人教版八年级数学下册全册导学案（2024年春季版）

人教版八年级数学下册全册导学案设计

第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念一、新课导入1.导入课题同学们，你能写出下列问题的结果吗？（1）面积为5的正方形的边长是多少？（2）面积为S的正方形的边长是多少？（3）圆柱的体积为V，高为5，则它的底面半径r是多少？（学生回答结果，老师在黑板上写出）的这些结果有什么共同特点呢？2.学习目标（1）掌握二次根式的基本特征.（2）理解二次根式有意义的条件.3.学习重、难点重点：准确判断一个式子是不是二次根式.难点：求被开方数中所含的字母的取值范围的依据.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P2例1上面的部分.（2）自学时间：3分钟.（3）自学方法：完成思考中的问题，从形式和被开方数分别满足的条件两个方面理解二次根式的意义.（4）自学参考提纲：①教材思考中三个问题的答案依次为②上述四个式子有什么共同特征呢？共同特征：它们表示一些正数的算术平方根.③什么样的式子叫做二次根式？形如(a≥0）的式子叫做二次根式.④想一想：如果a＜0，则是否是二次根式？不是2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握上述问题结果的式子的特点.②差异指导：引导学生从“形式”和“被开方数取值”两个方面进行分析.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处..4.强化（1）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？，，，，.答案：,,是二次根式；,不是二次根式，因为不是开平方，的被开方数为负数.（2）解答教材P3第1题.令长方形的长、宽分别为3xcm，2xcm，则3x·2x=18，得x2=3，∴x=，3x=3，2x=2.∴长方形的长、宽分别为3cm和2cm.（3）形如(a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.注意：被开方数a≥0.1.自学指导（1）自学内容：教材例1及后面的思考部分.（2）自学时间：3分钟.（3）自学方法：完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①确定式子中字母x的取值范围的依据是什么？解题步骤是什么？答案：依据是二次根式的概念，x≥2.②a取何值时，下列各二次根式有意义？；；；.答案：a≥1;a≥;a≤0;a≤5.③若有意义，则a的值为1.2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生对例题不等式的得出的理由是否清楚.②差异指导：指导学生分析使与在实数范围内有意义的条件.（2）生助生：同桌之间相互研讨.4.强化（1）确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围的一般步骤是：①根据中a≥0的条件列不等式；②解不等式；③确定字母的取值范围.（2）归纳总结本节所学知识点和数学思想方法.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和困惑.2.教师对学生的评价：(1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法和收获进行点评.(2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时开始时创设情境，给出实例，使学生独立思考并作答，并适当提出疑问，引出这节课的内容，充分发掘了学生的主体性.二次根式是本书学习的第一个知识点，也是本章的第一个知识点，为之后学习二次根式的加减乘除、勾股定理等知识打下基础.教学时，不仅强化了学生独立思考、探究的能力，还提高了学生的合作交流能力.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（60分）1.(10分）已知一个正方形的面积是3，那么它的边长是.2.(10分）使有意义的x的取值范围是x≥-3.3.(10分）下列各式中一定是二次根式的是（B)A.B.C.D.4.(10分）二次根式中，字母a的取值范围是（D)A.a＜0B.a≤0C.a≥0D.a＞05.(20分）当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)；(2)；(3)；(4).解：（1)a≥-2;(2)a≤3;(3)a为任意实数；（4)a≥.二、综合运用（20分）6.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)；(2)；(3)；(4).解：（1)x为任意实数；（2)x为任意实数；（3)x<2;(4)x≥-1且x≠1.三、拓展延伸（共20分）7.求使在实数范围内有意义的x的取值范围.解：由题意得∴1≤x<2.16.1二次根式第2课时二次根式的性质一、新课导入1.导入课题我们知道二次根式中a≥0，那么二次根式还有哪些性质呢？今天我们学习“二次根式的性质”（板书课题）.2.学习目标（1）知道≥0(a≥0)，会用非负数的性质解题.（2）会用公式=a(a≥0)进行计算.（3）知道形如的化简方法及结果.3.学习重、难点重点：≥0(a≥0)，=a(a≥0).难点：运用公式=a(a≥0)和=a(a≥0)进行计算化简.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：探究：(a≥0）及(a≥0）中a的值的特点.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：围绕探究提纲进行演算归纳.（4）探究提纲：①当a>0时，是什么数？当a=0时，是什么数？当有意义时，a是什么数？②从①中我们可以探究得出：当a≥0时，是非负数，即a≥0.③从(a≥0）所表示的数值特点，你知道还有哪些式子的值具有这种特性？④已知,求x，y的值.(x=1,y=-1)2.自学：学生参照探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生在探究中存在的认识偏差和困惑.②差异指导：引导学生分析表示的数值特点，归纳已学过的非负数及其和为0时所满足的条件.（2）生助生：学生相互交流、帮助.4.强化（1）当a≥0时，≥0，即的值为非负数.（2）回顾所学过的三类非负数：①一个数的偶次幂；②一个数的绝对值；③(a≥0).（3）非负数的性质：若++|z|=0，则x=y=z=0.（4）练习：已知,求x，y的值.答案：x=-1,y=1.1.自学指导（1）自学内容：探究(a≥0）的结果.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：通过回顾算术平方根的意义，归纳(a≥0）的结果.（4）探究提纲：①∵3的算术平方根是，∴=3.②∵的算术平方根是，∴=.③∵非负数a的算术平方根是a，∴(a≥0)=a.④∵，∴18.⑤计算：答案：3；18；25；.⑥由①—⑤的探讨，归纳得出：一般地，=a(a≥0).2.自学：学生可结合探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对(a≥0）的值的理解.②差异指导：指导学生应用(a≥0）的结果进行计算.（2）生助生：相互交流帮助，矫正错误，归纳正确结论.4.强化（1）强调=a(a≥0)及其应用.（2）强调公式=和=在二次根式计算中的运用.（3）展示本节所学知识点和数学思想方法.1.自学指导（1）自学内容：探究：当a≥0时，等于什么？若a的值无限定，又等于什么？（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：结合探究提纲动手尝试(a≥0）和的化简，结果有何不同？（4）探究提纲：①2；；0.6；由此可以看出：当a≥0时，=a.从中我们可以提炼出一个公式是=a，其中a的取值范围是a≥0.②3；；0.5.由此可以看出：当a<0时，=-a.③=a一定成立吗？为什么？不一定成立.当a＜0时，④说出下列各式的值：答案：0.3;;-π;⑤如果a是任意有理数，那么如何化简呢？试相互交流自己的化简结果.=|a|2.自学：学生可结合探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否理解的实际意义及与a表示的数的不同.②差异指导：指导学生从a的取值范围看的结果有何不同.（2）生助生：相互交流帮助，矫正错误，归纳正确的结论.4.强化1.自学指导（1）自学内容：教材关于代数式的那段文字.（2）自学时间：2分钟.（3）自学方法：阅读课文，理解字、词、句表达的意义.（4）自学参考提纲：①基本运算是指哪些运算？②是分式吗？是代数式吗？③用代数式表示面积为S且两条邻边的比为2∶3的长方形的长和宽.④已知半径为r的圆的面积是半径为2cm和3cm的两个圆的面积和，求r的值.2.自学：学生可结合自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否理解代数式的意义.②差异指导：引导学生在实例中用含字母的式子表示数.（2）生助生：学生相互交流、研讨.4.强化（1）组织学生交流参考提纲中的问题.（2）强调代数式的定义.（3）展示本节所学知识点和数学思想方法.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：小组学生代表交流自己的学习心得和体会.2.教师对学生的评价：(1）表现性评价：点评学生的学习态度、方法、成果及存在的不足.(2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.先复习了上一课时学习的内容，从而进一步探究所学的知识，自然地引出了这节课所要学习的内容，然后学生通过观察分析、自主探究学习、交流合作并归纳总结的过程，使所学的知识更加深刻透彻，并能准确地学以致用。在教学中，给予适当的引导，对疑惑之处给予一定的解答。老师在教学过程中，应处于指导的位置，才能使学生在在自主探究中掌握知识.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（60分）1.(10分）3,,5,5.2.(10分)已知,则=-8.3.(10分)已知｜a|+a=0，则1-a.4.(10分）化简：，|x+2|.5.(10分）下列等式错误的是（C)6.(10分）计算：（1)(2)(1<x<3)解：（1)(2)===1=x-1+3-x=2二、综合应用（20分）7.(10分）a、b、c为三角形的三边长，化简：.解：由三角形两边之和大于第三边得：a+b-c>0，a+c-b>0.∴=a+b-c+(a+c)-b=2a8.(10分）化简.解：由3-2x≥0，得x≤.∴==2-x+3-2x+3x=5三、拓展延伸（20分）9.(10分）在实数范围内分解因式：-1.解：-4=(-2)(+2)=(x-)(x+)(+2).10.(10分）已知是整数，求正整数n的最小值.解：是整数，∴24n是完全平方数，又∵24n=×6n,∴正整数n的最小值为6.16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法一、新课导入1.导入课题一个长方形的长和宽分别是和，求这个长方形的面积.你列出的算式是什么？这个算式应怎样计算呢？2.学习目标（1）能归纳二次根式的乘法法则(a≥0，b≥0)，理解法则ab=a·b与a·b＝ab(a≥0，b≥0)的关系及运用.（2）会运用公式和(a≥0，b≥0）进行二次根式的乘法运算和化简.3.学习重、难点重点：和(a≥0，b≥0）的运用.难点：熟练运用法则进行化简和计算.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：探究二次根式的乘法法则.（二次根式的乘法怎么运算？）（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：通过从特殊到一般归纳出运算法则，注意法则成立的条件.（4）探究提纲：①计算下列各式，比较计算结果：=2×3=6；=6；=×4=2；=2.②从①中你发现了什么规律？请用一个等式表示这个规律..③用文字表示二次根式的乘法法则是：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.④计算：答案：4；；4；2.2.自学：学生结合探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生能否通过计算发现探究提纲中第①题中的规律.②差异指导：引导学生理解a·b与ab表达的意义.（2）生助生：同桌之间相互研讨，交流学习成果，帮助解决疑难问题.4.强化：强调二次根式的乘法法则公式及公式的使用条件.1.自学指导（1）自学内容：教材P6例1后面到P7练习前面的部分.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：理解公式(a≥0，b≥0）逆向变形依据，注意运算时的算理及应满足的条件.（4）自学参考提纲：①公式是用来进行什么样的式子的运算？②使用公式化简二次根式的一般步骤是什么？③说说算式的计算方法是什么？④进行二次根式的乘法时，所得结果应该怎样？⑤按课本例题的格式化简或计算下列各题：；；；；.答案：77;15;;;.⑥计算：.解：原式.2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否能根据算式特点合理利用法则及逆用法则.②差异指导：引导学生结合算式选用公式.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化（1）合理运用进行计算或化简.（2）把两个二次根式的乘法推广到多个二次根式的乘法，反之亦成立.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：小组代表介绍自己小组的学习表现及收获和困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在课堂上学习态度、方法、成果及不足进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.通过创设情境，给出实例，列出本课时所要学习的内容.通过分层次学习，由特殊例子到一般法则的归纳，发掘了学生学习的自主性，作为学习的主导者，主动去观察、分析、归纳与总结得到更深刻、透彻的知识，并且从中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.(10分)化简=，同理可得.2.(10分)计算=.3.(10分）若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形的面积是.4.(10分）下列各等式成立的是（D)5.(10分）下列各式正确的是（D)6.(20分）化简或计算：二、综合运用（15分）7.如果成立，那么x应满足什么条件？三、拓展延伸（15分）8.如图，从一个大正方形中截去面积为15cm2和24cm2的小正方形，求留下部分的面积.16.2二次根式的乘除第2课时二次根式的除法一、新课导入1.导入课题设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，如果S=，b=，那么怎样求a呢？你能列出算式吗？2.学习目标（1）能归纳除法法则公式(a≥0，b＞0)，知道(a≥0，b＞0）与(a≥0，b＞0）的意义.（2）会运用公式ab=ab(a≥0，b＞0)和ab=ab(a≥0，b＞0)进行二次根式的除法运算和化简.3.学习重、难点重点：(a≥0，b＞0）和(a≥0，b＞0）的运用.难点：熟练运用法则进行化简和计算.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：探究：二次根式除法的运算法则.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：由具体运算归纳一般的运算法则，注意法则中的条件.（4）探究提纲：①计算下列各式，并比较它们的结果：②从①中你发现了什么规律？请用一个等式表示这个规律..③用文字表示二次根式的除法法则是：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.④计算：2.自学：学生参照探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否能从具体运算中归纳出一般规律.②差异指导：引导从具体算式到一般形式；将除式写成分式；强调除数不为0.（2）生助生：相互交流帮助，矫正错误，展示成果.4.强化：强调二次根式的除法法则表达式及成立的条件.1.自学指导（1）自学内容：教材P8例4后面到P9例6的部分.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：注意(a≥0，b＞0）逆向变形外，还有没有其余方法？参看例6解法2.（4）自学参考提纲：①逆用法则化简二次根式的一般步骤是什么？②说说算式的计算方法是什么？③进行二次根式的除法运算时，所得结果应该怎样？④按课本例题的样子化简下列各式：2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否看懂例题的每步计算过程及依据，特别是教材P9例6的解法2.②差异指导：引导思考：()是有理数，×()是有理数等.（2）生助生：学生交流研讨疑难之处.4.强化（1）强调两种化简的方法和步骤.（2）回顾本节所学知识点和数学思想方法.1.自学指导（1）自学内容：教材P9例6后面到例7上面的部分内容.（2）自学时间：3分钟.（3）自学方法：认真阅读课文中最简二次根式给定的两个条件，弄懂所给文字表达的具体含义.（4）自学参考提纲：①什么样的二次根式是最简二次根式？②如果被开方数是一个多项式，该怎么判断其是否含有开得尽方的因数或因式？③二次根式的运算的结果必须达到的两点要求是：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.④下列二次根式是否是最简二次根式？为什么？⑤化简下列二次根式，并用最简二次根式的特点验证化简是否彻底.2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握最简二次根式满足的条件，能否说明条件包含的具体内容.②差异指导：a.被开方数是小数的算不算，含分母的算不算.b.如何查找被开方数中有无开得尽方的因数或因式.（2）生助生：相互交流，帮助矫正错误，展示学习成果.4.强化（1）强调检验二次根式是最简二次根式的两条标准.（2）二次根式化简思路及方法.1.自学指导（1）自学内容：教材P9例7后面到P10练习上面的部分.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：体会列式、化简的过程，类比有理数的乘除混合运算顺序来考虑二次根式的乘除混合运算顺序.（4）自学参考提纲：①化简的结果是.②化简的结果是.③计算：.答案：.2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生自学中存在的疑点问题.②差异指导：对个别学生在运算步骤不清和法则运用不当的地方进行引导.（2）生助生：相互交流，帮助矫正错误.4.强化：（1）总结自学参考提纲第①题的化简方法.（2）总结自学参考提纲第②题的化简方法.（3）总结自学参考提纲第③题的运算技巧.（4）回顾本节所学知识点和数学思想方法.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：小组代表介绍自己的学习方法、收获和困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在课堂学习中的态度、方法、成果和不足进行进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.创设情境，不仅达到了复习之前所学二次根式的乘法法则的效果，还导入本课时所要学习的内容，通过类比学习的方法，使学生更容易学习二次根式的除法运算.由特殊到一般，循序渐进，让学生经历观察、思考、讨论、分析、归纳总结的过程，从而更加深刻学习，最后运用乘法检验，到达知识上下的连接，形成知识网络.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（60分）1.(10分）如果等式成立，那么（B)A.x≥0B.x>3C.x≠3D.x≥32.(10分）下列各式中，是最简二次根式的是（C)A.B.C.D.4.(10分)若和是同类最简二次根式，则mn=6.5.(10分)已知方程则x=.6.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=,S△ABC=,求AB的长.二、综合运用（20分）7.阅读理解与运用.（1）当x≥0，y≥0时，,同理可得：.(2)a,b均为非负数，且a≠b，化简.三、拓展延伸（20分）16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减法一、新课导入1.导入课题大家非常熟悉8+18等于多少，那么是多少呢？怎么计算呢？今天我们一起来学习二次根式的加法.2.学习目标（1）知道怎样的二次根式能进行合并.（2）知道进行二次根式的加减法运算的步骤和方法.3.学习重、难点重点：会进行二次根式的加减法运算.难点：二次根式的加减法运算步骤.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P12的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：体会列式、化简的过程，联想多项式相加时，合并同类项的方法来类比课文中二次根式的合并方法.（4）自学参考提纲：①下面每组中的二次根式能否合并？为什么？.答案：能；能；不能.理由：前两个式子为同类二次根式，最后一个不是，不能合并.②合并二次根式的要点是什么？③二次根式的加减运算的一般步骤是什么？④下列计算是否正确？为什么？答案：×;×;√;×.理由：第1、2、4个式子不是同类二次根式，不能合并.第3个式子为同类二次根式，可以合并.2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握怎样的二次根式能够合并，合并的方法是什么.②差异指导：对是不是被开方数不同就不能合并，合并前应做什么等问题进行指导.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化（1）归纳合并二次根式的方法和要点.（2）总结二次根式的加减运算的一般步骤.1.自学指导（1）自学内容：教材P13例1和例2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先独立运用刚才总结的二次根式加减法法则计算，然后对照课本步骤验证方法是否正确.（4）自学参考提纲：①计算，并说明其中的道理.②二次根式的加减与整式的加减有哪些类似之处？③例题中（1)、(2）先做了什么？然后做什么？④计算：答案：;2.自学：学生可结合自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否熟悉了例题介绍的计算步骤及方法，存在哪些疑点.②差异指导：不是最简二次根式的先化简；化简后找被开方数相同的二次根式.（2）生助生：相互交流，帮助矫正错误.4.强化（1）强化自学提纲中该重点强化的内容.（2）点学生板演自学参考提纲第④题，并点评.（3）回顾本节所学知识点和数学思想方法.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：小组代表介绍小组成员怎样学习，有哪些收获和不足.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生的学习态度、方法、成果及存在的问题.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时通过创设情境，给出实例.由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，让学生明白二次根式的加减的实质是合并同类二次根式；师生共同总结出二次根式加减法运算的步骤：（1）化成最简二次根式；（2）找出被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式，可简化为：化简→判断→合并.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.(10分）二次根式：①；②；③；④中，能与合并的二次根式是(C)A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④2.(10分）下列计算正确的是（C)3.(10分）若最简二次根式能进行合并，则x＝2.4.(40分）计算：二、综合运用（15分）三、拓展延伸（15分）16.3二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算一、新课导入1.导入课题整式四则运算的运算法则大家比较熟悉，那么二次根式的四则运算又该怎样进行呢？今天我们来学习二次根式的四则混合运算.2.学习目标熟练应用二次根式的加减乘除法运算法则及乘法公式进行二次根式的混合运算.3.学习重、难点重点：类比整式混合运算进行二次根式的混合运算.难点：混合运算的顺序、运算律及乘法公式的灵活运用.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P14例3.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：类比多项式乘以（除以）单项式的法则学习例3.（4）自学参考提纲：①.②③运用①、②中的结论体会教材P14例3中两道题的算理.④例3中第（2）题也运用了分配律吗？为什么？⑤计算：2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否领会例3中的算理，存在的疑点在哪里.②差异指导：指导整式运算方法；例3第（2）题可写成（a+b)·c的形式.（2）生助生：同桌之间相互研讨，帮助解决疑难之处.4.强化：乘法分配律：在二次根式运算中同样适用.1.自学指导（1）自学内容：教材P14例4.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：类比多项式乘以多项式的运算法则和乘法公式学习例4.（4）自学参考提纲：①(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.②(a+b)(a-b)=a2-b2.③(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.④结合①②③说明例4中两题的算理.⑤.⑥计算：答案：上面6个小题答案依次为2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生对教材例4中（1)、(2）计算的理由是否弄清楚.②差异指导：指导学生按多项式乘法法则和乘法公式来体会例题中的计算依据.（2）生助生：同桌之间相互研讨.4.强化（1）整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算.（2）回顾本节所学知识点、数学思想方法及运算技巧.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：小组代表交流学习方法、收获及存在的疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生的学习态度、方法、成果及存在的不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时的教学内容为二次根式的混合运算，教学过程中要将整式运算的知识迁移过来.强调有理数的运算定律、多项式乘法法则及乘法公式在二次根式的计算中仍然适用.同时也要注意二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）.培养学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（50分）二、综合运用（20分）三、拓展延伸（30分）7.计算：（用简便方法）数学活动——二次根式的应用一、导学1.活动导入同学们，我们知道书籍和纸张的长与宽都有固定的尺寸，那么你知道它们的长与宽的比值是多少吗？另外，若告诉你一个长方体的长、宽、高之比，并告诉这个长方体的某个面的面积，你能动手做出这个长方体的纸盒吗？本节活动课我们一起来探讨并解决这些问题.2.活动目标（1）应用二次根式的知识，解决日常生活中的简单应用问题.（2）经过探讨问题、分析问题、解决问题的过程，逐步培养动脑、动手能力.3.活动重、难点重点：探索纸张规格与的关系，以及动手做长方体纸盒.难点：应用二次根式知识解决实际问题，培养学生动手操作能力.二、活动过程活动1纸张规格与的关系1.活动指导（1）活动内容：教材P17活动1：纸张规格与的关系.（2）活动时间：8分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①下列提供A型纸的长与宽的数据，先计算长与宽之比，并将结果填在表①中.表①表②②同表①，提供了B型长方形的纸张的长与宽的数据，请计算长与宽的比，将结果填入表②中.③根据①、②的计算结果，你发现的结果是不同规格的A型纸、B型纸的长与宽的比值是固定的.各规格纸张的长与宽之比的关系是长与宽的比接近.④动手测量数学课本与课外读物的长与宽，长与宽的比是否也有类似的确定关系？2.自学：学生对照活动指导进行活动性学习，相互展示活动成果.3.助学（1）师助生：①明了学情：教师及时到学生中去观察活动情况.②差异指导：对动手能力差的学困生应实地指导，减少测量计算误差.（2）生助生：各小组之间相互交流与合作.4.强化（1）不管是A型纸，还是B型纸，只要是常用规格的纸的长与宽比是固定的，都接近.（2）我们用的教科书及课外读本的长与宽之比也接近.活动2做长方体纸盒1.活动指导（1）活动内容：教材P17活动2：做长方体纸盒.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：按活动指导进行活动性学习.（4）活动参考提纲：①一个长方体的底面积为24cm2，长、宽、高的比为4∶2∶1，回答下列问题：a.这个长方体的长、宽、高分别是多少？b.长方体的表面积是84cm2.c.长方体的体积是243cm3.②根据你计算出的长方体的长、宽、高的大小，动手做长方体纸盒.2.自学：学生对照活动指导进行活动性学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：随时到各小组中间去，了解学习进程，活动程序及动手操作情况.②差异指导：对有疑问的学生及时辅导，对动手能力差的学生应指导操作顺序和方法，确保活动圆满完成.（2）生助生：充分发挥会学习学生的优势，提示学习有困难的学生向学习方法好的同学学习，同时，强调小组间加强交流与合作展示.4.强化（1）在计算这个长方体的长、宽、高时，可设长为4xcm、宽为2xcm、高为xcm.根据底面积等于长×宽，列方程，求得x的值.（2）做长方体纸盒时，应记住长方体由6个面组成，且相对两个面是全等形.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课有什么收获，哪些方面不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生动手操作，情感态度，回答问题，制作的实体等方面的表现进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.通过数学活动，学生亲自动手操作，既培养了学生的动手操作能力，又对二次根式的知识有了更加深刻地认识.教师对在活动过程中有困难的学生应及时给予帮助，让学生主动去观察、分析、归纳和总结，最后让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（60分）1.(10分）约等于（A）A.1.414B.1.514C.1.314D.1.2142.(10分）我们使用的各科教科书的长与宽的比约为1.414.3.(10分）一个长方体有6个面，12条棱，8个顶点.4.(15分）已知n为正整数，是整数，求n的最小值.解：∵已经是最简二次根式，∴n的最小值为42.5.(15分）已知三条线段长分别为你能用这三条线段为边围成一个三角形吗？若能，求它的周长，若不能，请说明理由.二、综合运用（20分）6.如图，正方形的面积为49cm2，它的四个角是面积为3cm2的小正方形，现将4个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的体积是多少？（结果保留根号）三、拓展延伸（20分）7.如图所示，把一张标准纸一次又一次对折，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……已知标准纸的短边长为acm，试求“16开”纸的长边和短边各是多少厘米？（用含a的式子表示）解：∵标准纸的长边长为cm,∴“16开”纸的长边和短边分别为cm，cm.章末复习一、复习导入1.导入课题同学们学习完“二次根式”这章内容后，你有哪些收获，还存在哪些困惑？这节课我们一起来对本章学过的知识进行复习和巩固.2.复习目标（1）通过复习理清本章的知识结构和重要知识点.（2）总结本章的重要思想方法和技能技巧.3.复习重、难点重点：二次根式的性质和运算.难点：整式的运算性质及公式在二次根式运算中的灵活运用.二、分层复习1.复习指导（1）复习内容：教材P1到P20.（2）复习时间：8分钟.（3）复习要求：通过看课本和学习笔记复习和回顾本章的重要知识点，总结学过的解题技巧，记录易混易错点.（4）复习参考提纲：①二次根式：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.②最简二次根式：满足条件①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.③二次根式的性质：④二次根式的运算：a.二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.b.二次根式的乘除：乘法：.除法：.c.二次根式的混合运算：先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号时先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算.2.自主复习：学生可参考复习参考提纲进行自学.3.互助复习（1）师助生：①明了学情：了解学生复习中的不到之处及易混淆的地方在哪里.②差异指导：指导学生梳理知识要点方法和运算法则的顺、逆运用技巧.（2）生助生：相互交流，帮助矫正错误，展示复习成果.4.强化（1）强调公式的成立条件及化简结果存在的差异.（2）本章的运算法则.（3）重要概念：最简二次根式.（4）强调本章的数学思想方法.1.复习指导（1）复习内容：典例剖析，难点跟踪.（2）复习时间：15分钟.（3）复习要求：完成所给例题，也可查阅资料或和其他同学研讨.（4）复习参考提纲：【例1】下列二次根式是最简二次根式的是（C)A.B.C.D.【例2】若互为相反数，则x+y的值为（D)A.3B.9C.12D.27【例3】计算：.答案：【例4】计算：.答案：【例5】已知的值.解：【例6】先化简，再求值：,其中.解：.2.自主复习：学生完成复习参考提纲中的例题，分析和解答.3.互助复习（1）师助生：①明了学情：了解学生是否找到例题中的求解依据及解题步骤，收集存在的问题.②差异指导：对例题条件所起作用认知不清的学生进行点拨引导.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化（1）归纳例题中运用的重要知识点及解题依据、步骤等.（2）点评其中的易错点.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：小组代表介绍自己的复习方法、成果和疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生的学习态度、方法、成果及存在的不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本节课是复习课，首先帮助学生构建知识框图，其作用在于进行知识梳理，目的是让学生更好地回顾本章的知识点，理解本章的知识体系然后精选部分例题，让学生感受转化思想、整体思想、类比思想、分类讨论思想在本章节中的综合运用，使学生对本章的知识点不光停留在掌握上，更能综合灵活运用.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.(10分）在，，，中最简二次根式的个数是（A)A.1个B.2个C.3个D.4个2.(10分）估算的值（D)A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间3.(10分）如图是一个正方体的展开图，已知这个正方体各对面的式子之积是相等的，那么x为（A)A.B.C.D.4.(10分）已知是整数，那么自然数n可以是3、8（请你写出两个）.5.(20分）计算：二、综合运用（20分）7.(10分）先化简，再求值：.8.(10分）如图：面积为48cm2的正方形四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到0.1cm,≈1.732)三、拓展延伸（10分）9.如图所示是小华同学设计的一个计算机程序，请你看懂后再做题：（1）若输入的数x=5，输出的结果是；（2）若输出的结果是0且没有返回运算，输入的数x是；（3）请你输入一个数使它经过第一次运算时返回，经过第二次运算则可输出结果，你输入的数是，输出的数是.第十七章勾股定理17.1勾股定理第1课时勾股定理一、导学1.导入课题在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦，并探索出了勾、股、弦之间的关系（即直角三角形三边之间的关系），这种关系是怎样的关系呢？又把这种关系叫做什么呢？2.学习目标（1）了解勾股定理的文化背景，了解常见的利用拼图验证勾股定理的方法.（2）知道勾股定理的内容.3.学习重、难点重点：勾股定理内容的条件与结论.难点：勾股定理的几何验证方法.4.自学指导（1）自学内容：探究：直角三角形三边之间存在怎样的等量关系.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：结合探究提纲动手拼图，思考面积关系.（4）探究提纲：①投影家中地板砖铺成的地面图案，并框定某一个直角三角形.a.右图中正方形ABFG、正方形ACDE和正方形BMNC的面积之间有何关系？b.如果设AB=a，AC=b，BC=c，那么由a.可得到a2+b2=c2.c.猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.②根据下面拼图，验证猜想的正确性.拼成的正方形面积等于4个直角三角形面积+小正方形面积，即，化简得.二、自学结合探究提纲进行自学.三、助学1.师助生：（1）明了学情：了解学生探究中存在的问题.（2）差异指导：指导学生运用面积法找到等量关系.2.生助生：同桌之间相互研讨，帮助解决疑难.四、强化1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.五、评价1.学生的自我评价：小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生在课堂学习中的态度、合作探究的成绩和不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本节课通过向学生介绍勾股定理的悠久历史，让学生了解古代劳动人民在数学方面的成就，感受数学文化是人类文化的重要组成部分.本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（60分）1.(15分）在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和，则斜边长为.2.(15分）在Rt△ABC中，若斜边长为，一条直角边的长为2，则另一条直角边的长为1.3.(10分)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b=8.4.(20分)在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)已知c=25，b=15，求a；(2)已知a=，∠A=60°，求b，c.二、综合运用（20分）5.已知直角三角形的两边长分别为3，2，求另一条边长.解：当斜边的长为3时，另一条边长；当两条直角边长分别为3、2时，斜边长.三、拓展延伸（20分）6.如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长.解：∵∠A=∠C′=∠C=90°,∠AEB=∠C′ED,AB=C′D,∴△AEB≌△C′ED.∴AE=C′E,∴C′E=AD-ED=8-ED.又在中，∴.17.1勾股定理第2课时勾股定理的应用一、新课导入1.导入课题前面我们学习了勾股定理的意义，它具有广泛的实际应用，下面我们试用它来解决几个问题.2.学习目标（1）能应用勾股定理计算直角三角形的边长.（2）能应用勾股定理解决简单的实际问题.3.学习重、难点重点：运用勾股定理求直角三角形的边长.难点：从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中的有关问题.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P25例1.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：思考木板通过门框的方式有几种，并对照数据分析木板能否通过.（4）自学参考提纲：①因为木板的宽为2.2m，长为3m，都大于1m，所以木板横着不能从门框内通过.因为木板的宽为2.2m，长为3m，都大于2m，所以木板竖着也不能从门框内通过.所以试试斜着能否通过，对角线AC是斜着通过的最大长度，因此必须先求出AC长，再与木板的宽比较.②在Rt△ABC中，根据勾股定理：AC2=AB2+BC2=12+22=5，因此.因为AC≈2.24(>)2.2，所以木板能斜着从门框内通过.2.自学：学生结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否分析出木板穿过门框的途径有哪些.②差异指导：指导寻找木板通过门框的途径；木板斜着通过需要怎样斜放时间隙是最大的.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化（1）归纳解题思路：把实际问题转化成长方形ABCD的问题，再把长方形ABCD转化成Rt△ABC，运用勾股定理计算，求解.（2）练习：在上述问题中，若薄木板长3m，宽1.5m，木板能否从门框内通过？为什么？1.自学指导（1）自学内容：教材P25例2.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：思考图中的实际问题实质是直角三角形的问题，所以应从直角三角形来分析解决问题的办法.（4）自学提纲：①由梯子的原来位置构成的Rt△AOB，可求得OB=1.②由梯子顶端下滑至C的位置时，又构成Rt△COD，且CD长不变，OC=1.9，由勾股定理可求得OD≈1.77.③可以看出，BD=OD-OB，求BD，必先求出OB、OD，在Rt△AOB中，在Rt△COD中，.BD=OD-OB≈0.77.梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，梯子的底端B外移0.77米.2.自学：学生结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否理解题意，梯子位置变化前后，什么不变，什么在变，学生是否清楚.②差异指导：由线段和差关系如何表示BD；梯子与墙面、地面构成什么图形.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化：学会将实际问题转化为数学问题，建立几何模型求解.1.自学指导（1）自学内容：教材P26到P27练习以上的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：动手尝试作直角三角形中，由已知两边长去求第三边长.（4）自学提纲：①教材P26思考中的证明：先用勾股定理证得BC=B′C′，再用SSS公理判定△ABC≌△A′B′C′.②长为的线段是直角边为正整数3，2的直角三角形的斜边长.③在数轴上画出表示13的点，方法如下：在数轴上找到点A，使OA=3，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，OB为半径画弧与数轴的正半轴的交点C，点C即为表示的点.④完成P27练习题.2.自学：请同学们结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生看书、动手中存在的问题障碍.②差异指导：指导学生分析作图方法及依据.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化（1）尺规作图方法.（2）总结在数轴上作出表示无理数的点的步骤.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：小组代表介绍自己在学习中的探索方法、收获和疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生课堂学习的积极态度、成果及不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时的教学内容是用勾股定理解决简单的实际问题，运用到的思想是数形结合的思想.在实际生活中，很多问题需要用到勾股定理去解决.因此在解决此类问题时，先要将它转化为数学问题，就本课时而言，关键是要通过构造直角三角形来完成，所以教师在教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出已知的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此处，教师还应关注学生所用语句的规范性，尽量让学生用数学语言来描述.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（50分）1.(20分）求出下列直角三角形中未知的边.答案：AC=8AB=17BC=1,AC=BC=,AC=2.(10分）直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8，则以斜边为边长的正方形的面积为15.3.(10分)如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，现测得CB=60m,AC=20m.求A，B两点间的距离(结果取整数).第3题图第4题图4.(10分）如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0）和B(0，4)，求这两点间的距离.二、综合运用（20分）5.(10分)如图，∠BAC=90°,AD⊥BC,BC=4cm,∠B=60°，求AD,BD的长.解：∵在Rt△ABC中∠B=60°，∴AB=12BC=2(cm).在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠B=60,∴BD=AB=1(cm),(cm).6.(10分）在数轴上作出表示20的点.点A即为表示的点.三、拓展延伸（30分）7.(15分）印度数学家什迦罗（1141年—1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可见，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；诸君帮忙算一算，湖水如何知深浅？”请用学过的知识回答这个问题.（如图）解：设水深为h尺.由题意得：AC=12,BC=2,OC=h,∴OB=OA=OC+AC=h+.由勾股定理得：OB2=OC2+BC2，即(h+)2=h2+22,解得h=.∴水深尺8.(15分）有5个边长为1的正方形，排列成如下图形式，请把它适当分割后拼接成一个大正方形.（用虚线标示分割线，并简要写出分割拼接法）.将五个小正方形按图1中虚线剪切为四个全等的直角三角形和一个小正方形，按图2的摆法拼接，则可得到一个面积为5的大正方形.17.2勾股定理的逆定理一、新课导入1.课题导入前面我们学过命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.反过来，在一个以a、b、c为边长的三角形中，如果a2+b2=c2，那么这个三角形一定是直角三角形吗？2.学习目标（1）了解命题、逆命题等概念，并会写一个命题的逆命题.（2）会判断一个命题的逆命题的真假，知道定理与逆定理的关系.（3）了解勾股定理的逆定理的条件与结论与原命题的条件与结论的关系.（4）学会运用勾股定理的逆定理判别一个三角形是不是直角三角形.3.学习重、难点重点：会分清一个命题的题设和结论，正确把握勾股定理与其逆定理的关系.难点：勾股定理的逆定理的应用.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：P31倒数第3行以上内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：认真阅读课文内容，重点、疑点做上记号，并与同桌交流.（4）自学参考提纲：①你通过尝试课文中介绍的绳子打结后围成的三角形的试验，并不断变换三角形各边的结数，你能得出什么结论吗？②如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么以a、b、c为边的三角形是直角三角形.从而得出命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.③前面我们学过的命题1和命题2的题设与结论是什么关系？我们把像命题1和命题2这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题.④写出下列命题的逆命题.a.内错角相等，两直线平行.b.对顶角相等.c.若a=b，则｜a|=|b|.⑤一个真命题的逆命题一定是真命题吗？试举例说明.2.自学：同学们结合自学提纲进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：深入课堂了解学生自学中的疑点及存在的问题.②差异指导：对学生中在题设与结论分析不清的地方进行点拨引导.（2）生助生：小组内相互交流帮助.4.强化（1）互逆命题的意义.（2）原命题成立，它的逆命题不一定成立.1.自学指导（1）自学内容：P32的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：阅读教材内容，体会课本中证明命题2的方法和依据，并与同桌交流疑点.（4）自学参考提纲：①在探究中证明△ABC≌△A′B′C′运用了判定两个三角形全等的哪种方法？②在△A′B′C′中，为何A′B′=c?③∠C=90°是根据什么理由得到的？④具有什么特征的三个数是勾股数，举一、二例交流一下.⑤判断以下列三条线长为边的三角形是不是直角三角形？.答案：是；是；不是.2.自学：同学们可结合自学指导进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生自学中的疑点和难点，特别是看能否正确运用逆定理来找对应的直角.②差异指导：指导学生在运用逆定理时，先找最大（边）数，再计算出较小两个数的平方和与最大数的平方，然后再进行比较.（2）生助生：同桌之间，小组之间相互交流研讨.4.强化（1）判别一个三角形是不是直角三角形的方法：①由角判别；②由边来判别.（2）三个数为勾股数必须满足的两个条件：①勾股数必须是正整数；②两个数的平方和等于第三个数的平方.（3）强调本节课学习中注意的问题及运用的思想方法.1.自学指导（1）自学内容：P33例2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：阅读时，仔细领会题意和作图，体会例题中如何将实际问题转化为数学问题.（4）自学参考提纲：①在平面内，对于某一个确定的点O，它所在的方位是上北，下南，左西，右东（填“东”“南”“西”“北”）.②“东北方向”指的是北偏东45度，“西南方向”是指南偏西45度.③由例题2的题意可知：一个半小时后，“远航”号离港口的距离PQ=24海里，“海天”号离港口的距离PR=18海里，“远航”号与“海天”号之间的距离QR=30海里；因为，所以∠RPQ=90°，于是有：PR方向是北偏西45度，即“海天”号沿西北方向航行.④A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，那么C地在B地的什么方向？为什么？解：∵52+122=132，即AB2+BC2=AC2,∴△ABC为直角三角形.∴C地在B地的正北方向.2.自学：同学们可结合自学指导进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对方位图的理解，了解存在的困难在哪里？②差异指导：图形中反映的方位确定；寻求PR、PQ、QR之间满足的关系的引导.（2）生助生：小组内相互交流帮助.4.强化（1）结合画图，认识方位角.（2）点评例题的解题思路、方法及易混易错点.（3）总结勾股定理的逆定理在解决实际问题的作用及表达方法.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：各小组学生代表介绍自己的学习方法，收获及困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生在课堂学习中的态度、方法、收获及存在的不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测3.教师的自我评价（教学反思）.本课时的教学目标是在掌握了勾股定理的基础上，让学生从三边的关系来判定一个三角形是否为直角三角形，即“勾股定理的逆定理.”让学生了解互逆命题，互逆定理的概念以及它们之间的联系与区别，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.让学生通过合作、交流、反思感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索，合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.(10分）下列各组数能否作为一个直角三角形的三边长？为什么？(1)5，12，13(2)6，8，10(3)15，20，25答案：（1)√(2)√(3)√2.(10分）写出下列命题的逆命题，并断定其逆命题的真假性.（1）如果两个角是直角，那么它们相等.（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（3）如果,那么a≥0.解：（1）如果两个角相等，那么这两个角是直角.假命题.（2）在角的内部，角的平分线上的点到两边的距离相等.真命题.（3）如果a≥0，那么.真命题.3.(10分）△ABC的三边长之比为1∶1∶2，那么△ABC是等腰直角三角形.4.(10分）小明向东走80m后，沿另一个方向又走了60m，再沿第三个方向走100m刚好回到原地，则小明向东走80m后是向正北或正南方向走的.5.(20分)如果m是表示大于1的整数，a=2m，b=m2-1,c=m2+1，那么以a、b、c为边长的三角形是直角三角形吗？为什么？解：是直角三角形.∵a2+b2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1=c2，又∵m为大于1的整数，∴a,b，c是正整数，以a、b、c为边长的三角形是直角三角形.6.(10分)若△ABC的三边长a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是(D)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形二、综合运用（15分）7.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足,试判断△ABC的形状.解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0.当a=b时，△ABC为等腰三角形；当a≠b时，△ABC为直角三角形.三、拓展延伸（15分）8.一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3,AD=4,BC=12,CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？解：如图，连接BD.在Rt△ABD中，.在△BCD中，BD2+BC2=52+122=132=CD2.∴△BCD为直角三角形，∠DBC=90°.∴数学活动——勾股定理的应用及其证明方法的探究一、导学1.活动导入给你一根较长的绳子和刻度尺，你能测量学校旗杆的高度吗？给你4个全等的直角三角形，你能拼出不同课本介绍的其他图案，并能证明勾股定理吗？本节活动课，我们就这两个问题一起探讨，看能否攻克这两个问题.2.活动目标（1）通过测旗杆的高度，培养学生动手测量能力，亲身感受学习数学知识是为实践服务的意识.（2）通过拼图活动，培养学生的动手操作能力和空间想象能力，发展形象思维.同时了解勾股定理的历史，感受数学文化，增强对我国悠久历史文化的热爱情感.3.活动重、难点重点：旗杆的高度测量以及用4张全等的直角三角形纸片，拼出一些与教科书上不同的图案，并用自己拼出的图案证明勾股定理.难点：寻求应用勾股定理测量旗杆的高度和利用拼图验证勾股定理的方法.二、活动过程活动1测量旗杆的高度1.活动指导（1）活动内容：P36活动1：测量旗杆的高度.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①回忆勾股定理的内容及功能：其内容为：如果直角三角形的两条直角边长为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，其功能为求直角三角形的三边长.②测旗杆的高度方案的原理是构造直角三角形，利用勾股定理，求出旗杆的高度.③如图，将绳子拉直并拉到如图1所示的位置，先测BC之长为a米，再将绳子AB放下并测得其多出的一段长为h，则设AC=x，可列式为2.自学：学生参考活动指导进行活动性操作学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：老师随时出现在小组活动中间，对测量的方法和结果作明确了解.②差异指导：老师应对动手能力差的同学进行当面指导.（2）生助生：各小组之间积极配合，按制定测量方案进行，并相互纠正不合理之处.4.强化测量旗杆的高度是利用绳长超过旗杆，把绳子拉直，让绳子下端与地面接触，从而构成直角三角形，再运用勾股定理，知道两边长，可求出第三边之长.活动2用四张全等的直角三角形纸片拼图，并证明勾股定理1.活动指导（1）活动内容：P36活动2：拼图并证明勾股定理.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：按活动指导进行动手拼图试验.（4）活动参考提纲：①设4个全等的直角三角形的三条边的长度分别为a,b,c，以下各图是按要求方法拼出的几个图案，请你用两种不同的方法计算图2中大正方形（或小正方形）的面积，从中你发现勾股定理的证明方法了吗？②你还能拼出另外的图案吗？看看在哪些图案中用类似方法证明勾股定理.2.自学：学生按自学指导进行活动性学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解全班各学习小组学生的拼图活动情况.②差异指导：对个别动手拼图能力差的学生进行有针对性地指导.（2）生助生：学生之间互相交流、合作，取长补短.4.强化（1）用4张全等的直角三角形纸片拼出含有正方形的图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠.（2）在拼成的图案中证明勾股定理，是利用面积进行的.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课有哪些收获，有哪些不足？还有哪些疑点？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生的动手操作，逻辑推理、计算、参与活动情况进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本节课是活动课，通过测量旗杆高度和拼图活动，培养学生的动手操作能力和空间想象能力，发展形象思维.在活动过程中，鼓励学生多交流、合作、分享各自的活动经验.教师应对个别动手拼图能力差的学生进行有针对性的指导.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（65分）1.(10分）下列四组数中，不是勾股数的一组是（D）A.5，12，13B.3，4，5C.6，8，10D.6，7，82.(10分）若直角三角形三边长分别为3，4，x，则x的可能值有（B）A.1个B.2个C.3个D.4个3.(10分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（B）A.b2=c2－a2B.C.∠C＝∠A－∠BD.∠A∶∠B∶∠C＝4.(10分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格长为1，则△ABC是（A）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对5.(10分）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（C）6.(15分)三个半圆的面积分别为S1=3π，S2=4π，S3=7π，把三个半圆拼成如右图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？解：△ABC一定是直角三角形，∵又∵S1+S2=3π+4π=7π=S3,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.二、综合运用（15分）7.如图，在高为3米，斜面长为5米的楼梯的表面铺地毯，地毯的长度至少多少米？解：地毯的长度为以高和斜面长分别为直角边长和斜边长的直角三角形的两直角边长之和，∵直角三角形的另一条直角边长为(米），∴地毯的长度至少为：3+4=7(米).三、拓展延伸（20分）8.如图，是美国第20任总统加菲尔德的证明勾股定理的方法图，聪明的你能完成他的证明过程吗？证明：由题意可得：∠C=∠D=90°.∴∴a2+b2=c2.章末复习一、复习导入1.导入课题前面我们学习了勾股定理及其逆定理，大家对定理的内容及应用掌握得如何呢？这节课我们一起来作一个回顾总结，检阅学习成果.2.复习目标（1）复习与回顾本章的重要知识点和知识结构.（2）总结本章的重要思想方法及其应用.3.复习重、难点重点：勾股定理及其逆定理的用途和相互关系.难点：勾股定理及逆定理的综合运用.二、分层复习1.复习指导（1）复习内容：P22到P39.（2）复习时间：8分钟.（3）复习要 ：通过阅读课本和笔记梳理本章的重要知识点及典型应用.（4）复习参考提纲：①如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有a2+b2=c2.②如果三角形的三边长a，b，c满足关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.③如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n是不小于1的整数.④两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题称为互逆命题.原命题正确，逆命题不一定正确.⑤一个命题一定有逆命题，一个定理的逆命题不一定正确，所以它不一定有逆定理（填“一定”或“不一定”）.2.自主复习：学生可参考复习参考提纲进行自学.3.互助复习（1）师助生：①明了学情：了解学生对本章重要知识点的整理和识记是否完整，知识应用是否熟练.②差异指导：对定理的应用方面进行指导总结，共性问题集中指导，个性问题个别指导.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化：（1）勾股定理及其逆定理的内容.（2）强调本章的数学思想方法：①建立数学模型；②定理求边、逆定理求直角.1.复习指导（1）复习内容：典例剖析，疑点跟踪.（2）复习时间：15分钟.（3）复习要求：完成所给例题，也可查阅资料或和其他同学研讨.（4）复习参考提纲：【例1】下列各组数中，不是勾股数的是（C)A.4,3,5B.5,12,13C.10,15,18D.8,15,17【例2】如图直角三角形中，边长x等于5的三角形有（B)A.1个B.2个C.3个D.4个【例3】一束光线从y轴上点A(0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B(3，3)，则光线从A点到B点经过的路线长是5.【例4】我国古代数学家赵爽的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么（a＋b)2的值是25.【例5】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证：CE⊥BE.证明：如图，过点C作CF⊥AB交AB于F.∵CF⊥AB,AB∥CD,∠A=90°,∴四边形ADCF为矩形.∴AF=DC,AD=CF,∴FB=AB-AF=2-1=1.在Rt△CFB中，.∴.在Rt△CDE中，，同理：BE=.在△BCE中，.∴△BCE为直角三角形，∠CEB=90°,∴CE⊥BE.【例6】如图，一个圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，请你算一算梯子最短需多少米？（已知油罐的底面周长是12米，高是5米）解：如图，将油罐侧面展开，此时(米）.2.自主复习：学生尝试完成复习参考提纲中的例题.3.互助复习：（1）师助生：①明了学情：注意学生在自主学习解答例题时，存在的障碍和问题在哪里？②差异指导：例5中证CE⊥BE的思路指导：勾股定理的逆定理；例6中引导学生将曲面转化成平面考虑.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化（1）点两位学生口答例1、例2的解答依据和过程、结果.点三位学生板演例3、例4、例5.（2）点评其中的易错点及思想方法.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：各小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生复习的方法、收获和存在的问题.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本节课是复习课，师生共同完成本章知识框图的建立，教师帮助学生进行知识梳理，让学生更好地回顾本章的知识点，理解本章的知识体系.牢牢抓住勾股定理及其逆定理，并会运用这两个定理解决实际问题.教师精选部分例题，让学生试着解答；教师再予以点拨，以达到复习效果.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，为求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形，且∠B=90°，再测得AC长160米，BC长128米，则A、B之间的距离为(A)A.96米B.100米C.86米D.90米第1题图第3题图2.(10分）下列命题中，逆命题仍然成立的是（B)A.全等三角形的面积相等B.到角两边距离相等的点在这个角的平分线上C.同一个角的余角相等D.等腰三角形是轴对称图形3.(10分）如图，正方形的面积是74.4.(10分）有长为3cm,6cm,9cm,12cm,15cm的五根木棒，要从中选出3根，搭成直角三角形，则选出的3根木棒的长应分别为9cm、12cm、15cm.5.(15分）在如图所示的数轴上作出表示-10的点.点A即为表示-10的点.6.(15分）如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为多少？（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）解：由题意知：DE=1.6,AD=6，在△ACD中，∠A=30°,∠C=60°，∴∠ADC=90°，,即,解得CD=,∴这棵树高大约为：CE=CD+DE=+1.6≈5.1(m).二、综合运用（15分）7.如图所示，一只蚂蚁在A处往东爬8格后，又向北爬2格，遇到干扰后又向西爬3格，再折向北爬6格，这时发现B处有食物，于是便又向东爬1格到B处找到食物，如果图中每一个方格都是边长为1cm的正方形，问此时蚂蚁爬行的路程是多少？如果蚂蚁从A处沿直线AB到达B处，则可少爬多远的路程？解：此时蚂蚁爬行的路程是：8+2+3+6+1=20(cm)，若蚂蚁从A处沿直线AB到达B处；设由A向东6格处的点为C（如图所示），易知△ABC为直角三角形，则(cm),20-10=10(cm).则可少爬10cm.三、拓展延伸（15分）8.如图，已知B、C两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区A与B相距15千米，A与C相距20千米，以点A为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B、C两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公路是否会穿过自然保护区？试通过计算加以说明.解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D.在△ABC中，AB2+AC2=152+202=252=BC2.∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°.又∵AB·AC=AD·BC.∴.∴这条公路不会穿过自然保护区.第十八章平行四边形18.1平行四边形18.1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边角特征一、新课导入1.导入课题投影日常生活中常见的平行四边形图案的物件，或在黑板上画出平行四边形图形让学生认识它是什么图形来导入课题.2.学习目标（1）能画平行四边形，会用符号表示平行四边形.（2）能证明并运用“平行四边形对边相等、对角相等”的性质.3.学习重、难点重点：平行四边形的定义及性质.难点：运用性质解题.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：P41第1、2自然段.（2）自学时间：3分钟.（3）自学方法：将平行四边形的定义做上记号，并结