四川省石室中学2024届数学高二第二学期期末联考模拟试题含解析

四川省石室中学2024届数学高二第二学期期末联考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男

女

总计

爱好

41

21

31

不爱好

21

21

51

总计

31

51

111

由附表：

1．151

1．111

1．111

2．841

3．325

11．828

参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”2．已知定圆，，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为（）A． B． C． D．3．已知函数的导数是，若，都有成立，则()A． B．C． D．4．在二项式的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线和圆及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A． B． C． D．5．如图，向量对应的复数为，则复数的共轭复数是（）A． B． C． D．6．已知两个复数,的实部和虚部都是正整数,关于代数式有以下判断:①最大值为2；②无最大值;③最小值为；④无最小值.其中正确判断的序号是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．②③7．如图1是把二进制数化为十制数的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.否否开始是8．给出下列命题：①过圆心和圆上的两点有且只有一个平面②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点③若直线上有无数个点不在平面内，则④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行⑤垂直于同一个平面的两条直线平行其中正确的命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．49．已知f'x是函数fx的导函数，将y=fA． B．C． D．10．设复数，是的共轭复数，则（）A． B． C．1 D．211．“，”是“双曲线的离心率为”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件12．随机变量，且，则（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.80二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则______.14．数列满足下列条件：，且对于任意正整数，恒有，则______.15．执行下图的程序框图，如果输入，则输出的值为．16．将极坐标化成直角坐标为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于不同的两点，，若是的中点，求直线的斜率.18．（12分）如图，在多面体中，底面为菱形，底面，.（1）证明：平面；（2）若，，当长为多少时，平面平面.19．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）证明：；（2）若，且的面积为，求.20．（12分）设数列的前项和为．已知，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．21．（12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；年开始，高考总成绩由语数外门统考科目成绩和物理、化学等六门选考科目成绩构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布．（Ⅰ）求化学原始分在区间的人数；（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取人，求这人中至少有人成绩在的概率；（III）若小明同学选择物理、化学和地理为选考科目，其中物理、化学成绩获得等的概率都是，地理成绩获得等的概率是，且三个科目考试的成绩相互独立.记表示小明选考的三个科目中成绩获得等的科目数，求的分布列.（附：若随机变量，则，，.）22．（10分）已知椭圆（）的左右焦点为、，右顶点为，上顶点为，且.（1）求直线的方向方量；（2）若是椭圆上的任意一点，求的最大值；（3）过作的平行线交椭圆于、两点，若，求椭圆的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由，而，故由独立性检验的意义可知选A2、A【解题分析】

将动圆的轨迹方程表示出来：,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.【题目详解】定圆，，动圆满足与外切且与内切设动圆半径为，则表示椭圆，轨迹方程为：故答案选A【题目点拨】本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.3、D【解题分析】分析：由题意构造函数，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.详解：令，则：，由，都有成立，可得在区间内恒成立，即函数是区间内单调递减，据此可得：，即，则.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.4、B【解题分析】

用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．【题目详解】（x1+）6展开式中，由通项公式可得,令11﹣3r＝0，可得r＝4,即常数项为，可得＝15，解得a＝1．曲线y＝x1和圆x1+y1＝1的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为．故选：B【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．5、B【解题分析】

由已知求得，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【题目详解】解：由图可知，，，复数的共轭复数是．故选：．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．6、C【解题分析】

设两个复数,,在复平面内对应点,利用平面向量的加法的几何意义以及平面向量的数量积可以判断出的最值情况.【题目详解】设两个复数,,在复平面内对应点,因此有：因为,复数,的实部和虚部都是正整数,所以,(当且仅当),故,假设有最小值,则,显然对于也成立,于是有这与相矛盾,故不存在最小值；对任意正整数,,,,故没有最大值,因此②④说法正确.故选：C【题目点拨】本题考查了复数的向量表示,考查了平面向量的数量积的计算,考查了数学运算能力.7、C【解题分析】略8、B【解题分析】

依照立体几何相关知识，逐个判断各命题的真假。【题目详解】在①中，当圆心和圆上两点共线时，过圆心和圆上的两点有无数个平面，故①错误；在②中，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线平行或异面，都没有公共点，故②正确；在③中，若直线上有无数个点不在平面内，则与相交或平行，故③错误；在④中，如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或在这个平面内，故④错误；在⑤中，由线面垂直的性质定理得垂直于同一个平面的两条直线平行，故⑤正确．故选．9、D【解题分析】

根据f'x的正负与f【题目详解】因为f'x是函数fx的导数，f'x>0时，函数A中，直线对应f'x，曲线对应B中，x轴上方曲线对应fx，x轴下方曲线对应fC中，x轴上方曲线对应f'x，x轴下方曲线对应D中，无论x轴上方曲线或x轴下方曲线，对应f'x时，fx都应该是单调函数，但图中是两个不单调的函数，显然故选D【题目点拨】本题主要考查函数与导函数图像之间的关系，熟记导函数与导数间的关系即可，属于常考题型.10、A【解题分析】

先对进行化简，然后得出，即可算出【题目详解】所以，所以故选：A【题目点拨】本题考查的是复数的运算，较简单.11、D【解题分析】

当时，计算可得离心率为，但是离心率为时，我们只能得到，故可得两者之间的条件关系.【题目详解】当时，双曲线化为标准方程是，其离心率是；但当双曲线的离心率为时，即的离心率为，则，得，所以不一定非要.故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件.故选D.【题目点拨】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.12、B【解题分析】分析：由及可得．详解：∵，∴．故选B．点睛：本题考查正态分布，若随机变量中，则正态曲线关于直线对称，因此有，（）．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用组合数的性质公式可以得到两个方程,解方程即可求出的值.【题目详解】因为,所以有或.当时,,方程无实根；当时,,综上所述：故答案为：【题目点拨】本题考查了组合数的性质公式,考查了解方程的能力,属于基础题.14、512【解题分析】

直接由，可得，这样推下去，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。【题目详解】故选C。【题目点拨】利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道中等难度题目。15、【解题分析】试题分析：由题意，．考点：程序框图．16、【解题分析】

试题分析：由题意得，，所以直角坐标为故答案为：考点：极坐标与直角坐标的互化.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）直接利用极化直的公式化简得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再根据求出直线的斜率.【题目详解】解：（Ⅰ）由，，，得即所求曲线的直角坐标方程为：（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得由是的中点知，即所以直线的斜率为.【题目点拨】本题主要考查极直互化，考查直线参数方程t的几何意义解题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）证明见解析；（2）1【解题分析】

(1)先证明面面，从而可得平面.

（2）设的中点为，以为原点，，，分别为，，轴，建立坐标系，设,易知平面的法向量为，求出平面的法向量，根据法向量垂直可求解.【题目详解】证明：（1）：∵，面，面，∴面.同理面，又，面，面，∴面面，又面，∴平面.（2）∵，，∴，设的中点为，连接，则.以为原点，，，分别为，，轴，建立坐标系.则，，，令，则，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，∴.易知平面的法向量为，当平面平面时，，解之得.所以当时，平面平面.【题目点拨】本题考查线面平行的证明和根据面面垂直求线段的长度，属于中档题.19、（1）见解析（2）2【解题分析】试题分析：（1）由，根据正弦定理可得，利用两角和的正弦公式展开化简后可得，所以，；（2）由，根据余弦定理可得，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得，由，解得.试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得：，展开得：，整理得：，所以，.（2）由已知得：，∴，由，得：，，∴，由，得：，所以，，由，得：.20、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）由题意可得，再由等差数列的定义即可得证；（2）求得，即，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简可得所求和．【题目详解】（1）因为，所以可化为，又，所以是首项为2，公差为2的等差数列．（2）由（1），知，所以，所以.【题目点拨】本题主要考查等差数列的定义、通项公式、等差（等比）数列的前项和公式，以及数列的分组求和法的应用．21、（Ⅰ）1227人（Ⅱ）（III）见解析【解题分析】

（Ⅰ）根据正态分布的区间及对称性质，利用原则及数据即可得化学原始分在区间的概率，进而求得改区间内的人数；（Ⅱ）先求得再区间内学生所占比例，即可得随机抽取1人成绩在该区