532函数的极值与最大（小）值（十二大题型）（原卷版）

5．3．2函数的极值与最大（小）值【题型归纳目录】题型一：求函数的极值题型二：由极值求参数的值或取值范围题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题题型四：不含参函数的最值问题题型五：含参函数的最值问题题型六：由函数的最值求参数问题题型七：导数在解决实际问题中的应用题型八：利用导数研究函数的极值与最值问题题型九：利用导数研究恒成立问题题型十：利用导数研究不等式问题题型十一：利用导数证明不等式题型十二：利用导数研究零点问题【知识点梳理】知识点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．知识点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较．（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值．（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．（二）用导数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法）知识点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点．②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异．知识点二、函数的最值（一）函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如．知识点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得．②函数的极值可以有多个，但最值只有一个．（二）求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值．知识点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值．（三）最值与极值的区别与联系①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值．知识点三、函数极值与最值的简单应用1、不等式恒成立，求参数范围问题．一些含参不等式，一般形如，若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题．若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论．2、证不等式问题．当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题．3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题．【典型例题】题型一：求函数的极值例1．（2024·高二课时练习）求下列函数的极值.(1)；(2).例2．（2024·高二课时练习）求下列函数的极值.(1)；(2).例3．（2024·高二课时练习）求下列函数的极值.(1)；(2).变式1．（2024·福建·高二校联考）已知函数在时取得极小值为(1)求的值；(2)令，证明：．【方法技巧与总结】函数极值和极值点的求解步骤（1）确定函数的定义域．（2）求方程的根．（3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况．题型二：由极值求参数的值或取值范围例4．（2024·江西宜春·高二校考期末）若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例5．（2024·甘肃兰州·高二兰州一中校考阶段练习）已知函数在处有极值0，则实数的值为（

）A．4 B．4或11 C．9 D．11例6．（2024·高二课时练习）已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．变式2．（2024·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）已知是函数的极大值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式3．（2024·安徽安庆·高二安庆一中校考）已知函数的一个极值点为2，则的最小值为（

）A． B． C． D．7【方法技巧与总结】已知函数的极值求参数的方法（1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．（2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题例7．（2024·贵州遵义·高二统考期末）已知函数，若函数在处取得极值．(1)求实数的值；(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围．例8．（2024·河北·高二校联考阶段练习）已知函数．(1)求的极值；(2)若函数，讨论的零点个数．例9．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）设函数．(1)当时，求的极值；(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围．【方法技巧与总结】（1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．（2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．题型四：不含参函数的最值问题例10．（2024·湖北·高二期末）函数的最小值为.例11．（2024·高二课时练习）若函数在区间上的最大值、最小值分别为m，n，则.例12．（2024·重庆江北·高二重庆十八中校考）函数的最小值是．变式4．（2024·山东济宁·高二嘉祥县第一中学校考）函数的最小值为，函数的最小值为.变式5．（2024·四川雅安·高二校考阶段练习）设曲线在点处的切线方程为（其中，a，，是自然对数的底数）.(1)求a，b的值；(2)求在区间上的最大值和最小值.【方法技巧与总结】求函数最值的步骤（1）求函数的定义域．（2）求，解方程．（3）列出关于，，的变化表．（4）求极值、端点处的函数值，确定最值．注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．题型五：含参函数的最值问题例13．（2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知函数(1)当时，求极值：(2)当时，求函数在上的最大值．例14．（2024·宁夏银川·高二校考期末）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)求函数在区间上的最小值．例15．（2024·高二课时练习）已知函数，求函数在区间上的最小值．【方法技巧与总结】含参数的函数最值问题的两类情况（1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．（2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．题型六：由函数的最值求参数问题例16．（2024·黑龙江鸡西·高二校考期末）若函数的最小值为，则实数（

）A． B． C．4 D．例17．（2024·云南昭通·高二校考）函数在内有最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例18．（2024·陕西西安·高二）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．变式6．（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）函数，的最小值为1，则实数的值为（

）A．1 B． C．3 D．【方法技巧与总结】已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题．题型七：导数在解决实际问题中的应用例19．（2024·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额R（单位：元）与日产量满足函数关系式：，已知每日的利润，且当时．(1)求的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．例20．（2024·河北张家口·高二校联考阶段练习）某玩具厂生产某种产品件的总成本：，又产品单价的平方与产品件数成反比，销售100件这样的产品的单价为50元.(1)试写出总利润关于产品销售的件数的函数关系式；(2)求当定为多少件，总利润最大.例21．（2024·安徽宿州·高二江西省泰和中学校联考）某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足．(1)写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；(2)今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？（参考数据：，，，）变式7．（2024·浙江杭州·高二校考阶段练习）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车售价800万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：百辆）的函数关系；（利润＝销售额－成本）(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【方法技巧与总结】解决最优问题应从以下几个方面入手（1）设出变量，找出函数关系式，确定定义域．（2）在实际应用问题中，若函数在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．题型八：利用导数研究函数的极值与最值问题例22．（2024·浙江温州·高二温州中学校考阶段练习）已知函数有两个极值点为，.(1)当时，求的值；(2)若（为自然对数的底数），求的最大值.例23．（2024·浙江嘉兴·高二校联考）已知函数.(1)若，求在定义域内的极值；(2)当时，若在上的最小值为，求实数的值．例24．（2024·山东枣庄·高二统考期末）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间上既有最大值又有最小值，求a的取值范围．变式8．（2024·江苏苏州·高二统考期末）已知函数．(1)求的极小值；(2)求在区间上的最大值和最小值．变式9．（2024·重庆江北·高二重庆十八中校考阶段练习）函数，(1)若，求的极值；(2)若，设的最大值为，求的范围.【方法技巧与总结】（1）已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义．（2）讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即的正负．（3）将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值是最大值，最小的那个值是最小值．题型九：利用导数研究恒成立问题例25．（2024·江苏宿迁·高二校考）已知函数在和处取得极值.(1)求的值及的单调区间；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.例26．（2024·山东淄博·高二校考阶段练习）（1）已知对于恒成立，求实数的取值范围；（2）已知函数，若不等式在R上恒成立，试求a的取值范围.例27．（2024·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数．(1)当时，求的极值；(2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围．变式10．（2024·江苏常州·高二统考期末）已知函数，，且.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若对于区间上的任意两个实数，，都有，求实数的最小值.【方法技巧与总结】解决不等式恒成立问题，有两种求解方法．一种是转化为求最值，另一种是分离参数．分离参数求解不等式恒成立问题的步骤题型十：利用导数研究不等式问题例28．（2024·湖北武汉·高二武汉市育才高级中学校联考期末）已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．例29．（2024·陕西渭南·高二统考期末）已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（

）A． B．C． D．例30．（2024·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期末）已知函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．变式11．（2024·高二课时练习）已知为偶函数，且，令，若时，，关于的不等式的解集为（

）A．或 B．C． D．或【方法技巧与总结】解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决．题型十一：利用导数证明不等式例31．（2024·全国·高二专题练习）当时，证明：不等式.例32．（2024·北京东城·高二北京二中校考）已知函数．(1)时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)证明不等式恒成立．例33．（2024·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知函数在处取得极值.(1)求实数的值;(2)证明:对于任意的正整数,不等式成立.变式12．（2024·陕西商洛·高二校考）已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)当时，证明：不等式在上恒成立．变式13．（2024·全国·高二专题练习）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若对恒成立，求k的取值范围；(3)求证：对，不等式恒成立.【方法技巧与总结】利用导数证明不等式（比较大小）常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考察这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．题型十二：利用导数研究零点问题例34．（2024·安徽安庆·高二安庆一中校考）已知函数．(1)求函数的极值点；(2)若函数有且只有两个零点，求实数的值．例35．（2024·四川眉山·高二眉山市彭山区第一中学校考阶段练习）已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直.(1)求函数的解析式；(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围.例36．（2024·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考）已知函数(1)当时，求函数的极值(2)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围变式14．（2024·北京东城·高二东直门中学校考）已知函数，.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)求在区间上的最小值；(3)当时，求函数的零点个数.（只需写出结论）变式15．（2024·安徽滁州·高二校联考阶段练习）已知函数．(1)当时，求的单调区间和极值；(2)若有两个零点，求的取值范围．【方法技巧与总结】解决零点问题，有两种求解方法．一种是直接法，另一种是分离参数转化为两图像交点问题．【过关测试】一、单选题1．（2024·广西·模拟预测）设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2024·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线：相切，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2024·河南省直辖县级单位·高二校考期末）如右图所示为的图像，则下列判断正确的是

（

）①在上是增函数；②是的极小值点；③在上是单调递减，在上是单调递增；④是的极小值点A．①②③ B．①③④ C．③④ D．②③5．（2024·陕西西安·校联考模拟预测）方程有两个不等的实数解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（2024·陕西西安·校联考模拟预测）已知是函数的极小值点，则（

）A． B． C．2 D．7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2024·全国·模拟预测）函数在区间上的最大值与最小值分别为（

）A．， B．， C．， D．，二、多选题9．（2024·江苏连云港·高二校考期末）已知函数的定义域为R且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的减区间是，B．函数的减区间是，C．是函数的极小值点D．是函数的极小值点10．（2024·高二课时练习）