六年级数学上册 第16讲 最值问题二（教师版）全国通用

第16讲最值问题二兴趣篇1、用0,1,2，…，9这10个数字各一次组成5个两位数、、、、。请问：最大可能是多少？答案：222要让结果尽量大，那么的十位要尽量大，的十位尽量小。再让的个位要尽量大，的个位尽量小。那么可以得到。2、将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时人数最少的那组有多少人？答案：15组；1个人或2个人，因此最多可以分为15组。又，，因此人数最少的一组有1或2人。3、有11个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛多少场？答案：25场两队人数最接近的时候，比赛场次最少。要证实此结论，可采用逐步调整法：考虑初始状态是，那么把一个人从1组调到2组可以减少10场比赛，变成；再把一个人从1组调到2组可以减少1组9场比赛，增加2组1场比赛，变成……。，减少6场，增加4场；减少5场，增加5场。再调整的时候，增加的场数要比减少的多了，那么分组时的场次达到最少。分成1组5人，1组6人，那么共需比（场）。4、我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如。有的数有几种不同的表示方法，例如。请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？答案：16如果我们能找到4个数使得，那么就有。我们把质数从小到大写出来：其中最小的满足上述条件的4个数是，那么这个最小的数是。5、一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？答案：最大100；最小设三位数为。那么，它与其各位数的商为。。当且仅当时，等号成立。例，100。，a=1，c=9时分子有最小值，b=9时，分母有最大值。那么，当时，商最小，为。例，199。6、（1）在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？（2）从1至9中选取四个不同的数字填入算式中，使算式的结果小于1。这个结果最大是多少？答案：（1）；（2）（1）分子相同的情况下，分母越大，分数越小。两个分母是一位数的最简真分数之差，分母最大是，那么这两个分数的差最小是。（2）在形如的分数中，分母越大，分数和1约接近。又最大是72，因此这个结果最大是。7、如图，等腰直角三角形中，厘米。在其中作一个矩形，矩形的面积最大可能是多少？答案：4平方厘米矩形的长和宽之和是一固定值：4厘米。那么长和宽相差越小，面积越大。因此矩形面积最大为平方厘米。8、如图，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形。这个八边形的边长恰好为1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面积最大可能是多少？答案：70先把八边形补成一个矩形。那么要让八边形的面积最大，首先要让矩形的面积最大。矩形的周长为如果4条边的长度都是9，那么仅有，而实际上有1条边是由3条小线段组成的，显然不成立。那么让。这时可让上下两条边为8：，左右两边为10。此时大矩形的面积为。此时想让八边形面积最大，那么左右缺损的两个小矩形面积要尽量小，分别是。于是八边形的面积最大为。各线段长度如图。9、在的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点。请问：最多可以将多少个方格染成黑色？答案：4个把的方格表分成4个的小方格，那么为了使任意两个黑格都没有公共顶点，每个的方格中，只能有1个黑色方格，即最多可以将4个黑色方格染成黑色。例如（写1处染黑色）。10、古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦。他精通数学、物理，聪慧过人。有一天，一位将军向他请教一个问题：如图，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？答案：在下图中的地饮水先把甲乙两地和河边分别抽象为如图的两点和直线。从点做关于直线对称的点。那么现在，在直线上的任意一点到点的距离，和到点的距离相等。那么直接连接交直线于点，点就是我们所求的饮马地点。要证明这个结论很简单，只需在直线上任取一点，那么，三角形两边之和大于第三边。拓展篇1、如图所示，用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架。这个长方体的体积最大可能是多少？答案：294立方厘米设长方体的长、宽、高分别为，那么。我们知道，和相同的情况下，差越小，积越大。因此体积最大时，，体积为（立方厘米）。2、把14表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大。问：这个乘积最大可能是多少？答案：162我们要把14分成若干个自然数的和，并使他们的积尽量大，那么首先要尽量把所有数分小，但又不能太小。那分到哪个数最划算呢？我们考虑，5可以分成2和3；6可以分成3和3；7可以分成3、2、2……显然，这些自然数中不能有超过4的数。而显然也不能有1。那么我们就需要尽量分成2,3,4这几个数。对于这3个数，哪个最划算呢？我们注意到，3比4划算，，3比2划算。因此要让积最大，我们应该尽可能多的分成3，不足3的用2。如果最后剩下4怎么办呢？因为，因此剩4的时候我们不分。那么对于这道题，，乘积最大为。3、从1,2，…，9中选出8个数填入下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果。答案：，计算结果为131，要让结果最大，首先是中，乘数尽量大，除数尽量小。那么。和一定时，差越小积越大，那么。。接下来，应该让尽量小，那么乘数尽量小，加数尽量小，减数尽量大。。于是4、有13个不同的自然数，它们的和是100。其中偶数最多有多少个？最少有多少个？答案：9个；5个还剩下10，无法表示为3个不同奇数的和，那么最多有9个偶数。我们去掉一个偶数18，那么剩下28可以表示成4个不同奇数的和，那么最多可以有9个偶数。，还差3个偶数。那么我们至少去掉2个奇数，换成5个偶数。可以去掉1和19，那么剩下5个偶数的和是20，。因此最少有5个偶数。5、将6、7、8、9、10这5个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的5个乘积相加。请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？答案：312；323如图。要让乘积的和最小，那么10两边的数要尽量小。令，那么剩下8,9，，因此让。乘积的和最小为：要让乘积的和最大，那么10两边的数要尽量大。令，那么剩下6,7，，因此让。乘积的和最大为：6、有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60。这5袋糖块总共最少有多少块？答案：103块如果让任意3袋都刚好有60块，那么可以让每一袋都有20块，那么共有100块糖。现在我们想任意取3袋的总块数都超过60，那么只需在其中3袋中再加入1块糖。那么此时5袋中共有103块糖。7、已知算式的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能是多少？答案：98729984恰好能被8整除，那么我们要求的是能被8整除的各位数字不同的最大四位数。，那么9872满足条件。8、用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式。答案：要让乘积最大，首先3个三位数的百位数字必须尽量大。要分成3个能被9整除的三位数，那么必有1个数的各位和为9，那么这个数最大是621。剩下两个三位数，百位必然是8和9，那么只能是873和954。这个算式是：9、所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的一个是多少？答案：11所有不小于8的偶数，都能表示成两个偶合数之和；所有不小于13的奇数，都能表示成9和一个偶合数之和。那么最大的不能表示为两个合数之和的自然数是1110、把1至99依次写成一排，形成一个多位数：。从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数。请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？答案：最大；最小要让剩下的数尽量大，我们要让前面有尽可能多的9。1-9共9个数字，有1个9；以后每10个数，20个数字中有1个9。那么1-49中共89个数字，有5个9。我们还可以再划去15个数，那么划去505152535455565下一个最大的数字是7，剩下的数最大是。要让剩下的数尽量小，第一位是1，之后有尽可能多的0。1-10共11个数字，有1个1,1个0；以后每10个数，20个数字中有1个0。那么1-50中共91个数字，有1个1，5个0。我们还可以再划去14个数，51-60中我们可以留下6个数字，那么选择123450是最小的。剩下的数最小是。11、邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米。如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？答案：26千米一笔画问题。图中有2个奇点，但我们不是从其中一个奇点出发，因此不能一笔画出。现在题目要求走遍所有的街道，那么必然要走重。连接两个奇点，那么现在总路线多了1千米，奇点个数为0个，可以一笔画出。那么总路线为各条线段长度加起来，再加1，共26千米。12、如图，有一个长方体形状的柜子。一只蚂蚁要从左下角的点出发，沿柜子表面爬到右上角的点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来。答案：5；4条；表示略如图，把柜子展开，那么根据两点之间线段最短（三角形两边之和大于第三边），最短距离为5。共有4条这样的路线。超越篇1、一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用，因此可输入77,707这样只含数字7和0的数，并且能进行加法运算。为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？答案：21次从题目要求可知，只用“”、“”和“”键来显示“”，而。这道算式说明，如果只用“”键连续加次，就能得到。但这样的次数太多了。况且，“”键也没有发挥作用。有没有更好的解决办法呢？由题目可得我们需要尽量少按“”，而按“”的次数并没有限制，那么我们发现，这属于位值原理的灵活运用。因而我们发现，只需要按次“”然后把它们都加起来就可以了。2、用1、3、5、7、9这5个数字组成一个三位数和一个两位数,再用0、2、4、6、8这5个数字组成一个三位数和一个两位数.请问：算式的计算结果最大是多少？答案：60483要使的结果最大，那么要使的值最大，的值最小。对于位数不同的两数进行赋值，首先应把位数补齐，再从高到低赋值。要使的值最大，即让每位数字的分配方法如下：百位尽可能大，；十位两数次之，；个位最小。于是，要让两乘数的差尽量小，那么，，。的值最小，即让每位数字的分配方法如下：百位尽可能小，；十位两数次之，；个位最大。于是，要让两乘数的差尽量大，那么，。所以。3、将1、2、3、4、5、6分别填在正方体的6个面上，计算具有公共棱的两个面上的数的乘积，这样的乘积共有12个，这12个乘积的和最大是多少？答案：147易知，除了对面两个数不需相乘外，其他没两数都要相乘一次。那么我们只需要考虑怎样让对面的3组数的乘积最小即可。那么，1,6一组，2,5一组，3,4一组。12个乘积的和最大为：。4、用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式中的差最大是多少？答案：784构造数字谜如右上图，那么这个加法竖式中，其中一个加数就是所求的差，假设为。首先考虑进位：这个加法算式中最多有2次进位（否则和为4位数）。如没有进位，那么，不成立。如果有2次进位，，也不成立。那么只有1次进位，而且不可能发生在百位。可以求得：。 要让差最大，必然要让，。下面根据在哪里进位进行讨论。（1）如果进位发生在个位，那么，此时（进位得1，与重复）。我们可以发现，此时无法安排的取值。因此进位不会发生在个位。（2）如果进位发生在十位，那么，那么的最大值是8。此时个位不进位，可以选择的只有。为了让尽量大，那么我们选择，。那么我们可以得到：。 综上，差最大为7845、有的偶数可以写成两个奇合数之和，例如，。所有不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的一个是多少？答案：38，那么任何大于34的除以3余1的数都可以表示成25加上一个3的倍数的奇合数的形式；任何大于44的除以3余2的数都可以表示成35加上一个3的倍数的奇合数的形式。因此不小于44的偶数是肯定满足条件的。又都满足，因此不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的是386、如图，有一个圆锥形沙滩的底面直径为2厘米，母线的长度为6厘米。请问：（1）如果一只蚂蚁想从点去点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线（蚂蚁只能在圆锥表面走）；（2）如果一只蚂蚁需要由点出发到达线段上（可以到其上的任意一点），那么最短路线应该怎么走？（1）把圆锥的侧面展开，两点之间线段最短，如下图所示；（2）同样先把圆锥的侧面展开。点到直线垂线段最短，如下图所示7、如图，一个边长为10的正方形四个角剪去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？答案：设减去的小正方形的边长是，那么长方体的容积是：要求这个式子的最大值。我们知道，如果几个数的和固定，那么要它们的积最大，只需要这几个数的差尽量小就可以了。可是这里面3个数的和为，不固定。那么我们可以考虑这3个数：，这3个数的和是20，积是的4倍。而