6.2向心力（知识解读）

6.2向心力（知识解读）（解析版）•知识点1向心力•知识点2向心力的大小•知识点3变速圆周运动和一般的曲线运动•作业巩固训练知识点1向心力知识点1向心力1、定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力，符号为Fn。2、方向：指向圆心，向心力方向与速度方向垂直，是变力。3、作用效果：只改变速度的方向，不改变速度的大小。4、向心力的几点说明（1）向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。（2）向心力是根据作用效果命名的，并不是一种新的性质的力，受力分析时，切不可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力。（3）向心力不是物体真实受到的一个力，不能说物体受到向心力的作用，只能说某个力或某几个力提供了向心力。【典例11】下列有关向心力的说法正确的是（）A．向心力的方向总是指向圆心，是恒力 B．变速圆周运动的向心力并不指向圆心 C．圆周运动中，合外力等于向心力 D．向心力可以由重力或弹力等来充当，是效果力【答案】D【解答】解：A、向心力的方向总是指向圆心，方向时刻在改变，所以向心力是变力，故A错误；B、变速圆周运动的向心力始终指向圆心，故B错误；C、在匀速圆周运动中，合外力等于向心力。在变速圆周运动中，合外力不一定等于向心力，故C错误；D、向心力是按效果命名的力，向心力可以由重力或弹力等来充当，故D正确。故选：D。【典例12】（多选）假定某水平圆形环岛路面如图（a），汽车受到的最大静摩擦力与重力的比值恒定不变，则当汽车匀速率地通过环形路段时，汽车的侧向摩擦力达到最大时的最大速度称为临界速度，下列说法正确的是（）A．汽车所受的合力为零 B．汽车受重力、弹力、摩擦力和向心力的作用 C．汽车在环岛路外侧行驶时，其临界速度增大 D．如图（b）质量相等的两辆车以大小相等的速度绕环岛中心转，甲车受到指向轨道圆心的摩擦力比乙车的大【答案】CD【解答】解：A．汽车做曲线运动，合力不为零，故A错误；B．向心力是效果力，是其他性质力的合力，故B错误；C．最大静摩擦力提供向心力，则根据向心力公式：可得，若最大静摩擦力不变，则外侧行驶半径较大，临界速度较大，故C正确；D．质量相等的两辆车以大小相等的速度绕环岛中心转，根据向心力公式：可知，甲车运动半径小，则摩擦力大，故D正确。故选：CD。【变式11】两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（）A．运动的线速度大小相等 B．运动的角速度大小相等 C．向心加速度大小相等 D．向心力大小相等【答案】B【解答】解：BD、对其中一个小球受力分析，如图，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力；将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得，合力：F＝mgtanθ由向心力公式得到F＝mω2r设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htanθ；联立可得：ω＝，与绳子的长度转动半径无关，角速度相等，向心力不相等，故B正确，D错误；A、由v＝ωr，两球转动半径不等，则线速度大小不等，故A错误；C、由a＝ω2r，两球转动半径不等，向心加速度不同，故C错误；故选：B。【变式12】如图所示，一辆汽车通过拱桥的桥顶，汽车在竖直方向上受到重力和支持力的作用，向心力是它们的合力。【答案】重，支持，合力【解答】解：一辆汽车通过拱桥的桥顶，汽车在竖直方向上受到重力和支持力作用，向心力是它们的合力。故答案为：重，支持，合力知识点2向心力的大小知识点2向心力的大小1、感受向心力实验：如图所示，在绳子的一端拴一个小球，另一端握在手中。将手举过头顶，使小球在水平面内做圆周运动。此时，小球所受的向心力近似等于手通过绳对小球的拉力。换用不同质量的小球，并改变小球转动的速度和绳的长度，感受向心力的变化；（1）保持小球转动的速度和绳的长度不变，改变小球的质量，感受向心力的变化；（2）保持绳的长度和小球的质量不变，改变小球转动的速度，感受向心力的变化；（3）保持小球的质量和小球转动的速度不变，改变绳的长度，感受向心力的变化。2、实验结论:物体做圆周运动需要的向心力与物体质量成正比，与半径成正比，与角速度的二次方成正比。3、向心力的大小公式：Fn＝mrω2；又因为及和，所以【典例21】长度为1m的细线，拴一质量m＝2kg的小球（不计大小），另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α＝37°，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（）A．小球运动的角速度为 B．细线的拉力大小为16N C．小球运动的线速度大小为1.2m/s D．小球所受到的向心力大小为15N【答案】D【解答】解：小球受到重力和绳子的拉力，合力提供向心力，如图：其中：α＝37°AD．根据牛顿第二定律，沿水平方向有：Fn＝mgtan37°又：Fn＝mω2Lsin37°解得：Fn＝15N，，故A错误，D正确；B．细线的拉力大小为：，故B错误；C．小球运动的线速度大小为：，故C错误；故选：D。【典例22】（多选）如图所示，一个圆盘在水平面内绕轴做匀速转动，角速度为4rad/s，圆盘上离圆盘中心0.1m的位置有一个质量为0.1kg的小物块A在随圆盘一起做匀速圆周运动，以下说法正确的是（）A．物块做匀速圆周运动的线速度大小为0.4m/s B．物块做匀速圆周运动的向心加速度大小为1.6m/s2 C．物块做匀速圆周运动的向心力大小为1.6N D．物块做匀速圆周运动的周期为π【答案】AB【解答】解：A．物块做匀速圆周运动的线速度为v＝ωr＝4×0.1m/s＝0.4m/s故A正确；B．向心加速度为a＝ω2r＝42×0.1m/s2＝1.6m/s2故B正确；C．向心力为F＝ma＝0.1×1.6N＝0.16N故C错误；D．周期为T＝＝＝故D错误。故选：AB。【典例23】如图所示是一座半径为40m的圆弧形拱形桥。一质量为1.0×103kg的汽车，行驶到拱形桥顶端时，汽车运动速度为10m/s，则此时汽车运动的向心加速度为多大？向心力大小为多大？汽车对桥面的压力是多少？（g取10m/s2）【答案】此时汽车运动的向心加速度为2.5m/s2，向心力大小为2.5×103N，汽车对桥面的压力是7.5×103，方向竖直向下。【解答】解：当小车以v＝10m/s的速度经过拱形桥顶端时，向心加速度为an＝＝m/s2＝2.5m/s2向心力大小为Fn＝man＝1.0×103×2.5N＝2.5×103N对小车受力分析可知，由重力G和支持力N的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mg﹣N＝man解得：N＝7.5×103N根据牛顿第三定律得：汽车对桥面的压力大小为N′＝N＝7.5×103N，方向竖直向下。答：此时汽车运动的向心加速度为2.5m/s2，向心力大小为2.5×103N，汽车对桥面的压力是7.5×103，方向竖直向下。【变式21】如图所示，有两个质量不同的小球a和b，在光滑倒立的圆锥桶里两个水平面上分别做匀速圆周运动，两个小球做匀速圆周运动的半径Ra＝2Rb，质量ma＝2mb，下列说法正确的是（）A．两个小球做圆周运动的向心力大小Fa＝Fb B．两个小球做圆周运动的向心力大小之比 C．两个小球做圆周运动的角速度之比 D．两个小球做圆周运动的线速度大小之比【答案】D【解答】解：AB．对两小球受力分析，a和b的受力情况相似，均由圆锥桶对其的弹力和重力的合力提供向心力，如下图则有根据题意可知ma＝2mb故，故AB错误；C．根据向心力公式F＝mω2R可得故，故C错误；D．根据v＝ωR可得，故D正确。故选：D。【变式22】如图所示，旋转木马被水平钢杆拴住绕转台的中心轴做匀速圆周运动，若相对两个木马间的杆长为6m，木马质量为30kg，骑木马的儿童质量为40kg，当木马旋转的速度为4m/s时，周期是4.71s，儿童受到的向心力大小是160N。【答案】4.71，。【解答】解：周期T＝＝s＝4.71s.儿童受到的向心力F＝m＝40×N＝N。故答案为：4.71，。【变式23】一个质量为30kg的小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周的半径为4.0m。当他的线速度为2.0m/s时，（1）他做匀速圆周运动的角速度是多少？（2）周期是多少？（3）向心力的大小是多少？（4）向心加速度的大小是多少？【答案】（1）他做匀速圆周运动的角速度是0.5rad/s；（2）周期是12.6s；（3）向心力的大小是30N；（4）向心加速度的大小是1m/s2。【解答】解：（1）根据公式v＝ωr，可得角速度rad/s＝0.5rad/s；（2）根据公式T＝＝s＝12.6s；（3）向心力的大小是Fn＝mω2r＝30×0.52×4N＝30N；（4）向心加速度的大小是an＝ω2r＝0.52×4m/s2＝1m/s2；答：（1）他做匀速圆周运动的角速度是0.5rad/s；（2）周期是12.6s；（3）向心力的大小是30N；（4）向心加速度的大小是1m/s2。知识点3变速圆周运动和一般的曲线运动知识点3变速圆周运动和一般的曲线运动一、变速圆周运动1、运动员抛出链球的过程中，使链球越转越快，在链球速度比较大的时候，抛出链球，使链球运动的更远，这个过程中链球做变速圆周运动。2、如图所示，当沿圆周运动的物体所受的合力不指向圆心（合力不指向圆心物体做变速圆周运动的受力条件）时，物体做变速圆周运动。速度减小的圆周运动速度增大的圆周运动速度减小的圆周运动速度增大的圆周运动（1）向心分力Fn

，产生向心加速度an，只改变线速度方向。（2）切向分力Fτ，产生切向加速度aτ，改变线速度的大小。（3）当合外力与速度夹锐角时，物体线速度增加

。（4）当合外力与速度夹钝角时，物体线速度减小。二、一般的曲线运动1、运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般曲线运动。2、研究方法：如图所示把一般曲线分割为许多极短的小段，每一段都可以看作一小段圆弧。这些圆弧的弯曲程度不一样，表明它们具有不同的曲率半径。在分析质点经过曲线上某位置的运动时可以采用圆周运动的分析方法进行处理。一般的曲线运动的研究方法一般的曲线运动的研究方法【典例31】关于匀速圆周运动和变速圆周运动，下列说法中正确的是（）A．匀速圆周运动受到的合力是恒力，而变速圆周运动受到的合力是变力 B．匀速圆周运动受到的合力就是向心力，而变速圆周运动受到的合力不等于向心力 C．匀速圆周运动的加速度指向圆心，而变速圆周运动的加速度一定不总指向圆心 D．匀速圆周运动和变速圆周运动的加速度都指向圆心【答案】C【解答】解：A、匀速圆周运动受到的合力提供向心力，方向时刻变化，是变力。变速圆周运动受到的合力大小和方向都在变化，是变力。故A错误。B、匀速圆周运动受到的合力就是向心力，而变速圆周运动受到的合力不一定等于向心力，故B错误。CD、因为匀速圆周运动受到的合力就是向心力，而变速圆周运动受到的合力不一定等于向心力，则由牛顿第二定律知匀速圆周运动的加速度指向圆心，而变速圆周运动的加速度不一定指向圆心，故C正确，D错误。故选：C。【典例32】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体由B点以速度v0水平抛出，如图乙所示，经过时间t＝到达P点，则在P点的曲率半径是．【答案】见试题解答内容【解答】解：将物体由B点以速度v0水平抛出后做平抛运动，到达P点竖直方向速度为：vy＝gt＝v0，则P点速度为：v＝，由向心力的公式得：mgcos45°＝m解得：ρ＝故答案为：．【变式31】如图所示，运动员以速度v在倾角为θ的倾斜赛道上做匀速圆周运动。已知运动员及自行车的总质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，将运动员和自行车看作一个整体，则该整体在运动中（）A．处于平衡状态 B．做匀变速曲线运动 C．受到的各个力的合力大小为 D．受重力、支持力、摩擦力、向心力作用【答案】C【解答】解：ABD、运动员和自行车组成的整体受重力、支持力、摩擦力作用，靠合力提供向心力，合力提供向心力，合力方向始终指向圆心，做变加速曲线运动，故ABD错误；C、整体做匀速圆周运动，合力提供向心力，则合力，故C正确。故选：C。【变式32】（多选）关于曲线运动，下列说法正确的是（）A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动 B．物体做圆周运动时所受合力一定指向圆心 C．做平抛运动的物体在任意相同时间内速度的变化量相等 D．一物体同时参与两个相互垂直的匀变速直线运动，其合运动可能是曲线运动【答案】CD【解答】解：A、在恒力作用下，物体可以做曲线运动，如平抛运动既然是曲线运动，它的速度的方向必定是改变的，所以曲线运动一定是变速运动，故A错误；B、物体做圆周运动时所受合力不一定指向圆心，只有充当向心力的部分才指向圆心，故B错误；C、做平抛运动的物体加速度恒为g，所以在任意相同时间内速度的变化量相等，故C正确；D、一物体同时参与两个相互垂直的匀变速直线运动，合速度和合加速度不共线时，合运动就是曲线运动，故D正确；故选：CD。1．如图所示为飞机进行特技表演时在空中划出优美的弧线。若将飞机的飞行轨迹视作竖直面内的圆周，且圆周的半径为R。重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A．飞机在通过最高点时的速率可能小于 B．飞机在通过最高点时飞行员可能受到竖直向上的支持力 C．飞机在圆周轨迹的最低点时飞行员处于超重状态 D．飞机在圆周轨迹的最低点时飞行员受到重力、支持力、向心力【答案】C【解答】解：A、飞机通过最高点时的最小速率为，故A错误；B、飞机在最高点时，若，飞行员只受到重力，若、飞行员受重力和竖直向下的支持力的作用，故B错误；C、飞机在圆周轨迹的最低点时飞行员加速度竖直向上，处于超重状态，故C正确；D、飞机在圆周轨迹的最低点时飞行员受到重力，支持力，向心力是效果力，受力分析时不需要，故D错误。故选：C。2．如图甲所示，在花样滑冰比赛中，男运动员手拉女运动员做匀速圆周运动，女运动员恰好离开水平冰面。该过程可简化为轻绳系一小球在水平面内悬空做匀速圆周运动（如图乙），已知绳长为L，轻绳与竖直方向的夹角为θ＝45°，小球的质量为m，小球的线速度大小为v。下列说法正确的是（）A．小球的角速度为 B．小球所受合力的大小为 C．小球做匀变速曲线运动 D．当地的重力加速度大小为【答案】B【解答】解：A．小球的线速度为v，根据角速度的定义可得小球的角速度为：根据几何关系可得：解得：，故A错误；B．小球做匀速圆周运动，小球所受拉力和重力的合力提供向心力，为：解得：，故B正确；C．小球所受的合力方向时刻改变，则小球做非匀变速曲线运动，故C错误；D．根据几何关系可得：结合：解得：，故D错误，故选：B。3．如图所示，可视为质点的小球用轻质细绳悬挂于B点，使小球在水平面内做匀速圆周运动。现仅增加绳长，保持轨迹圆的圆心O到悬点B的高度不变，小球仍在水平面内做匀速圆周运动。增加绳长前后小球运动的角速度、加速度以及所受细绳的拉力大小分别为ω1、a1、F1和ω2、a2、F2。则（）A．ω1＝ω2 B．a1＞a2 C．F1＝F2 D．F1＞F2【答案】A【解答】解：A、对小球受力分析，如下图所示：绳子的拉力和重力的合力提供向心力，有mgtanθ＝mω2R＝mω2htanθ，解得，仅增加绳长，保持轨迹圆的圆心O到悬点B的高度h不变，则角速度不变，即ω1＝ω2，故A正确；B、F合＝mgtanθ＝ma，a＝gtanθ，由于增加了绳长而高度h不变，即增大了角度θ，则加速度变大，a1＜a2，故B错误；CD、根据受力分析可知，θ增大则F增大，有F1＜F2，故C错误；故D错误。故选：A。4．某学习小组同学在物理实验室通过竖直面内的圆周运动测当地重力加速度。如图所示，轻绳一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球（视为质点），通过传感器测得小球过最高点Q时轻绳的拉力为a，过最低点P时轻绳的拉力为b，若不计空气阻力，则当地的重力加速度为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：设圆周运动的半径为R，小球从P到Q的过程由机械能守恒定律有：mg•2R＝﹣根据牛顿第二定律，在P点有：b﹣mg＝m在Q点有：a+mg＝m联立解得g＝，故A、B、D错误，C正确；故选：C。5．如图有一固定且内壁光滑的半球形容器，球心为O，最低点为C，在其内壁上有两个质量相同的小球（可视为质点）A和B，在两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面。A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α＝53°和β＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（）A．A、B两球所受弹力的大小之比为3：4 B．A、B两球运动的角速度之比为4：3 C．A、B两球运动的周期之比为4：3 D．A、B两球的转速之比为【答案】D【解答】解：A．对A球竖直方向平衡得NAcosα＝mg同理对B球NBcosβ＝mg故A错误；B．对A球水平方向对B球水平方向联立解得：故B错误；C．根据周期和角速度的关系可得：因此故C错误；D．根据角速度和转速的关系可得：ω＝2πn所以故D正确。故选：D。6．如图所示，金属环M、N用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转动时，两金属环相对杆始终不动，下列判断正确的是（）A．转动的角速度越大，细线中的拉力越大 B．转动的角速度越大，环N与竖直杆之间的弹力越大 C．转动的角速度越大，环M与水平杆之间的摩擦力越大 D．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的弹力仍相等【答案】D【解答】解：AB、根据题意，分别对金属环N受力分析，如图所示，由于金属环相对杆始终不动，设细绳与竖直方向的夹角为θ，对N环（设其质量为mN）由平衡条件，竖直方向有：Fcosθ＝mNg水平方向：Fsinθ＝FN解得：、FN＝mgtanθ由此可知，由于θ不变，则细线中的拉力和环N与竖直杆之间的弹力不变，故AB错误；根据题意，设整个装置以竖直杆为轴以ω0转到时，环M与横杆没有摩擦力，对M环（设其质量为mM）受力分析，如图所示，水平方向上，由牛顿第二定律有：竖直方向上有：Fcosθ+mMg＝FN'解得：，FN'＝（mN+mM）gD、由上式可知FN'＝（mN+mM）g可知，转动的角速度不同，环M与水平杆之间的弹力仍相等，故D正确。C、若转动的角速度大于ω0，则有：由此可知，随着ω增大，f增大若转动的角速度小于ω0，则有：由此可知，随着ω增大，f减小，故C错误。故选：D。7．如图所示，把一个长为20cm、倔强系数为360N/m的弹簧一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50kg的小球，当小球以转/分的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长应为（）A．5.2cm B．5.3cm C．5.0cm D．5.4cm【答案】C【解答】解：根据题意可知：ω＝2πn＝2π××＝12rad/s设转动时弹簧的长度为L，则弹簧形变量为：x＝L﹣0.2，由胡克定律得：F＝kx①球做匀速圆周运动时需要的向心力由弹簧的弹力提供，F＝mLω2②由①②代入数据得：360（L﹣0.2）＝0.5×L×（12）2解得：L＝0.25m所以弹簧的伸长应量为25﹣20cm＝5cm故选：C。8．（多选）在铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了（）A．增加火车轮子对外轨的挤压 B．增加火车轮子对内轨的挤压 C．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需的向心力 D．限制火车向外脱轨【答案】CD【解答】解：火车轨道外高内低，火车转弯时，轨道的支持力与火车的重力的合力指向弧形轨道的圆心，为火车转弯提供了（部分）向心力，减轻了轮缘与外轨的挤压，同时在一定程度上限制了火车转弯时发生离心运动，即限制火车向外脱轨，故AB错误，CD正确。故选：CD。9．（多选）如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点。设法让两个小球均在各自的水平面上做匀速圆周运动。已知l1跟竖直方向的夹角为60°，l2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是（）A．细线l1和细线l2所受的拉力大小之比为：1 B．小球A和B的角速度大小之比为1：1 C．小球A和B的向心力大小之比为3：1 D．小球A和B的线速度大小之比为3：1【答案】AC【解答】解：A.由竖直方向的平衡分别可得T1cos60°＝mgT2cos30°＝mg可得细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为，故A正确；B．由向心力公式分别可得mgtan60°＝mL1sin60mgtan30°＝mL2sin30可得小球m1和m2的角速度大小之比为，故B错误；C．合外力作为向心力，小球m1和m2的向心力大小之比为，故C正确；D．根据v＝ωr可知小球m1和m2的线速度大小之比为，解得，故D错误。故选：AC。10．（多选）某人站在水平地面上，用手握住细绳的一端，绳的另一端拴住一石头，手的位置固定。石头以手为圆心在竖直面内做变速率圆周运动，越接近最低点，速度越大。则（）A．石头在最高点的向心加速度可以小于g B．石头所受合力方向总是指向圆心 C．石头速度方向总是沿各点轨迹的切线方向 D．石头运动到最低点时比到最高点时人对地面的压力大【答案】CD【解答】解：A、石头若恰能过最高点，则重力提供向心力，则此时向心加速度最小，有mg＝ma，则a＝g，即最小的向心加速度为g，故A错误；B、石头运动过程中只有在最高点和最低点合力方向指向圆心，其他位置合力不指向圆心，故B错误；C、石头做曲线运动，石头速度方向总是沿各点轨迹的切线方向，故C正确；D、石头运动到最低点时，根据牛顿第二定律有F﹣mg＝ma此时绳子拉力最大，对人分析结合牛顿第三定律可知最低点时，人对地面的压力较大，故D正确；故选：CD。11．如图所示为游乐场的旋转飞椅。将人和椅子一起看成质点，在水平面内做匀速圆周运动时，由重力和绳子的拉力的合力提供向心力。当人的速度大小为v，悬挂绳子与竖直方向夹角45°时，人的转动半径为。【答案】重力和绳子的拉力合力；【解答】解：人和椅子作为整体，受力分析可知，受到重力和绳子的拉力，其合力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：mgtan45，解得r＝故答案为：重力和绳子的拉力的合力；12．在光滑水平面上，一根原长为l的轻质弹簧的一端与竖直轴O连接，另一端与质量为m的小球（视为质点）连接，如图所示。若小球以O为圆心以不同速率做匀速圆周运动，弹簧的长度分别为1