2024届湖南省醴陵二中、醴陵四中高二数学第二学期期末考试试题含解析

2024届湖南省醴陵二中、醴陵四中高二数学第二学期期末考试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．中，边的高为，若，，，，，则（)A． B． C． D．3．已知，，则的最小值（）A． B． C． D．4．若随机变量服从正态分布，且，（）A． B． C． D．5．二项式展开式中常数项等于（）A．60 B．﹣60 C．15 D．﹣156．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种7．若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．8．双曲线x2a2A．y=±2x B．y=±3x9．设，则A． B． C． D．10．函数（，e是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为()A． B． C． D．11．函数与两条平行线，及轴围成的区域面积是（）A． B． C． D．12．若幂函数的图象经过点，则其解析式为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．复数（为虚数单位）的共轭复数是______．14．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，此时若则_______．15．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的左视图如图所示，则该三棱锥的体积是________；16．已知、满足约束条件，若目标函数的最大值为13，则实数______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）若不等式至少有一个负解，求实数的取值范围.18．（12分）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.19．（12分）为了让观赏游玩更便捷舒适，常州恐龙园推出了代步工具租用服务.已知有脚踏自行车与电动自行车两种车型，采用分段计费的方式租用.型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），现有甲乙丙丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙丁不超过分钟还车的概率分别为，并且四个人每人租车都不会超过分钟，甲乙丙均租用型车，丁租用型车．（1）求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率；（2）求甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；（3）设甲乙丙丁四人所付费用之和为随机变量，求的概率分布和数学期望．20．（12分）以下是某地搜集到的新房源的销售价格（万元）和房屋的面积的数据：房屋面积销售价格（万元）（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（2）请根据（1）中的线性回归方程，预测该地当房屋面积为时的销售价格。，，其中，21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位．曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．考点：利用导数研究函数的单调性.2、D【解题分析】

试题分析：由，，可知3、C【解题分析】∵向量，,当t=0时，取得最小值.故答案为.4、B【解题分析】设，则，根据对称性，，则，即，故故选：B．5、A【解题分析】

化简二项式展开式的通项公式，由此计算的系数，从而得出正确选项.【题目详解】当时，即，故常数项为，选A.【题目点拨】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.6、A【解题分析】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有=141种．故选：A．点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．7、B【解题分析】

由抽象函数的定义域，对数的真数大于零，分母不为零，列出不等式，从而求出的定义域。【题目详解】由题可得：，解得且，所以函数的定义域为；故答案选B【题目点拨】本题主要抽象函数与初等函数的定义域，属于基础题。8、A【解题分析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：∵e=因为渐近线方程为y=±bax点睛：已知双曲线方程x2a29、C【解题分析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.详解：，则，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10、A【解题分析】

函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，由，，可得函数与函数唯一交点为，的单调，根据单调性得到与的大致图象，从图形上可得要使函数与函数只有唯一一个交点，则，即可解得实数的取值范围．【题目详解】解：函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：函数与函数只有唯一一个交点，，，函数与函数唯一交点为，又，且，，在上恒小于零，即在上为单调递减函数，又是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，可得函数与函数的大致图象如图：要使函数与函数只有唯一一个交点，则，，，，解得，又，实数的范围为．故选：．【题目点拨】本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题．11、B【解题分析】

根据定积分的几何意义直接求出在区间的定积分，即可得出答案。【题目详解】故选B【题目点拨】本题考查定积分的几何意义，属于基础题。12、C【解题分析】

设幂函数，代入点，即可求得解析式.【题目详解】设幂函数，代入点，，解得，.故选C.【题目点拨】本题考查了幂函数解析式的求法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，由此可得出复数的共轭复数.【题目详解】，因此，复数的共轭复数为，故答案为.【题目点拨】本题考查复数的除法运算以及共轭复数，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.14、【解题分析】

由二项分布性质可知Dx=np(1-p)=2.1,解得p=0.3或p=0.7,再由二项分布公式代入解得p>0.5，可求得p.【题目详解】由二项分布可知Dx=np(1-p)=10p(1-p)=2.1,所以p=0.3或p=0.7,又因为，所以，解得p>0.5,所以p=0.7,填0.7.【题目点拨】本题综合考查二项分布公式应用及二项分布的性质，需要学生灵活运用。15、【解题分析】

由左视图得出三棱锥中线面关系及棱的长度．【题目详解】由左视图知三棱锥的高为，底面等腰三角形的底边长为，又底面等腰三角形的腰长为2，这个等腰三角形的面积为，．故答案为：．【题目点拨】本题考查棱锥的体积，解题是由左视图得出棱锥的高为1，底面等腰三角形的底边长为，从而由体积公式可求得棱锥的体积，本题还考查了空间想象能力．16、1【解题分析】

在平面直角坐标系内,画出不等式组所表示的平面区域.平移直线,找到使直线在纵轴上的截距最大时,所经过的点坐标,把这个点的坐标代入目标函数解析式中，可以求出的值.【题目详解】在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域如下图所示：平移直线,∵，所以当直线经过点时,直线在纵轴上的截距最大,解方程组：,把点的坐标,代入目标函数中，,解得.故答案为：1【题目点拨】本题考查了已知目标函数的最值求参数问题,正确画出不等式组所表示的平面区域是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）由，有，即，即可求得函数的零点；（2）不等式可化为，分别作出抛物线在轴上方的部分和抛物线在轴下方的部，结合图象求得两个临界位置，即可得到答案.【题目详解】（1）当时，函数，令，有，即，则，解得，即，故函数的零点为；（2）不等式可化为，如图所示，曲线段和分别是抛物线在轴上方的部分和抛物线在轴下方的部，因为不等式至少有一个负解，由图象可知，直线有两个临界位置，一个是与曲线段相切，另一个是通过曲线段和轴的交点，后者显然对应于；前者由可得到方程，由，解得，因此当时，不等式至少有一个负解，故实数的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用函数的图象求解不等式的有解问题，其中解答中熟记函数零点的概念，以及合理利用函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列见解析，数学期望是【解题分析】

（Ⅰ）若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，根据二项分布公式可求得概率；（Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，算出对应事件概率，利用离散型随机变量分布列数学期望的公式可求得结果.【题目详解】解：（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，∴理论上，小球落入4号容器的概率.（Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，∴，，，，∴的分布列为：0123∴.【题目点拨】本题主要考查二项分布及其数学期望的计算，较基础.19、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

（1）“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”，即4人均不超过30分钟。（2）即丁付20元，甲乙丙三人中有且只有一人付10，其余2人付5，分3种情况。用相互独立事件同时发生概率公式与互斥事件的和事件概率公式可求解。（3）根据分类可知随机变量的所有取值为25，30，35，40，45，50,求出概率及期望。【题目详解】（1）记“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”为事件，即4人均不超过30分钟，则.答：求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率是（2）由题意，甲乙丙丁在分钟以上且不超过分钟还车的概率分别为，设“甲乙丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件，则答：甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率是．（3）①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量的值为25，即为事件，由（1）所以.②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的这一人是甲乙丙中的一个”和“超过30分钟的这一人是丁”，分别将上述两种情况记为事件和.i.事件对应的的值为30，此时；ii.事件对应的的值为35，此时.③记“4人中仅有两人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的两人是甲乙丙中的两个”和“超过30分钟的两人是甲乙丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件和.i.事件对应的的值为35，此时；i.事件对应的的值为40，此时④记“4人中仅有三人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的三人是甲乙丙”和“超过30分钟的三人是甲乙丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件和.i.事件对应的的值为40，此时；i.事件对应的的值为45，此时.⑤记“4人均超过30分钟”为事件，则随机变量的值为50，此时；综上：随机变量的所有取值为25，30，35，40，45，50，且；；；；；；所以甲乙丙丁四人所付费用之和的分别为253035404550所以.答：甲乙丙丁四人所付费用之和的数学期望为.【题目点拨】本题综合考查相互独立事件同时发生概率公式与互斥事件的和事件概率公式，同时考查离散型随机变量的分布列及其期望，需要学生分类清晰，逻辑有条理，运算准确。20、(1).(2)该地房屋面积为时的销售价格为万元.【解题分析】分析：（1）先求出和的平均数，将数据代入，计算出的值，最后根据，求出的值，即可得到