【数学】山西省忻州市2023-2024学年高一上学期期末考试试题（解析版）

山西省忻州市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，则．故选：A.2.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】．故选：D.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.4.已知某扇形的面积为12，半径为4，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】设该扇形的圆心角为，则，解得．故选：C.5.已知函数在内的一个零点附近的函数值如下表：则该零点所在的区间为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数和都是上的单调增函数，所以函数为单调递增函数，将表格中数据按照从小到大排列如下：由表格可得：，由函数零点存在性定理可得：函数有唯一零点，所在的区间为.故选：C.6.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以．故选：C.7.函数（，，）的部分图象如图所示，若，则可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可得，，则，解得，由，得，解得，因为，所以，或，，解得，或，，所以，符合题意．故选：D.8.若函数且在上的值域为，则的值为（）A.或 B.0或 C.或 D.或【答案】A【解析】因为函数在上单调递增，所以函数在上的值域为，当时，在上单调递减，则，解得，则，得，当时，在上单调递增，则，解得或（舍去），则，得，综上，或.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列与的值相等的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】，，，，．故选：AD.10.已知，且，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，由题意可得，A正确；对于B，因为,，所以，当且仅当时，等号成立，B正确；对于C，，当且仅当，即时，等号成立，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD.11.如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为，，，且开始转动5分钟后，座舱距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱距离地面的高度为92.5米，则（）A.B.该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟C.D.该摩天轮座舱距离地面的最大高度为120米【答案】BCD【解析】依题知，则，因为，所以，A错误；由，则周期为，则该摩天轮转动一周需30分钟，B正确；，由，可得，故座舱距离地面的最大高度为，CD正确.故选：BCD.12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A. B.在上单调递减C. D.函数恰有8个零点【答案】AC【解析】对于A，由，得，可得的周期为4，A正确；对于B，当时，，则，得，结合周期画出的部分图象，由图可得在上单调递增，B错误；对于C，，C正确；对于D，因为，所以为偶函数，当时，令，得，画出函数的图象，因为，所以与在上的图象只有8个零点，根据函数奇偶性可得恰有16个零点，D错误．故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.__________；__________.【答案】1【解析】，.故答案为：1．14.函数（）的图象经过定点，则点的坐标为_________．【答案】【解析】令，得，所以点的坐标为．故答案为：.15.已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为_____________________．【答案】【解析】当时，，令，得，解得，因为是定义在上的偶函数，所以不等式的解集为．故答案为：.16.已知函数（）在上单调递增，则的取值范围为____________．【答案】【解析】，当时，，因为在上单调递增，所以（），解得（），由（）得，故的取值范围为．故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知幂函数．（1）求的解析式；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．解：（1）依题意可得，解得，所以.（2）奇函数，理由如下：的定义域为，关于原点对称，因，所以为奇函数．18.已知角是第一象限角，且满足．（1）求，，的值；（2）求，的值．解：（1）因为角是第一象限角，所以，，，由，解得或（舍去），则，．（2），，．19.已知函数，．（1）求的值域；（2）求方程的解集．解：（1）令，，因为，则，可得，所以，即的值域为．（2）由，即，当时，即，整理得，可得或，解得或；当时，即，整理得，可得，解得；综上所述：方程的解集为．20.某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表：销售人员个人每月销售额/万元销售额的提成比例不超过100万元的部分5%超过100万元的部分记销售人员每月的提成为（单位：万元），每月的销售总额为（单位：万元）．注：表格中的（）表示销售额超过100万元的部分．另附参考公式：销售额×销售额的提成比例＝提成金额．（1）试写出提成关于销售总额的关系式；（2）若某销售人员某月的提成不低于7万元，试问该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？解：（1）根据题意可知，当时，；当时，，故提成关于销售总额的函数关系式为（2）当时，，则该销售人员当月的销售总额必定超过100万元，令，得，解得，即该销售人员当月的销售总额至少为135万元．21.已知函数（，）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是，将图象上所有的点先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，且为偶函数．（1）求的解析式；（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．解：（1）由，得，则，则，因为为偶函数，所以（），解得（），因为，所以，则．（2）因为，所以，，则不等式对恒成立可转化为，对恒成立，即，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的取值