上海市金陵中学2024届数学高二下期末经典模拟试题含解析

上海市金陵中学2024届数学高二下期末经典模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（）A．若为真命题，则为真命题B．命题“若，则”的否命题是真命题C．命题“函数的值域是”的逆否命题是真命题D．命题“，关于的不等式有解”，则为“，关于的不等式无解”3．椭圆为参数)的离心率是()A． B． C． D．4．已知椭圆的左右焦点分别为，，以为圆心，为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．5．设函数是定义在上的偶函数，且，若，则A． B． C． D．6．独立性检验中，假设:运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下，计算得的观测值.下列结论正确的是A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关7．命题“”的否定为（）A． B．C． D．8．在中，，则的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形9．对具有相关关系的变量，有一组观测数据，其回归直线方程，且，，则()A． B． C． D．10．已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是()A． B． C． D．11．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，则与的夹角为（）A．30° B．60° C．45° D．90°12．函数(,则()A． B． C． D．大小关系不能确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为虚数集，设，则下列类比所得的结论正确的是__________．①由，类比得②由，类比得③由，类比得④由，类比得14．已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为______.15．用“五点法”画函数在一个周期内的简图时，五个关键点是，，，，，则_______.16．在1x-1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：年份x20112012201320142015储蓄存款y（千亿元）567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：时间代号t12345z01235（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y关于x的回归方程；（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程，其中）18．（12分）为了了解甲、乙两校学生自主招生通过情况，从甲校抽取51人，从乙校抽取41人进行分析.通过人数末通过人数总计甲校乙校31总计51（1）根据题目条件完成上面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；（2）现已知甲校A，B，C三人在某大学自主招生中通过的概率分别为，用随机变量X表示A，B，C三人在该大学自主招生中通过的人数，求X的分布列及期望E（X）．参考公式：.参考数据：1．141．111．141．1241．111．1141．1112．1622．6153．8414．1245．5346．86911．82819．（12分）已知一个口袋中有个红球和个白球（，，），这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个摸出（不放回），直到红球全部被摸出为止．（1）当，时，试求“摸球次数为5”的概率；（2）随机变量表示摸球次数，是的数学期望．写出的概率分布列，并求．20．（12分）今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科．为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科.已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生，其中男生1000人，女生800人.按分层抽样的方法从中抽取了36个样本，统计知其中有17个男生选物理，6个女生选历史．（I）根据所抽取的样本数据，填写答题卷中的列联表.并根据统计量判断能否有的把握认为选择物理还是历史与性别有关？（II）在样本里选历史的人中任选4人，记选出4人中男生有人，女生有人，求随机变量的分布列和数学期望．（的计算公式见下），临界值表：21．（12分）某小区所有263户家庭人口数分组表示如下：家庭人口数12345678910家庭数20294850463619843（1）若将上述家庭人口数的263个数据分布记作，平均值记作，写出人口数方差的计算公式（只要计算公式，不必计算结果）；（2）写出他们家庭人口数的中位数（直接给出结果即可）；（3）计算家庭人口数的平均数与标准差.（写出公式，再利用计算器计算，精确到0.01）22．（10分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计,其中120分(含120分)以上为优秀,绘制了如下的两个频率分布直方图:（1）根据以上两个直方图完成下面的列联表:成绩性别优秀不优秀合计男生女生总计（2）根据(1)中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系?2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取2人,求取到的2人中至少有1名女生的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】因为,若,则,，故选A.2、C【解题分析】

采用命题的基本判断法进行判断，条件能推出结论为真，推不出为假【题目详解】A.若为真命题，则中有一个为真命题即可满足，但推不出为真命题，A错B.命题“若，则”的否命题是：“若，则”，当时，不满足，B错C.原命题与逆否命题真假性相同，的取值大于零，所以值域为，C为真命题D.命题“，关于的不等式有解”，则为“，关于的不等式无解”，D错答案选C【题目点拨】四种常见命题需要熟悉基本改写方式，原命题与逆否命题为真，逆命题与否命题为真，原命题与逆命题或否命题真假性无法判断，需改写之后再进行判断，命题的否定为只否定结论，全称改存在，存在改全称3、A【解题分析】

先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解.【题目详解】椭圆的标准方程为，所以c=.所以e＝.故答案为A【题目点拨】(1)本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)在椭圆中，4、D【解题分析】

利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出．【题目详解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直线的斜率为故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三边关系得到|PF1|=，又|PF1|+|PF2|=2a=c+，∴.故选：D．【题目点拨】本题考查椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).5、D【解题分析】

根据函数的奇偶性求出和的值即可得到结论．【题目详解】是定义在上的偶函数，，，即，则，故选D．【题目点拨】本题主要考查函数值的计算，以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．6、A【解题分析】

先找到的临界值，根据临界值表找到犯错误的概率，即对“运动员受伤与不做热身运动没有关系”可下结论。【题目详解】，因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关，故选：A。【题目点拨】本题考查独立性检验，根据临界值表找出犯错误的概率是解这类问题的关键，考查运算求解能力，属于基础题。7、C【解题分析】

利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【题目详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：“，”的否定为，故选：C．【题目点拨】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．8、B【解题分析】

利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．【题目详解】因为,，所以，有．整理得，故,的形状为直角三角形．故选：B．【题目点拨】余弦的二倍角公式有三个，要根据不同的化简需要进行选取．．在判断三角形形状的方法中，一般有，利用正余弦定理边化角，角化边，寻找关系即可9、A【解题分析】

根据，，求出样本点的中心，代入回归直线方程，即可求解.【题目详解】由题：，，所以样本点的中心为，该点必满足，即，所以.故选：A【题目点拨】此题考查根据已知数据求回归直线方程，关键在于准确求出样本点的中心，根据样本点的中心在回归直线上求解参数.10、C【解题分析】

根据函数的解析式，可求导函数，根据导函数与单调性的关系，可以得到；分离参数，根据所得函数的特征求出的取值范围.【题目详解】因为所以因为在上是单调减函数所以即所以当时，恒成立当时，令，可知双刀函数，在上为增函数，所以即所以选C【题目点拨】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）..11、B【解题分析】分析：由题意可得，，进而得到与，再由，可得结论.详解：，，，并且，，与的夹角为，故选B.点睛：本题主要考查空间向量夹角余弦公式，属于中档题.解决此类问题的关键是熟练掌握由空间点的坐标写出向量的坐标与向量求模.12、C【解题分析】

对函数求导得到函数的导函数，进而得到原函数的单调性，从而得到结果.【题目详解】函数(,对函数求导得到当x>1时，导函数大于0，函数单调增，当x<1时，导函数小于0，函数单调递减，因为，故得到.故答案为C.【题目点拨】这个题目考查了导函数对于研究函数单调性的应用，函数的单调性可以通过常见函数的性质得到，也可以通过定义法证明得到函数的单调性，或者通过求导得到函数的单调性．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、③【解题分析】分析：在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．详解：A：由a•b∈R，不能类比得x•y∈I，如x=y=i，则xy=﹣1∉I，故①不正确；B：由a2≥1，不能类比得x2≥1．如x=i，则x2＜1，故②不正确；C：由（a+b）2=a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2=x2+2xy+y2．故③正确；D：若x，y∈I，当x=1+i，y=﹣i时，x+y＞1，但x，y是两个虚数，不能比较大小．故④错误故4个结论中，C是正确的．故答案为：③．点睛：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．14、【解题分析】

,由向量与共线，得，解得，则在方向上的投影为，故答案为.15、【解题分析】

根据五点法得出函数的最小正周期，再由公式计算出的值.【题目详解】由题意可知，函数的最小正周期，.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用周期公式求参数的值，解题的关键在于求出函数的最小正周期，考查运算求解能力，属于基础题.16、1【解题分析】

先求出二项式x+1【题目详解】二项式x+15的展开式的通项为∴1x-1x故答案为1．【题目点拨】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）(Ⅲ)1.6千亿元【解题分析】试题分析：（I）将数据代入回归直线方程的计算公式，由此计算的回归直线方程为；（II），，代入得到；（III）将代入上式，求得存款为千亿.试题解析：（I），，，，（II），，代入得到：，即（III），预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达1．6千亿元考点：回归分析.18、（1）填表见解析，有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关（2）见解析【解题分析】

（1）根据题中信息完善列联表，并计算出的观测值，结合临界值表找出犯错误的概率，于此可对题中的结论正误进行判断；（2）列出随机变量的可能取值，利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量在每个可能值处的概率，可列出随机变量的概率分布列，并由此计算出随机变量的数学期望.【题目详解】（1）列联表如下：通过人数未通过人数总计甲校214151乙校312141总计4151111由算得：，所以有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关；（2）设自主招生通过分别记为事件，则.∴随机变量的可能取值为1，1，2，3.，，，.所以随机变量X的分布列为：.【题目点拨】本题考查独立性检验的基本思想，考查随机变量分布列及其数学期望的求解，解题时要判断出随机变量所服从的分布列，结合分布列类型利用相关公式计算出相应的概率，考查计算能力，属于中等题．19、（1）；（2）分布列见详解；.【解题分析】

（1）根据题意，先得出红球全部摸出所包含的情况，再求出摸球5次所包含的基本事件个数，进而可求出概率；（2）根据题意，先得出的可能取值为：，结合题意，求出对应的概率，进而可得出分布列，再由期望的计算公式，以及组合数的性质，即可求出结果.【题目详解】（1）当，时，由题意，红球全部摸出，共有种情况；若摸球次数为5，则第5次摸到红球，此时所包含的基本事件个数为个；因此，“摸球次数为5”的概率为；（2）由题意，的可能取值为：，从袋中个红球和个白球中，将红球全部摸出，共有种情况；则，，，，……，，所以的分布列为：因此其数学期望为：

因为所以.【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，古典概型的概率问题，以及组合数的性质，难度较大.20、（I）没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关；（II）见解析【解题分析】

（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有个男生，16个女生，根据题意列出列联表，求得的值，即可得到结论．（II）由（I）知在样本里选历史的有9人.其中男生3人，女生6人，求得可能的取值有，进而求得相应的概率，列出随机变量的分布列，利用公式求解期望．【题目详解】（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有个男生，16个女生，结合题目数据可得列联表：男生女生合计选物理17320选历史10616合计279得而