2024届山东省莒南县九年级数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2024届山东省莒南县九年级数学第一学期期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（）A．2π B．3π C．4π D．π2．二次函数(m是常数)，当时，，则m的取值范围为()A．m＜0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＞13．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．如图，正六边形内接于圆，圆半径为2，则六边形的边心距的长为（）A．2 B． C．4 D．5．菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm6．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（

）A．AB=CD B．AB=BC C．AC⊥BD D．AC=BD7．将0.000102用科学记数法表示为（）A． B． C． D．8．下列事件为必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和是C．买一张电影票，座位号是奇数号 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上9．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.1．其中合理的是()A．① B．② C．①② D．①③10．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（）A．15π B．20π C．24π D．30π11．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别为OB，OC的中点，则cos∠OMN的值为()A． B． C． D．112．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（）．A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数是5吨 D．方差是二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，AD与BC相交于点O，如果，那么当的值是_____时，AB∥CD．14．若、是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是_____________．15．如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时水深为______米．16．关于的一元二次方程的二根为，且，则_____________.17．圆锥的侧面展开图是一个_____形，设圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2，则这个圆锥的全面积为_____．18．小亮和他弟弟在阳光下散步，小亮的身高为米，他的影子长米．若此时他的弟弟的影子长为米，则弟弟的身高为________米．三、解答题（共78分）19．（8分）如图1，直线AB与x、y轴分别相交于点B、A，点C为x轴上一点，以AB、BC为边作平行四边形ABCD，连接BD，BD＝BC，将△AOB沿x轴从左向右以每秒一个单位的速度运动，当点O和点C重合时运动停止，设△AOB与△BCD重合部分的面积为S，运动时间为t秒，S与t之间的函数如图（2）所示（其中0＜t≤2，2＜t≤m，m＜t＜n时函数解析式不同）．（1）点B的坐标为，点D的坐标为；（2）求S与t的函数解析式，并写出t的取值范围．20．（8分）如图，已知中，，点是边上一点，且求证:;求证:．21．（8分）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图1，是的直径，点在上，，垂足为，，分别交、于点、.求证：.图1图2（1）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程.（2）如图2，若点和点在的两侧，、的延长线交于点，的延长线交于点，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若，，求的长.22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于E，EF∥BC交AC于F．（1）求证：△ACD∽△ADE；（2）求证：AD2＝AB•AF；（3）作DG⊥BC交AB于G，连接FG，若FG＝5，BE＝8，直接写出AD的长．23．（10分）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其它差异)．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示．若为奇数，则甲获胜；若为偶数，则乙获胜．请你运用所学的概率的相关知识通过计算说明这个游戏对甲、乙双方是否公平．24．（10分）甲、乙、丙三位同学在知识竞赛问答环节中，采用抽签的方式决定出场顺序．求甲比乙先出场的概率．25．（12分）如图1，抛物线的顶点为点，与轴的负半轴交于点，直线交抛物线W于另一点，点的坐标为．（1）求直线的解析式；（2）过点作轴，交轴于点，若平分，求抛物线W的解析式；（3）若，将抛物线W向下平移个单位得到抛物线，如图2，记抛物线的顶点为，与轴负半轴的交点为，与射线的交点为．问：在平移的过程中，是否恒为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．26．（1）（学习心得）于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在中，,是外一点，且,求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，则、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到=________.（2）（问题解决）如图2，在四边形中，,,求的度数.（3）（问题拓展）如图3，是正方形的边上两个动点，满足.连接交于点，连接交于点,连接交于点,若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是_______.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．【详解】解：连接OC、OB∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠COB＝＝60°，∵OA=OB∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝6，弧BC的长为:．故选：A．【点睛】此题考查了扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．2、D【分析】根据二次函数的性质得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．【详解】∵二次函数，∴图像开口向上，与x轴的交点坐标为(1,0),(m-1,0),∵当时，，∴m-1>0,∴m>1.故选D.【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象和解一元一次不等式，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．3、B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4、D【分析】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出即可求解．【详解】解：连接OB、OC，如图所示：则∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=2，∵OM⊥BC，∴△OBM为30°、60°、90°的直角三角形，∴，故选：D．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．5、B【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB的长，再利用勾股定理列式求出边长AB，然后根据菱形的周长公式列式进行计算即可得解．【详解】解：如图，∵菱形的两条对角线的长是6cm和8cm，∴OA=×80=40cm，OB=×60=30cm，又∵菱形的对角线AC⊥BD，∴AB==50cm，∴这个菱形的边长是50cm．故选B.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质．6、D【解析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．【详解】添加AC=BD，

∵四边形ABCD的对角线互相平分，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，

∴四边形ABCD是矩形，

故选D．【点睛】考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．7、A【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000102=1.02×10−4，

故答案为：．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1⩽|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．8、B【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件.【详解】∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意．故选B．【点睛】本题考查的是对必然事件的概念的理解.解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养.用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.9、B【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【详解】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.1，故错误．故选：B．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确概率的定义是解题的关键．10、A【解析】试题分析：∵圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，∴这个圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5.∴这个圆锥的侧面积=．故选A．考点：1.简单几何体的三视图；2.圆锥的计算．11、B【详解】∵正方形对角线相等且互相垂直平分∴△OBC是等腰直角三角形，∵点M，N分别为OB，OC的中点，∴MN//BC∴△OMN是等腰直角三角形，∴∠OMN=45°∴cos∠OMN=12、C【解析】试题分析：根据众数、平均数、中位数、方差：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．数据：3,4,5,6,6,6，中位数是5.5，故选C考点：1、方差；2、平均数；3、中位数；4、众数二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，据此可得结论.【详解】，当时，，.故答案为.【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.14、【分析】根据题意和二次函数性质，可以判断出的大小关系，本题得以解决．【详解】令，则该函数的图象开口向上，

当时，，

当时，

，

即，

∵是关于的方程的两根，且，

∴，

故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15、【详解】解：作出弧AB的中点D，连接OD，交AB于点C．则OD⊥AB．AC=AB=0.8m．在直角△OAC中，OC===0.6m．则水深CD=OD-OC=1-0.6=0.4m．【点睛】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．16、【分析】先降次，再利用韦达定理计算即可得出答案.【详解】∵的一元二次方程的二根为∴∴又，代入得解得：m=故答案为.【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，若的一元二次方程的二根为，则，.17、扇10π【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积即可得答案．【详解】圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥的侧面积＝=π×2×3＝6π，底面积为=4π，∴全面积为6π+4π＝10π．故答案为：扇，10π【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图及侧面积的计算，熟记圆锥侧面积公式是解题关键．18、1.4【解析】∵同一时刻物高与影长成正比例，

∴1.75：2=弟弟的身高：1.6，

∴弟弟的身高为1.4米．故答案是：1.4.三、解答题（共78分）19、（1）（2）当0＜t≤2时，S＝，当2＜t≤5时，S＝，当5＜t＜7时，S＝t2﹣14t+1．【分析】（1）由图象可得当t＝2时，点O与点B重合，当t＝m时，△AOB在△BDC内部，可求点B坐标，过点D作DH⊥BC，可证四边形AOHD是矩形，可得AO＝DH，AD＝OH，由勾股定理可求BD的长，即可得点D坐标；（2）分三种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．【详解】解：（1）由图象可得当t＝2时，点O与点B重合，∴OB＝1×2＝2，∴点B（2，0），如图1，过点D作DH⊥BC，由图象可得当t＝m时，△AOB在△BDC内部，∴4＝×2×DH，∴DH＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，且DH⊥BC，∴∠ADH＝∠DHO＝90°，且∠AOB＝90°，∴四边形AOHD是矩形，∴AO＝DH，AD＝OH，且AD＝BC＝BD，∴OH＝BD，∵DB2＝DH2+BH2，∴DB2＝（DB﹣2）2+16，∴DB＝5，∴AD＝BC＝OH＝5，∴点D（5，4），故答案为：（2，0），（5，4）；（2）∵OH＝BD＝BC＝5，OB＝2，∴m＝，n＝＝7，当0＜t≤2时，如图2，∵S△BCD＝BC×DH，∴S△BCD＝10∵A'B'∥CD，∴△BB'E∽△BCD，∴＝（）＝，∴S＝10×＝t2，当2＜t≤5，如图3，∵OO'＝t，∴BO'＝t﹣2，FO'＝（t﹣2），∵S＝S△BB'E﹣S△BO'F＝t2﹣×（t﹣2）2，∴S＝﹣t2+t﹣；当5＜t＜7时，如图4，∵OO'＝t，∴O'C＝7﹣t，O'N＝2（7﹣t），∵S＝×O'C×O'N＝×2（7﹣t）2，∴S＝t2﹣14t+1．【点睛】本题考查二次函数性质，相似三角形的判定及性质定理，根据实际情况要分分段讨论利用相似三角形的性质求解是解题的关键.20、（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）根据相似三角形的性质和判定定理，即可得到结论；（2）由得，进而即可得到结论．【详解】（1），，，，即：，∴；,．∴，，即：∠DBE=90°，．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理以及直角三角形的性质定理，掌握两边对应成比例，夹角相等的两个三角形是相似三角形，是解题的关键．21、（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）如图1中，延长CD交⊙O于H．想办法证明∠3=∠4即可解决问题．（2）成立，证明方法类似（1）．（3）构建方程组求出BD，DF即可解决问题．【详解】（1）延长交于；∵为直径，∴.∵∴∴∴∵为直径∴∴，∴∴（2）成立；∵为直径，∴.∵∴∴∴∵为直径∴∴，∴∴（3）由（2）得：，∵，∴，∴，解得：，，∴，∴.【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22、（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．（2）证明△BAD∽△DAF可得结论．（3）求出AB，AF，代入AD2＝AB•AF，即可解决问题．【详解】（1）证明：∵DA平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAE，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝∠C＝90°，∴△ACD∽△ADE．（2）证明：连接DF．∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠C＝90°，∠AEF＝∠B，∵∠ADE＝∠AFE＝90°，∴A，E，D，F四点共圆，∴∠ADF＝∠AEF，∴∠B＝∠ADF，∴∠DAB＝∠DAF，∴△BAD∽△DAF，∴，∴AD2＝AB•AF．（3）设DG交EF于O．∵DG⊥BC，AC⊥BC，∴DG∥AC，∴∠ADG＝∠DAC＝∠DAG，∴AG＝GD，∵∠AED+∠EAD＝90°，∠EDG+∠ADG＝90°，∴∠GED＝∠GDE，∴DG＝EG＝AG，∵∠AFE＝90°，∴FG＝EG＝AG＝DG＝5，∵OE∥BD，∴，∴，∴OG＝，∴OG∥AF．EG＝AG，∴OE＝OF，∴AF＝2OG＝，∴AD2＝AB•AF＝18×，∵AD＞0，∴AD＝．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.23、公平，见解析【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图如图所示，

由图知共有16种等可能结果，其中为奇数的可能有8种，为偶数也有8种可能，故结果为奇数或偶数的概率都是，甲乙获胜的概率相同，故游戏公平．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．24、【分析】首先根据题意用列举法列出所有等可能的结果与甲比乙先出场的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：甲、乙、丙三位同学采用抽签的方式决定出场顺序，所有可能出现的结果有：（甲，乙，丙）、（甲、丙、乙）（乙，甲，丙）、（乙，丙，甲）（丙，甲，乙）、（丙，乙，甲）共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“甲比乙先出场”（记为事件）的结果有3中，所以【点睛】本题考查了列举法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25、（1）；（2）；（3）恒为定值．【分析】（1）由抛物线解析式可得顶点A坐标为（0，-2），利用待定系数法即可得直线AB解析式；（2）如图，过点作于，根据角平分线的性质可得BE=BN，由∠BND=∠CED=90°，∠BND=∠CDE可证明，设BE=x，BD=y，根据相似三角形的性质可得CE=2x，CD=2y，根据勾股定理由得y与x的关系式，即可用含x的代数式表示出C、D坐标，代入y=ax2-2可得关于x、a的方程组，解方程组求出a值即可得答案；（3）过点作于点，根据平移规律可得抛物线W1的解析式为y=x2-2-m，设点的坐标为（t，0）（t＜0），代入y=x2-2-m可得2+m=t2，即可的W1的解析式为y=x2-t2，联立直线BC解析式可用含t的代数式表示出点C1的坐标，即可得，可得∠，根据抛物线W的解析式可得点D坐标，联立直线BC与抛物线W的解析式可得点C、A坐标，即可求出CG、DG的长，可得CG=DG，∠CDG=∠，即可证明，可得，，由∠CDG=45°可得BF=DF，根据等腰三角形的性质可求出DF的长，利用勾股定理可求出CD的长，即可求出CF的长，根据三角函数的定义即可得答案．【详解】（1）∵抛物线W：的顶点为点，∴点，设直线解析式为，∵B（1，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为：．（2）如图，过点作于，∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，设，则，∵，∴，∴，∴，∴点，点，∴点，点是抛物线W：上的点，∴，∵x＞0，∴，解得：(舍去)，，∴，∴，∴抛物线解析式为：．（3）恒为定值，理由如下：如图，过点作轴于H，过点作轴G，过点作于点，∵a=，∴抛物线W的解析式为y=x2-2，∵将抛物线W向下平移m个单位，得到抛物线，∴抛物线的解析式为：，设点的坐标为，∴，∴，∴抛物线的解析式为：，∵抛物线与射线的交点为，∴，解得：，(不合题意舍去)，∴点的