第08讲拓展四构造函数法解决不等式问题

第08讲拓展四：构造函数法解决不等式问题一、知识点归纳1、两个基本还原①②2、类型一：构造可导积函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2③高频考点1：④高频考点1：高频考点2⑤⑥序号条件构造函数123456783、类型二：构造可商函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2：③⑥二、题型精讲题型01构造或(，且)型1．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（）A． B．C． D．【答案】D【详解】由当时，，得，设，则，所以在上单调递增，又函数为偶函数，所以为偶函数，所以在在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，A选项错误；，即，所以，B选项错误；，即，所以，C选项错误；，即，所以，D选项正确；故选：D.2．（2023下·云南保山·高二统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】构造函数，则由题意可知当时，所以函数在区间上单调递减，又因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，所以在区间上单调递增，又，，，因为，，所以，所以，即，正确.故选：.3．（多选）（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）定义在上的函数满足，则（

）A．B．若，则为的极值点C．若，则为的极值点D．若，则在上单调递增【答案】ABD【详解】令且，则，所以在上递增，则，A对；由题设且，令，则，当时，即递减；当时，即递增；所以，若，则，所以上，递减；上，递增；故为的极值点，B对；若，则，即，故在上递增，故不是的极值点，C错；若，则，即，故在上单调递增，D对.故选：ABD4．（多选）（2023上·辽宁鞍山·高三校联考阶段练习）若函数在上可导，且满足，则下列命题正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】令，则，因为，即，所以，在上单调递减，所以，，，即，，，故BD正确，AC错.故选：BD.5．（2023·甘肃张掖·甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测）已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为．【答案】【详解】令函数，当时，，即函数在上单调递减，由为偶函数，得，即函数是奇函数，于是在R上单调递减，不等式，因此，解得，所以原不等式的解集是.故答案为：6．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是.【答案】【详解】记，则，故当，，所以，因此在上单调递增，又当时，，因此为奇函数，故在上单调递增，又，因此当和时，，当和时，，因此，即可得和，故成立的的取值范围是，故答案为：题型02构造或(，且)型1．（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知定义在R上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】记，则，因为，即，所以，所以在R上单调递增，故，，整理得，.故选：B2．（2023下·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，则，即，故函数是定义在上的奇函数，当,时，，则，故在,上单调递增，在,上单调递增，所以在上单调递增，又，则，则不等式，即，故，解得．故选：C．3．（2023下·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知是可导函数，且对于恒成立，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】设，则，由已知得，所以是上的减函数，∴，即，即，，故选：D．4．（多选）（2023上·福建泉州·高三福建省德化第一中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，在下列不等关系中，一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】AD【详解】因为，所以令，则，因为，，所以，所以在R上单调递减，，即，即，故A正确，B错；，即，即，故C错，D正确.故选：AD.5．（多选）（2023下·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知函数满足，且，则（

）A．不可能是偶函数 B．若，则C． D．若，则【答案】BCD【详解】令，则，故在上单增.对于A，如为常函数，此时为偶函数，A错误;对于B，若，则从而，B正确；对于C，由可得，C正确；对于D，若，同B选项可知，令，则，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，所以（当且仅当时等号成立），故，则，D正确.故选：BCD.6．（2023上·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且有，则的解集为.【答案】【详解】设，则，，，在R上单调递增.又，则.∵等价于，即，∴，即所求不等式的解集为.故答案为：.题型03构造或型1．（2023下·四川成都·高二期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】令，则，当时恒有，所以，则在上单调递增，所以，则，即，选项A错误；，则，即，选项B正确；，则，又为奇函数，所以，选项C错误；由得，选项D错误；故选：B2．（2023下·四川成都·高二期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由，得，因为，所以所以，所以，令，，则，所以在上单调递增，对于A，因为，所以，所以，，所以，所以A错误，对于C，因为，所以，所以，，所以，因为为奇函数，所以，所以，所以C错误对于BD，因为，所以，所以，，所以，因为为奇函数，所以，所以B正确，D错误，所以D错误，故选：B题型04构造或型1．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得函数为偶函数，构造函数，所以，易知当时，，所以函数在上单调递减．因为，则，由，则，且，因为函数在上单调递减，且，所以，即，故选：C．2．（2023下·陕西西安·高二统考期中）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【【详解】令，，则，故在上单调递增，而，故，故是偶函数，故，即，故A正确，BCD错误，故选：A．3．（2022上·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知函数对于任意的x∈满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设，则，则在上单调递增，对于A，，化简得，故A错误；对于B，，化简得，故B错误；对于C，，化简得，故C正确；对于D，，化简得，故D错误.故选：C.4．（多选）（2021下·江苏苏州·高二校联考期中）已知函数，，是其导函数，恒有，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】因为，所以，又，所以，构造函数，，则，所以在上为增函数，因为，所以，即，即，故A正确；因为，所以，即，故，故B错误；因为，所以，即，故，故C错误；因为，所以，即，故，故D正确.故选：AD题型05构造函数比较大小1．（2023下·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，因为，所以，即.故选：D.2．（2023下·山东青岛·高二校联考期中）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意可得，，，设，则，当时，，单调递减，又，所以，即，即.故选：D.3．（2023下·四川乐山·高二期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】构建，则当时恒成立，则在上单调递增，可得，所以，即；构建，则当时恒成立，则在上单调递增，可得，所以，即；综上所述：.故选：C.4．（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，，则，设，，设，则，当时，，所以在上单调递减，，所以，即在上单调递增，因为，所以，即，又，即，所以.故选：C.5．（2023上·山东泰安·高三统考期中）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，则，且，则，则；构造函数，，则，令，则，令，则，所以当，单调递增，当，单调递减，则时，有极大值，即最大值，所以，即时，，且，，则，所以；即.故选：B6．（2023上·福建漳州·高一福建省漳州第一中学校考期中）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，，要比较大小，只需比较大小，故只需比较大小，令且，故，所以在上递增，而，即，所以，故，又，则（等号不能成立），所以.