苏科版九年级数学上册《第二章对称图形-圆》单元测试卷【含答案】

苏科版九年级数学上册第二章对称图形-圆单元测试题

一、单选题（共10题；共30分）

1.如图，已知圆心角NBOC=100。，则圆周角/BAC的大小是（）

A.505B.1005C.1309D.200。

A

【考点】圆周角定理

【分析】根据圆周角定理可直接求出答案.

根据圆周角定理，可得：ZA=iZBOC=50°.

故选A

，点部7本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半.

2.如图所示，从。。外一点A引圆的切线AB,切点为B,连接AO并延长交圆于点C,连接BC,已知

ZA=26°,则/ACB的度数为（）

A.32°B.30°C.26°D,13°

A

【考点】圆周角定理，切线的性质

连接OB,

・.,AB切。0于点B,

.*.ZOBA=90°,

VZA=26°,

.•.ZAOB=90°-26°=64o,

AZACB=-ZAOB=64°=32°.

22

故A.

【分析】连接OB,根据切线的性质得出NOBA=90。，，由三角形的内角和得出/AOB=9CT-260=64。，，根据

圆周角定理即可得出答案。

3.如图，ZAOB=100°,则如A+NB等于（）

A.100°B.80°C.50°D.40°

C

【考点】圆周角定理

【分析】连接CO并延长交圆于点D,根据圆周角定理即可得到结果。

连接CO并延长交圆于点D

所以/A=NAC。；ZB=ZBCO

可得/A+NB=1ZAOD+|ZBOD=g/AOB=50°.

故选C.

【点评】辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一

个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需

多加关注。

4.已知圆锥的底面半径为6,母线长为8,圆锥的侧面积为（）

A.60B.48C.60nD.48Tt

D

【考点】圆锥的计算

解：圆锥的侧面积=g•2TI・6X8=48TI.故D.【分析】可利用圆锥侧面积公式S1M=nra（r为底面半径，a

为母线长）

5.在半径为6的中，120。圆心角所对的弧长是（）

A.nB.2nC.4nD.6n

C

【考点】弧长的计算

解：根据弧长的公式I喏

得到：iJO"X6=4n

180

故选：C.

【分析】根据弧长的公式求解即可.

180

6.如图，已知。。的直径ABL弦CD于点E.结论一定正确的是（)

A.AE=OEB.CE=DEC.OE=CED.XAOC=60°

B

【考点】垂径定理

【分析】根据垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦即可判断.

VO0的直径AB_L弦CD,

.\CE=DE.

故选B.

7.如图，00的弦AB=8,M是AB的中点，且OM=3,则。。的半径等于（）

A.8B.4C.10D.5

D

【考点】垂径定理

【分析】连接GA，即可证得△OAM是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM,根据勾股定理即可求得

OA的长.

；M是AB的中点，

.\OM1AB,且AM=4

在直角△OAM中，04=7AW+OM2=5

故选D.

（点用J本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，根据垂径定理求得AM的长，证明△OAM是直角三角

形是解题的关键.

8.如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过点P,且CD=13,PD=4,则两圆

组成的圆环的面积是（

A.16nB.36nC.52TlD.81n

【考点】勾股定理，垂径定理，切线的性质，相交弦定理

解：连接OP、0B...•大圆的弦AB与小圆相切于点P,

AOPlAB,

PA=PB.

VCD=13,PD=4,

PC=9.

根据相交弦定理，得PA=PB=6,

2

则两圆组成的圆环的面积是由圮2-rtOp2=71PB2=:AB=36n.

故选B.

【分析】连接。P,先根据切线的性质定理和垂径定理证出PA=PB,再根据相交弦定理求得AB的长，最后

根据圆环的面积公式进行计算即可求解.

9.已知。。的半径为2,点P是。0内一点，且0P=遮，过P作互相垂直的两条弦AC、BD,则四边形ABCD

面积的最大值为（）

【考点】垂径定理

解：如图：连接OA、0D,作OE_LAC于E,OF_LBD于F,

/ACIBD,

四边形OEPF为矩形，

V0A=0D=2,0P=V3，

设OE为x(x>0),

根据勾股定理得，OF=EP=y/OP2-OE2=强二?，

在RtAAOE中，AE=yJOA2-OE2=

；.AC=2AE=2V4-%2，

同理得，BD=2DF=2>JOD2-OF2=2VFTT，

又；任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的|,

AS四边形ABCD=|ACxBD=1x2x2疡不T=27(4-x2)(x2+1)=2J-(x2-1)2+^

当x2=,即：X=2^时，四边形ABCD的面积最大，等于25=5.

B.

【分析】作出弦心距，根据S四.ABCD=对角线乘积的一半，列出函数关系式，配成顶点式，求出最值.

10.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E,连接CE,作BFLCE,

垂足为F,则tan/FBC的值为()

D

【考点】勾股定理，垂径定理的应用，确定圆的条件，锐角三角函数的定义

解：；以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E,

,BE=BC=5,

；.AE=y/BE2-AB2=V52-32=4，

/.DE=AD-AE=5-4=1,

；.CE=VCD2+DE2=V32+l2=V10，

VBC=BE,BF1CE,

...点F是CE的中点，

；.CF=lcE=—，

22

BF=VBC2-CF2=卜_(%2=呼,

VTo

/.tanZFBC=黑=血=-，

2

即tanZFBC的值为1.

故D.

【分析】首先根据以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E,判断出BE=BC=5,然后根据勾股定理计算AE、

DE、CE,根据垂径定理BC=BE,BF±CE,判断出F是CE的中点，求出CF、BF的值各是多少，最后根据正

切值是对边比邻边求出tanZFBCo

二、填空题（共10题；共30分）

11.如图，点A、B、C都在。。上，OC1OB,点A在劣弧B'C上，且。A=AB,则NABC=.

CA

15°

【考点】圆周角定理

解：；0A=0B,0A=AB,

A0A=0B=AB,

即aOAB是等边三角形，

；./AOB=60。，

VOC±OB,

；./COB=90°,

.".ZCOA=90°-60°=30°,

.,.ZABC=15°,

故15°

【分析】首先判断出^OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质及垂直的定义，角的和差得出/COA的

度数，根据圆周角定理即可得出NABC的度数。

12.如图，点A,B,C,D分别在。。上，AB=AC,若NAOB=40。，则/ADC的大小是度.

【考点】圆周角定理

详解：•布=衣，AZADC=ZAOB=3x40-=20°.故20

【分析】根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可直接得出答案。

13.如图，AB是半圆。的直径，ZBAC=35°，则ND的大小是度

C

125

【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质

VAB是半圆0的直径

ZACB=90"

ZABC=90°-35°=55°

.*.ZD=180o-55o=125°

【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得NACB=90。，则NABC的度数可求，再根据圆内接四边形的对

角互补可求/D的大小。

14.如图，圆锥的母线长是3,底面半径是1,A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点

的最短的路线长是.

3V3

【考点】平面展开-最短路径问题，圆锥的计算，特殊角的三角函数值

解：..•图中扇形的弧长是2n,根据弧长公式得到2n=药

180

...n=120。即扇形的圆心角是120°

弧所对的弦长是2x3sin60°=3百

【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形

的弧所对弦，转化为求弦的长的问题.

15.已知RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点。和M分别为Rt/XABC的外心和内心，线段OM的长为

V5

【考点】三角形的内切圆与内心

解：如图，作△ABC的内切圆。M,过点M作MD_LBC于D,ME_LAC于E,MN_LAB于N.

在RtZ\ABC中，VZACB=90°,AC=6,BC=8,

•••AB=VAC2+"2=10.

♦.•点。为^ABC的外心,

，A。为外接圆半径，A0=1AB=5.

设。M的半径为r,则MD=ME=r,

XVZMDC=ZMEC=ZC=90°,

四边形IECD是正方形，

；.CE=CD=r,AE=AN=6-r,BD=BN=8-r,

VAB=10,

8-r+6-r=10,

解得r=2,

，MN=r=2,AN=6-r=4.

在RtAOIN中,VZMNO=90°,ON=AO-AN=5-4=1,

/.OM=VMW2+O/V2=V5.

故答案是：V5.

【分析】作^ABC的内切圆（DM,过点M作MD_LBC于D,ME_LAC于E,MN_LAB于N.先根据勾股定理

求出AB=1O,得到^ABC的外接圆半径AO=5,再证明四边形MECD是正方形，根据内心的性质和切线长

定理，求出OM的半径r=2,则ON=1,然后在RtZiOMN中，运用勾股定理即可求解.

16."圆材埋壁"是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题："今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯

锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为："如图，CD为。二。的直径，弦ABJ_CD于

E,CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长（1尺=10寸）贝UCD=________.CpF_大----------P

26寸

【考点】勾股定理，垂径定理的应用

解：连接0A,如图所示，设直径CD的长为2x,则半径OC=x,

：CD为。。的直径，弦AB_LCD于E,AB=10寸，

；.AE=BE=-AB=-xl0=5寸，

22

连接0A,则OA=x寸，

根据勾股定理得x2=52+（X-1）2,

解得x=13,

CD=2x=2xl3=26（寸）.

故26寸.

【分析】根据垂径定理和勾股定理求解.

17.如图，边长为2的正方形ABCD内接于。0,过点D作。。的切线交BA延长线于点E,连接E。，交AD

【考点】勾股定理，正方形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质

解：连接0D,作。H1.AD于H,

•:正方形ABCD内接于

；.0D平分NADC,即NADO=45。,

.♦.△OHD为等腰直角三角形，

.•.OH=DH,

：OH_LAD,

.".AH=DH=OH=1,

；DE为切线,

AOD1DE,

，NEDA=45°,

.•.△EAD为等腰直角三角形，

；.AE=AD=2,

VAEZ/OH,

AAAEF^AHOF,

.AFAE2

..——=——=-.

HFOH1

22

AAF=-AH=-,

在RtAAEF中，EF=心+(|)2=蜉.

故答案为|V10.

【分析】连接OD,作OHLAD于H,利用正方形的性质得△OHD为等腰直角三角形，由垂径定理得

AH=DH=OH=1,由切线的性质及等腰三角形的性质得AE=AD=2,由相似三角形的判定得△AEFS/\HOF,再

由相似三角形的性质得装=若找到AF及AH的长度，最后利用勾股定理求出EF.

HF0H

18.矩形ABCD中，AB=5,AD=12,将矩形ABCD按如图所示的方式在直线1上进行两次旋转，使点B旋转

到B”点，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是(结果保留7T)

25a

2

【考点】弧长的计算，旋转的性质

解：；矩形ABCD

.*.ZBAD=90o

在RtZ\BAD中，AB=5,AD=12,

/•BD=>JAB2+AD2=752+122=13

•.•将矩形ABCD按如图所示的方式在直线1上进行两次旋转，使点B旋转到B"点,

，BD=DB'=13,EB"=EB'=AD=12,ZBDB'=ZB'EB"=90°

...弧BB'的长为：9。"泣3=丝

1802

弧B"B’的长为：90"X12=6n

180

.•.点B在两次旋转过程中经过的路径的长：等+6口

故等

【分析】先根据勾股定理求出BD的长，再根据旋转的性质得出BD=DB'=13,EB"=EB'=AD=12,

ZBDB'=ZB'EB"=90\然后利用弧长公式分别计算出弧BB\B”B，的长，再求出它们的和即可。

19.如图，AB是。。的弦，AB=4,点C是。0上的一个动点，且NACB=45。.若点M,N分别是AB,BC的

中点，则MN长的最大值是

2V2

【考点】勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理

•.•点M,N分别是AB,BC的中点,

AMN^AC,

当MN长最大时，即AC长最大,

...当AC为圆的直径时，如图，

；.NABD=90°,

VAB=4,ZACB=45",

；./ADB=NBAD=45°,

/.AB=DB=4,

；.AD=4企,

.".MN=^AC=2V2，

故2y/2.

【分析】根据中位线性质得MN^AC,从而知道当MN长最大时，即AC长最大，根据直径所对的圆周角为

90。得NABD=90。，在RtZ\ABD中，根据勾股定理即可得AD的长，再得出MN长.

20.（岳阳）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了"割圆术"，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越

接近圆周长，由此求得了圆周率n的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L,圆的直径为d,如

L

图所示，当n=6时,d=（结果精确到0.01,参考数据:

sinl50=cos750=0.259)

3.10

【考点】正多边形和圆，解直角三角形

解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成如图所示的十二个等腰三角形，其顶角为30。，即/0=30。,

ZABO=ZA=75°,作BC_LAO于点C,则NABC=15。，

：AO=BO=r,

•.皿Ir,OC=iV3r,

.*.AC=(1-1V3)r,

,/RtAABC中，cosA=—,

AB

即0.259=,

AB

AAB-0.517r,

AL=12x0.517r=6.207r,

XVd=2r,

故3.10

【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为30。的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根

据中心角的度数以及半径的大小，求得L=6.207r,d=2r,进而得到正”誓=3.10.

三、解答题（共8题；共60分）

21.如图。。是aABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10,BC=12,求。。的半径.

BD

解：如图，连接OB.

在RtAABD中，AD=7AB2-BD2="00-36=8.

设圆的半径是R.

则OD=8-R.

在RtZ\OBD中，根据勾股定理可以得到：R2=36+(8-R)2

解得：R=v.

4

【考点】勾股定理，垂径定理

【分析】连接OB,根据垂经定理求出BD的长，在RtZXABD中由勾股定理求得AD=8,设圆的半径是R,

则OD=8-R,在RtZXOBD中由勾股定理可求得R的值.解答此题的关键是作出辅助线0B.注意：垂径定理和

勾股定理常常在一起中应用.

22.已知：如图，MN、PQ是。。的两条弦，且QN=MP,求证：MN=PQ.

证明：：QN=MP,弧QN=MMP,.•.弧MN=MPQ,；.MN=PQ

【考点】圆心角、弧、弦的关系

【分析】根据等弧所对的弦相等可得结论。

23.如图，PA,PB分别与。。相切于点A,B,连接AB,ZAPB=60°,AB=5,求PA的

解：：PA,PB分别与。0相切于点。B,；.PA=PB,

VZAPB=60°,

APAB是等边三角形，

.♦.AB=PA=5

【考点】切线的性质

【分析】由切线长定理可得PA=PB,由NAPB=60。可得4PAB是等边三角形，从而得出答案.

24.点I为AABC的内心，AI的延长线交AABC的外接圆于D,以D为圆心，DI为半径画弧，是否经过点B

与点C?说明理由.

证明：连接BI,

VI是4ABC的内心，

.*.ZBAD=ZDAC,ZABI=ZCBI,

.AA

••BD=CD

：.BD=DC,

VZBID=ZABI+ZBAD,ZIBD=ZCBI+ZDBC,

VZCAD=ZBAD=ZDBC,

.,.ZDBI=ZBID,

/.BD=DI,

.".BD=CD=ID,

...以D为圆心，DI为半径画弧，必经过点B与点C.

【考点】三角形的内切圆与内心

【分析】连接BI,根据三角形的内切圆的意义和圆周角定理得到BD=DC,根据三角形外角性质求出

ZIBD=ZBID,根据等腰三角形的判定求出BD=ID即可.

25.AB为。0直径，BC为。。切线，切点为B,CO平行于弦AD,作直线DC.

①求证：DC为。0切线；

②若AD・0C=8,求。0半径r.

证明：①连接OD.

；OA=OD,

AZA=ZADO.

：AD〃OC,

.,.ZA=ZBOC,NADO=NCOD,

.,.ZBOC=ZCOD.

:在△OBC与△ODC中，

OB=OD

{ZBOC=/DOC,

OC=OC

/.△OBC^AODC(SAS),

.*.ZOBC=ZODC,

又•；BC是。。的切线，

；.NOBC=90°,

.,.ZODC=90°,

；.DC是。。的切线；

②解：连接BD.

ZA=/COD

;在aADB与△ODC中，{

ZADB=NODC=90°

.".△ADB^AODC,

AAD：OD=AB：OC,

AAD«OC=OD»AB=r«2r=2r2,即2r2=8,

故r=2.

【考点】切线的判定与性质

【分析】①连接0D,要证明DC是。。的切线，只要证明NODC=90。即可.根据题意，可证△OCDg/^OCB,

即可得/CDO=/CBO=90。，由此可证DC是。。的切线；②连接BD,0D.先根据两角对应相等的两三角

形相似证明△ADBS^ODC,再根据相似三角形对应边成比例即可得到r的值.

26.如图1,。。的半径r=g,弦AB、CD交于点E,C为弧AB的中点，过D点的直线交AB延长线于点

F,且DF=EF.

(1)试判断DF与。。的位置关系，并说明理由；

(2)如图2,连接AC,若AC〃DF,BE=|AE,求CE的长.

证明：(1)如图1,

连接OC、OD；

；C为弧AB的中点，

.\OC±AB,ZOCE+ZAEC=90°；

ADF=EF,

.,.ZFDE=ZFED=ZAEC；

VOA=OC,

.".ZOCE=ZODC,

.".ZODC+ZCDF=90°,

即ODJ_DF,

ADF与。O相切.

(2)如图2,

连接OA、OC；

由(1)知。C_LAB,

，AH=BH；

VACZ/DF,

.\ZACD=ZCDF；而EF=DF,

；.NDEF=NCDF=NACD,

；.AC=AE；

设AE=5入，则BE=3人，

；.AH=4入，HE=X,AC=AE=5入；

...由勾股定理得：CH=3人；

CE2=CH2+HE2=9X2+X2,

.,.CE=VTOA；

在直角△AOH中，由勾股定理得：

AO2=AH2+OH2,

即r2=(r-3入)2+(4人)2,

解得：人脸，《令2,

.*.CE=2V10.

【考点】切线的判定

【分析】(1)如图，作辅助线；证明NODC+NCDF=90。，即可解决问题.

(2)如图，作辅助线；证明。H_LAB,AH=4入，此为解题的关键性结论；证明CE=gM列出方程产=(r

-3X)2+(4X)2,求出入帚啖令2,即可解决问题.

27.如图，AB是。0的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与。。相切于点D,弦DFJ_AB于点E,线段

CD=10,连接BD；

(1)求证：ZCDE=ZDOC=2ZB；

(2)若BD：AB=V3：2,求。。的半径及DF的长.

(1)证明：•.•直线CD与③。相切于点D,

.,.OD±CD,ZCDO=90",

.,.ZCDE+ZODE=90°.

又：DF_LAB,

.".ZDEO=ZDEC=90°,

.".ZCOD+ZODE=90°,

/.ZCDE=ZCOD.

又：/E