=16种不同的走法.

第三类，经过E点的路线，分为两步，从A到E再从E到B,观察发现.各有一条路.所

以，从A经E到B共有1种走法.

第四类，经过F点的路线，从A经F到B只有一种走法.最后由加法原理即可求解.

【详解】如图,

从A经C至B共有2X2=4种走法;

从A经D到B共有4X4=16种走法；

从A经E到B共有1种走法；

从A经F到B共有1种走法.

所以，从A到B共有：4+16+1+1=22种不同的走法.

答：有22种不同的走法.

5.某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中

选3人站成一排，有多少种站法？

【答案】11480种；68880种

【解析】

【分析】首先根据不同情况分，看清楚是用排列还是组合，然后再根据排列组合公式进行求

解。要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名

同学被选出的顺序无关•所以，共有C：?种不同的选法。要在42人中选出3人站成一排，那

么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出的顺序有关。所以，共有耳

种不同的站法。

P342x41x40

【详解】由组合数公式，共有。；2=需==丁।=11480种不同选法。

鸟3x2x1

由排列数公式，共有成=42X41X40=68880种不同的站法。

答：有11480种不同的选法，有68880种不同的站法。

【点睛】本题的关键是根据不同的情况确定是进行排列还是组合，选出正确的情况。

6.从8人的数学兴趣小组中选2人

(1)分别担任正副组长，有多少种不同的选法？

(2)一起参加一次数学竞赛，有多少种不同的选法?

【答案】56种28种

【解析】

【分析】注意分清排列问题和组合问题.（1）选出正副组长，有正副之分，也就是从8人中

选2人后，要进一步确认正副组长，因此是个排列问题；（2）选人参加数学竞赛没有顺序,

因此是个组合问题.

【详解】（1）利用排列公式，共有&=8X7=56种选法；

（2）利用组合公式，共有—=28种选法.

2x1

答：分别担任正副组长，有56种不同的选法；一起参加一次数学竞赛，有28种不同的选

法.

7.在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的（1）直线段

（2）三角形（3）四边形？

【答案】线段：45条三角形：120个四边形：210个

【解析】

【分析】首先观察是组合问题还是排列问题，那就要看你取的点是否与顺序有关？

很明显，你要画的三个图形都与取出点的顺序无关，所以三个问题都应该是组合问题。由

于10个点都在圆周上，因此任意三点都不共线，故只要在10个点中任取2点，就可画出

一条线段；在10个点中任取3个点，就可画出一个三角形；在10个点中任取4个点就可

画出一个四边形。

inQ

【详解】（1）Gj=」=x=45,可画出45条线段；

2x1

10x9x8

（2）4=--------=120,可画120个三角形；

3x2x1

（3）=10x9x8x7=210,画210个四边形。

4x3x2xl

答：可以画出45条线段，120个三角形，210个四边形

【点睛】本题的关键是在掌握线段、三角形、四边形的特征的基础上，合理的运用排列组

合，选出合适的情况。

8.七个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人必须排在一起，有多少种不同的排法?

【答案】720种

【解析】

【分析】首先看是排列还是组合？这道题明显是排列问题，然后你再看所要排列的各个元素

之间的关系，利用排列公式就可以了.

甲乙丙三人必须排在一起，可以用分类的方法，考虑三人在七个位置中的不同情况，如：

甲乙丙

此时甲乙丙占了头三个位置，然后再排其他四个人，最后再考虑甲乙丙三人的顺序，这种

方法比较复杂，我们可以换一种方法来考虑这个问题，由于甲乙丙要排在一起，因此我们

可以先将这三个人看作一个元素，将这个元素与其他四个元素进行排序，最后将这三个元

素排序，用这种方法大大简化了思维过程.

第一步：甲、乙、丙看作一个元素与其他四个元素排列，即五个元素进行排序：耳；第二

步：甲乙丙三个元素排序：P：.

【详解】代义G=5X4X3X2X1X3X2X1=72O

答，有720种不同的排法.

9.(1)把八本书排在上下两格书架上，每格四本，有多少种不同的排法？

(2)把八本书放在书架上，上格一本，中格三本，下格四本，有多少种排法？

【答案】(1)40320种(2)40320种

【解析】

【分析】书放在上层和下层是否相同？弄清楚是排列还是组合.很明显，书放在上层和下层

不相同，应该用乘法原理，但每层书的摆放要用排列原理，(1)八本书中先选四本排在第一

格，有种排法，再将剩下4本书排在第二格，有白种排法；

(2)八本书选一本放在上格有片种排法，再从剩下的7本中选三本放中格，有®种排

法，最后四本书放下格，有4种方法.

【详解】(1)不同的排法数是4XG4=8X7X6X5X4X3X2Xl=40320种；

(2)不同的排法是用义0X片=8X7X6X5X4X3X2X1=40320种.

答：把八本书排在上下两格书架上，每格四本，有40320种不同的排法；

把八本书放在书架上，上格一本，中格三本，下格四本，有40320种不同的排法.

10.学校乒乓球队有10名男生，8名女生，现要选8人参加区里比赛，在下列的条件下，

分别有多少种排法？

(1)恰有3名女生入选；

(2)至少有2名女生入选；

(3)最多有3名女生入选；

(4)某2名女生，某2名男生必须入选.

【答案】(1)14112种(2)42753种(3)20997种(4)1001种

【解析】

【分析】此题是个典型的组合问题，元素之间没有顺序，第⑵、⑶小题中涉及至少至多的问

题，一般可分类来解决，而至少有2名女生入选的情况有：2名，3名，4名，5名……8名

女生入选，情况较多，因此考虑从全部选法中除去没有女生的选法和恰有1名女生的选法,

这种方法称为间接法.

深度提示：(1)先选3名女生：C；,再从10名男生中选5人：C1；

(2)从全部选法中除去没有女生的选法和恰有1名女生的选法.

全部选法数

恰有1名女生入选