理论力学课件：质点运动微分方程

质点运动微分方程9.1动力学的基本定律9.2质点运动微分方程及应用思考题

9.1动力学的基本定律

1.牛顿第一定律质点如果不受力的作用,将保持原来静止或匀速直线运动状态。该定律也称为惯性定律,质点具有的保持原有状态不变的属性称为惯性。该定律还表明若要改变物体的运动状态,必须有力的作用,即力是改变物体运动状态的原因。

2.牛顿第二定律

质点在力的作用下所获得的加速度的大小与力的大小成正比,与质点的质量成反比,方向与力的方向相同。用方程表示为

或

式(9-1)表明在作用力相同的情况下,质点的质量愈大,获得的加速度愈小,惯性就愈大,反之亦然。质量是质点惯性的度量。

质量是物体的固有属性,质量和重量是两个不同的概念。质量是物体惯性的度量,而重量只有在地球的引力场内才有意义,它是指地球对物体引力的大小。如果我们说一个物体的重量为P,它的重力加速度为g,由公式(9-1)有

在古典力学中,质量被认为是常量,与质点的运动无关,即使脱离了地球的引力场,在重量不存在的情况下,质量还是存在的。而且物体重量在不同的地域有不同的值,因为在不同的地域重力加速度是不同的,但一般取重力加速度g值为9.8m/s2。

在国际单位制(SI)中,长度、质量和时间是基本单位,分别取为m(米)、kg(千克)和s(秒);力的单位是导出单位。当质量为1kg的质点获得1m/s2的加速度时,作用于该质点上的力为

3.牛顿第三定律

两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等,方向相反,沿同一条直线并且分别作用在两个物体上。此定律也称为作用与反作用定律,适用于静止的物体,同样也适用于运动的物体。

牛顿定理适用的参考系称为惯性坐标系。在一般工程问题中,将固定于地球表面的坐标系或相对于地面做匀速直线运动(平移运动)的坐标系作为惯性坐标系,可以得到符合实际的精确结果。在本书中,如无特别说明,均采用固定在地球表面坐标系。

动力学也称古典力学,只有当所研究的宏观物体的运动速度小于光速时,古典力学才适用。一般工程问题中所研究的是宏观物体的运动,且要求物体的运动速度远远小于光速。因此,应用古典力学所得到的结果都是精确的。

9.2质点运动微分方程及应用

设质点M的质量为m,受n个力F1,F2,…,Fn作用。由质点动力学的基本方程式(9-1),有该式是矢量形式的质点运动微分方程。

1.质点运动微分方程的直角坐标形式

取坐标系Oxyz,如图9-1所示。将式(9-3)分别向x,y,z轴投影,得图9-1

2.质点运动微分方程的自然坐标形式

由运动学可知,点的运动轨迹已知时,用弧坐标来描述质点的运动较为方便。设质点做平面曲线运动,相应地把动力学基本方程向质点运动轨迹的切线与法线方向投影,即可得到质点运动微分方程的自然坐标形式:

3.质点动力学的两类基本问题

应用质点运动的微分方程,可以求解质点动力学的两类基本问题。

(1)已知质点的运动,求作用于质点的力。对于这类基本问题,只需对质点已知的运动方程求两次导数,得到质点的运动加速度,代入质点的运动微分方程,即可求得作用力。

(2)已知作用于质点的力,求质点的运动。此类问题中,已知的作用力可能表现为多种形式,如常量、变量、时间、位置、速度的函数等。这类问题归结为解运动微分方程问题,可用积分法求解。

【例9-1】如图9-2所示,桥式起重机上跑车悬吊一重为W的重物,以速度v0做匀速直线运动。刹车后,重物的重心因惯性绕悬挂点O向前摆动,求钢绳的最大拉力。

解由题意可知,该问题属于动力学第一类基本问题。

(1)选研究对象。取重物W为研究对象,画受力图如图9-2所示。

(2)分析运动。刹车后,小车不动,但重物由于惯性,继续绕点O摆动,即在以O为圆心,l为半径的一段弧上运动。图9-2

(3)列运动微分方程,求未知量。列出自然坐标系下的运动微分方程:

因此可得到

事实上摆角φ愈大,重物的速度就愈小,拉力FT也愈小。因此当φ=0时,即刚开始刹车的瞬时,钢绳的拉力最大,这时重物的速度为v0。由此求得钢绳最大的拉力为

(4)分析讨论。刹车前,小车做匀速平动,重物处于平衡状态,故FT=W=mg。于是

即

【例9-2】曲柄连杆机构如图9-3所示。曲柄OA以匀角速度ω转动,OA=r,AB=l,当λ=r/l比较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方程可近似写为

如滑块的质量为m,忽略摩擦及连杆AB的质量,求当φ=ωt的值分别为0和π/2时,连杆AB所受的力。图9-3

解该问题属于动力学第一类基本问题。以滑块B为研究对象,当φ=ωt时,受力如图9-3(b)所示。滑块B沿x轴的运动微分方程为

对滑块B的运动方程求微分可得

【例9-3】如图9-4所示,一物体重P,抛射角度为α,抛射初速度为v0,若不计空气阻力,求物体的运动轨迹。图9-4

解由题意可知,该问题属于动力学第二类基本问题。以抛射体为研究对象,它在被抛出后的全部运动过程中,仅受重力P的作用,如图9-4所示。

由于运动轨迹未知,可列出图9-4所示直角坐标系下的运动微分方程:

对式(3)再积分,得

【例9-4】图9-5所示为一圆锥摆。已知质量m=0.1k的小球系于长l=0.3m的绳上,绳的另一端系在固定点O,并g与铅直线成β=60°角。如小球在水平面内做匀速圆周运动,求小球的速度v与绳的张力F的大小。

解这是一个既求作用力、也求运动的综合问题。以小球为研究对象,作用在其上的力有重力mg、绳的拉力F。图9-5

思考题

91什么是质量?质量与重量在意义上有无区别?

92什么是惯性?是否任何物体都有惯性?怎样比较两质点惯性的大小?

93质点在空间运动,已知作用力。为求质点的运动方程需要几个运动初始条件?若质点在平面内运动,需要几个运动初始条件呢?若质点沿给定的轨道运动,又需要几个呢?

94质点受力已