第07讲二项式定理（人教A版2019选择性）

第07讲二项式定理【人教A版2019】·模块一二项式定理·模块二二项式系数的性质·模块三课后作业模块一模块一二项式定理1．二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有

=++++++.(*)

公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2,,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=.(2)二项展开式的规律

①二项展开式一共有(n+1)项.

②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列.

③每一项中a和b的幂指数之和为n.【考点1求二项展开式】【例1.1】（2023下·北京通州·高二统考期中）二项式x+23的展开式为（

A．x3+6xC．x3+12x【解题思路】由二项式定理求解.【解答过程】二项式x+23==x故选：B.【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）下列不属于x−23的展开式的项的是（

A．x3 B．6x2 C．12x【解题思路】按照二项式定理直接展开判断即可.【解答过程】由二项式定理可知，(x−2)3=x故选：B.【变式1.1】（2023下·江苏连云港·高二统考期中）x−yx+y10展开式中的项数为（A．11 B．12 C．22 D．2【解题思路】x−yx+y10=【解答过程】因为(x+y)所以xy则x−yx+y10=共有12项，故选：B．【变式1.2】（2023下·高二课时练习）(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于（

）A．9 B．10 C．11 D．8【解题思路】利用二项式定理的知识即可求解.【解答过程】因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10.故选:B.【考点2

求展开式的特定项或特定项的系数】【例2.1】（2023·西藏拉萨·统考一模）二项式2x−1x3A．160 B．−80x C．80x3 【解题思路】根据二项式展开式公式即可求解.【解答过程】因为Tk+1=C故选：C．【例2.2】（2023下·福建三明·高二校考阶段练习）在x−1x24的展开式中，A．−4 B．4 C．−6 D．6【解题思路】写出x−1x24的二项展开式的通项公式，再进行整理化简，要求【解答过程】x−1x24的第由4−3r=1得r=1，∴x−1x24的展开式中故选：A.【变式2.1】（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）在x+2xA．1 B．3 C．6 D．12【解题思路】根据二项式定理，得出x+【解答过程】因为x+2x3展开式的第令3−3r=0，则r=1，所以常数项为T2故选：C.【变式2.2】（2023下·广东珠海·高二校考期中）若(x+a)5的展开式中x2的系数是80，则实数a的值是（A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】求出(x+a)5展开式的通项，令x的系数为2可得x【解答过程】(x+a)5展开式的通项为令5−r=2⇒r=3，可得x2系数为C可得a=2．故选：B.模块二模块二二项式系数的性质1．二项式系数的性质(1)杨辉三角——二项式系数表

当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数：从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结果，由此我们可以发现以下性质：

①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的二项式系数相等.

②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.

③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.

④第一行的两个数之和为2=，第二行的三个数之和为4=，，第六行的各数之和为，，第n行的(n+1)个数之和为.(2)二项式系数的性质对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即)增减性当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值最大值当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大各二项式

系数的和【考点1

用赋值法求系数和问题】【例1.1】（2023上·福建莆田·高二校考期末）若(1+x)9=a0+A．1 B．513 C．512 D．511【解题思路】利用赋值法，先令x=0，求出a0，再令x=1，求出a【解答过程】令x=0，得a0=1，令x=1，得所以a1故选：D.【例1.2】（2023下·重庆·高二统考期末）已知1−4x2023=a0+A．−2 B．−1 C．0 D．1【解题思路】令fx=1−4x【解答过程】令fx=1−4x所以，a=f1故选：A.【变式1.1】（2023下·高二单元测试）若1+2x21=a0+A．－2 B．－1 C．1 D．2【解题思路】利用赋值法，先取x=0得a1=1，再取【解答过程】取x=0，得a1再取x=−12，得所以−a故选：B.【变式1.2】（2023下·广东湛江·高二校考期中）若(2x−1)10=a0A．a1+aC．a2=160 【解题思路】分别令x=0、x=1可判断A；转化为求2x+110的各项系数之和，令x=1可判断B；利用通项公式可判断C；分别令x=0、x=【解答过程】对选项A，2x−110令x=0，得a0=1，令x=1，得所以a1对选B，因为2x−110所以a0+a令x=1，则a0对选项C，a2x2对选项D，因为2x−110=a令x=12，则则a1故选：D.【考点2多项式积的展开式中的特定项问题】【例2.1】（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）1−2xy(x+y)6的展开式中A．55 B．−70 C．65 D．−25【解题思路】根据(x+y)6【解答过程】含x4y2所以展开式中x4y2故选：D【例2.2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）若4x−mx−25的展开式中的x3的系数为−600，则实数m=A．8 B．7 C．9 D．10【解题思路】求出x−25展开式的通项公式，进而根据x【解答过程】由题意知，x−25展开式的通项公式为C故x3的系数为4×解得m=7.故选：B．【变式2.1】（2023·全国·模拟预测）1+x+13xA．120 B．80 C．60 D．40【解题思路】利用3x+2【解答过程】3x+2而1+x+1对于3x+2对于x3x+23x5对于13x3x+23故1+x+13x故选：A．【变式2.2】（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）在2x+ax+2x6的展开式中，x2A．3204 B．−160 C．160 D．−320【解题思路】根据二项式定理即可求解.【解答过程】x+2x6若2x⋅由k∈N，得7−2k≠2若a⋅令6−2k=2，解得k=2则a解得a=−2因为7−2k≠0，在−2Tk+1中，令6−2k=0，解得所以展开式中的常数项为−2C故选：D.【考点3求展开式中系数最大（小）的项】【例3.1】（2023下·上海长宁·高二校考期末）二项式1−x4n+1n∈N,n≥1的展开式中，系数最大项的是（A．第2n+1项 B．第2n+1项和第2n+2项C．第2n项 D．第2n+2项【解题思路】根据该展开式中项的系数与二项式系数的关系，结合二项式中最大系数的项，分析中间的两项即可．【解答过程】由二项展开式的通项公式Tk+1可知系数为−1k二项式系数最大的项为第2n+1项和第2n+2项，又由第2n+1项系数为−12n第2n+2项系数为(−1)2n+1故系数最大项为第2n+1项.故选：A.【例3.2】（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）若2x2−A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项【解题思路】先利用二项式系数的增减性求出n的值，再根据展开式的通项公式求解即可.【解答过程】因为2x所以n2+1=5，解得则2x2−1x当k为奇数时，系数为负数，当k为偶数时，系数为正数，所以展开式中系数最大时，k为偶数，由展开式通项可知T1=C80T7=C所以展开式中系数最大的是第三项，故选：B.【变式3.1】（2023下·江苏淮安·高二校联考期中）已知在x−23xnA．6 B．8 C．9 D．11【解题思路】写出x−23xn【解答过程】由已知可得，x−23xn所以，第5项的系数为−24⋅C由题意知，16Cn4解得n=10或n=−5（舍去），所以n=10，Tr+1设第s+1项，系数的绝对值最大，该项系数的绝对值为−2s则有2s⋅C整理可得3s≥193s≤22，所以19又s∈N∗，所以故选：B.【变式3.2】（2023·浙江·校考模拟预测）若二项式2x+1xnn∈N∗的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第kA．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】根据条件可得n=12.写出展开式的通项Tr+1=C12r【解答过程】由已知可得，n=12.根据二项式定理，知展开式的通项为Tr+1=Cr=0时，T1=C120r=4时，T5=C124r=8时，T9=C128r=12时，T13经比较可得，r=4，即k=5时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．故选：A.【考点4利用二项式定理证明整除问题或求余数】【例4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知m>0，且152021+m恰能被14整除，则m的取值可以是（A．1 B．3 C．7 D．13【解题思路】由152021+m=(14+1)【解答过程】由152021∴要使152021+m恰能被14整除，只需m+1能被14整除即可且∴m=14k−1,(k∈N∗)，当k故选：D.【例4.2】（2023下·江苏淮安·高二校联考期中）若(3x+2)2023=a0+A．0 B．3 C．5 D．8【解题思路】分别赋值x=1以及x=−1，可推得a1+a3+a5【解答过程】令x=1，由已知可得，52023令x=−1，由已知可得，−12023两式作差可得，2a所以，a1因为52023=5×=5×=5×C所以，a1+a3+显然5×C所以，余数为3.故选：B.【变式4.1】（2023下·山东泰安·高二统考期中）若a∈N，且502023+a能被17整除，则aA．0 B．1 C．16 D．18【解题思路】将502023+a化为二项展开式，根据502023【解答过程】由题意，50=(r∈因为502023而C2021∴C2021∴−1+a=17k,k∈N,即a=17k+1,k∈∴a的最小值为18.故选：D.【变式4.2】（2023·湖南怀化·统考二模）若(2x+1)100=a0+A．4 B．5 C．6 D．7【解题思路】根据题意，给自变量x赋值，取x=1和x=−1，两个式子相减，得到2【解答过程】在已知等式中，取x=1得a0取x=−1两式相减得2(a即2a因为3===因为C50所以C50即2a故选：B.【考点5

杨辉三角问题】【例5.1】（2023·全国·高二随堂练习）根据杨辉三角，写出a+b8【解题思路】画出杨辉三角图象，相据杨辉三角与二项式系数关系可得a+b8的二项式系数，即可求得答案【解答过程】杨辉三角如下：11

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

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15

20

15

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1

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7

21

35

35

21

7

1

1

8

28

56

70

56

28

8

1

∵相据杨辉三角与二项式系数关系可得：a+b8的二项式系数依次为1,8,28,56,70,56,28,8,1【例5.2】（2023·全国·高二随堂练习）根据杨辉三角，我们可以得到很多与组合数有关的性质．例如，在下图中，C1C2……(1)根据你发现的规律，猜想：Crr+(2)你还能发现有关组合数的哪些性质？【解题思路】（1）根据题中的规律可得出Crr+（2）根据C10=1，C30【解答过程】（1）解：猜想：Cr先证明：Cm由组合数公式可得C=m+1因此，Cr（2）解：观察数阵可得C1C3C5C7⋯照此规律可得出C2n−1证明如下：由组合数的性质可知Cm因为C2n−1由组合数的性质可得C2n−1故C2n−1【变式5.1】（2023上·湖南岳阳·高一校考开学考试）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”(如图所示)，它揭示了(a+b)n(n为非负数根据上述规律，完成下列问题：(1)直接写出(a+b)5(2)(a+1)8的展开式中a(3)利用上述规律求115【解题思路】（1）由杨辉三角规律求解，（2）由二项式定理求解，（3）转化为(10+1)5【解答过程】（1）由杨辉三角图可得(a+b)（2）由杨辉三角的性质可得(a+1)8的展开式二项式系数可知展开式中a项的系数为C（3）11=100000+50000+10000+1000+50+1=161051.【变式5.2】（2023下·安徽芜湖·高二统考期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.性质1：杨辉三角的第n行就是(a+b)n性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即Cn性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即Cn性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20；请回答以下问题：(1)求杨辉三角中第8行的各数之和；(2)证明：Cn(3)在(1+x)2+(1+x)【解题思路】（1）由杨辉三角的第八行结合组合数的性质求解即可；（2）由组合数公式证明即可；（3）由二项式定理结合组合数性质求解即可.【解答过程】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为1+（2）CCnr（3）(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)n+1模块三模块三课后作业1．（2023·高二课时练习）二项式a+b6的展开式中共有（

）项A．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】由二项展开式的性质可得答案.【解答过程】二项式a+bn的展开式的项数为n+1本题n=6，所以6+1=7.故选：C.2．（2023下·江西赣州·高二校考阶段练习）二项式x2−2A．−160x3 B．240x8 【解题思路】写出通项公式，令k=3，求出第4项.【解答过程】因为Tk+1=C故选：A．3．（2023·全国·模拟预测）yx+mx−y7的展开式中x3y4A．2 B．1 C．−1 D．−2【解题思路】利用二项式的展开式公式展开，再与前面的项相乘求解即可.【解答过程】x−y7的展开式的通项公式为T所以yx令6−r=3r+1=4，解得r=3mTr+1=m⋅−1r由题意，可知−13所以m=−2．故选：D．4．（2023·全国·高三专题练习）在3x−1xnA．二项式系数和为32B．各项系数和为128C．常数项为−135D．常数项为135【解题思路】令x=1，求出系数之和，再根据二项式系数的和结合已知求出n，进而可判断AB；求出展开式的通项，令x的指数等于零，即可判断CD.【解答过程】令x=1，得各项系数和为2n又二项式系数和为2n，则2n+即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确；3x−1x6令6−3k2=0因此展开式中的常数项为32故选：D.5．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知x−2yn的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的x5yA．―4 B．84 C．―280 D．560【解题思路】根据二项式系数的性质求得n=7，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数.【解答过程】因为x−2yn的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以Cn又因为x−2y7的展开式的通项公式为T令r=2，所以展开式中的x5y2故选：B.6．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）若x2−3A．314 B．421 C．−4【解题思路】先令x=1，根据各项系数之和解得n=10，再求对应项系数计算比值即可.【解答过程】令x=1，得−2n=1024，解得n=10，所以x2所以第四项与第五项的系数之比−33故选：D.7．（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）设a∈Z，且0≤a≤13，若512023+a能被13整除，则aA．0 B．1 C．11 D．12【解题思路】根据给定条件，利用二项式定理推理计算作答.【解答过程】51=52(52而522022−C即52(52因此a−1能被13整除，而a∈Z,0≤a≤13，即−1≤a−1≤12，所以a−1=0，即故选：B.8．（2023上·全国·高三阶段练习）已知x3+ax6A．43,52 B．43,【解题思路】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解.【解答过程】x3+a由题可知C64⋅故选：A.9．（2023上·浙江·高一阶段练习）x2−x−26=aA．−32 B．0 C．32 D．64【解题思路】利用赋值法计算可得.【解答过程】因为x2令x=0可得a0令x=1可得a12令x=−1可得a12所以a12则a12故选：A.10．（2023下·山东·高二校联考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（

）杨辉三角A．在第10行中第5个数最大B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等C．CD．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数【解题思路】A、B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项，由Cnm−1+Cnm=【解答过程】A选项，第10行，10是偶数，所以在C10B选项，第2023行是奇数，中间两项最大，即C20231011和C选项，由Cnm−1+D选项，C6故选：D.11．（2023上·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：(1)3a(2)2x【解题思路】利用二项式展开公式即可得解．【解答过程】（1）3==a（2）2+=