随机过程考试试题及答案详解1

(1)(2)F(x)(3)参数为(1)(2)F(x)(3)参数为九的指数分布，概率密度函数f(x)=九e-人,x>00,x<0，分布函数F(x)=10,x<?°，E(x)詁，D(x)詁随机过程考试试题及答案详解1、(15分)设随机过程X(t)=R-1+C,tg(O0),C为常数，R服从［0,1］区间上的均匀分布。求X(t)的一维概率密度和一维分布函数；求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。【理论基础】F(x)=Jxf(t)dt，则f(t)为密度函数;一g1 人X(t)为(a,b)上的均匀分布，概率密度函数f(x)=1b-a' ，分布函数0,其他0,x<ax一a a+b (b一a)2,a<x<b，E(x)= ，D(x)=b-a 2 121,x>b1 1 _(x_卩)2e_202厂g<x<g，g2兀⑷E(x)二卩,D(x)二◎2的正态分布，概率密度函数f(x)=1 f _分布函数F(x)=■ 'Ixe202dt,_g<x<g，若卩=0,°=1时，其为标准正态分布。o2兀_g【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。(1)因R为［0,1］上的均匀分布，C为常数，故X(t)亦为均匀分布。由R的取值范围可知,X(t)为［C,C+1］上的均匀分布，因此其一维概率密度f(x)={t' -x- ，一维分布、0,其他' 0,x<Cx一C函数F(x)=< ,C<X<C+1；t1,x>C+1⑵根据相关定义’均值函数mx(t)=EX(t)=2+C；1C相关函数RX(s，t)=E[X(s)x(t)]=3st+y(s+1)+C2；st协方差函数Bx(s，t)=E{[x(s)-mx(s)][x⑴-mx(t)]}=n(当s='时为方差函数)【注】D(x)二E(x2)-E2(x)；B(s,t)二R(s,t)—m(s)m(t)x x xx求概率密度的通解公式f(x)二f(y)Iy'(x)I二f(y)/1x'(y)It2、 (15分)设W(t),-«<t<«｝是参数为b2的维纳过程，R~N(1,4)是正态分布随机变量；且对任意的一8<t<8，W(t)与R均独立。令x(t)二W(t)+R，求随机过程&(t),-8<t<8)｝的均值函数、相关函数和协方差函数。【解答】此题解法同1题。依题意，W(t)~N(0,a2111)，R~N(1,4)，因此x(t)二W(t)+R服从于正态分布。故：均值函数m(t)=Ex(t)=1；x相关函数R(s,t)=E[x(s)x(t)]=5；x协方差函数B(S,t)二E｛[x(s)-m(s)][x(t)-m(t)]｝二4(当s=t时为方差函数)x x x3、 (10分)设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即九=180；且每个顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。【解答】此题可参见课本习题3.10题。由题意可知，每个顾客的消费额Y是服从参数为s的指数分布，由指数分布的性质可知：112E(Y)==,D(Y)=，故E(Y2)=，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营s s2 s2业额的数学期望m(8)二8x180xE(Y)；x天内商场营业额的方差b2⑻=8x180xE(Y2)。x4、(15分)设马尔可夫链的转移概率矩阵为：'0.30.70、P=00.20.8、0.700.3丿(1)求两步转移概率矩阵P⑵及当初始分布为P{X=1}=1,P{X=2}=P{X=3}=0000时，经两步转移后处于状态2的概率。(2)求马尔可夫链的平稳分布。解答】可参考教材例4.3题及4.16题1)两步转移概率矩阵'0.30.70、'0.30.70、'0.090.350.56、P⑵=PP=00.20.800.20.8=0.560.040.4、0.700.3丿卫.700.3/0.420.490.09丿当初始分布为P{X=1}=1,P{X=2}=P{X=3}=0时，0000.090.350.56、(100〕0.560.04 0.4=(0.090.350.56)0.420.490.09丿故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。(2)因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组"兀=0.3兀+0k+0.7兀TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 2 3兀=0.7兀+0.2k+0k< 2 1 2 3k=0k+0.8k+0.3k3 1 2 3k+k+k=11 1 2 3解上述方程组得平稳分布为8 7 8k=—,k=—,k= 1 23 2 23 3 235、(15分)设马尔可夫链的状态空间I={1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为：'0.30.40.300、0.60.4000P=010000000.30.7<00010丿求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。【解答】此题比较综合，可参加例4.13题和4.16题画出状态转移图如下：⑴由上图可知，状态分类为叮｛1，2,3｝；叮｛4,5｝(2)由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。A、对GA、对G1常返闭集而言，解方程组兀=0.3兀+0.6兀+0K兀=0.4兀+0.4兀+1兀兀=0.3兀+0h+0h解上述方程组得平稳分布为37259373725937905090则各状态的平均返回时间分别为15905015905037173717259B、对G2常返闭集而言，解方程组二0.3兀+1兀=0.7兀+0兀解上述方程组得平稳分布为17则各状态的平均返回时间分别为10^26、(15分)设｛N(t),t>O｝是参数为九的泊松过程，计算E[N(t)N(t+s)]。【解答】E[n(t)N(t+s)]=E[N(t)(N(t+s)-N(t)+N(t))_=E[N(t)(N(t+s)-N(t))]+E[N(t)2_=E[n(t)]E[n(t+s)-N(t)]+E[N(t)2_=九t•九s+九t+(九t)2=九t(1+九t+九s)7、(15分)考虑一个从底层启动上升的电梯。以N记在i第层进入电梯的人数。假定N相TOC\o"1-5"\h\zi i互独立，且N是均值为九的泊松变量。在第i层进入的各个人相互独立地以概率p在第j1 1 ij层离开电梯，工p=1。令O.=在第j层离开电梯的人数。ij Jj〉i计算E(O)jO的分布是什么jO与O的联合分布是什么jk【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。以N记在第i层乘上电梯，在第j层离去的人数，则N是均值为九p的泊松变量,且全部ij ij iJN..(i>0,j>i)相互独立。因此：J(1)E[O]=E[工N]=工九pjijiJTOC\o"1-5"\h\zi i⑵由泊松变量的性质知，O=工N是均值为工九p的泊松变量jijiiji i九i 九k 九k+i⑶因O与O独立，则P(OO)=P(O)P(O)=e-九• e-九= e-2入，，为期望。\o"CurrentDocument"ik ik iki! k! i!k!8(15分)一质点在1,2,3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个点之一，则在[t,t+h)内，它都以概率h+o(h)分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率p(t)及平稳分布。ij解答】参见教材习题5.2题

TOC\o"1-5"\h\z”.p(At) , 、依题意，由limij=q(i丰j)得,q..=1(i丰力，柯尔莫哥洛夫向前方程为—At j jP'=—2p(t)+p (t)+p (t),ij j i,j—1 i,j+1由于状态空间I={1,2,3}，故p(t)+p(t)+p(t)二1,

ij i,j—1 i,j+1所以p'=—2p(t)+1—p(t)=—3p