2024届闽粤赣三省十校高二数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2024届闽粤赣三省十校高二数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若且，且，则实数的取值范围（）A． B．C．或 D．或2．的值等于（）A．7351 B．7355 C．7513 D．73153．根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（）A．1 B． C． D．4．在一个棱长为的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（）A． B． C． D．5．已知直线l、直线m和平面，它们的位置关系同时满足以下三个条件：①；②；③l与m是互相垂直的异面直线若P是平面上的动点，且到l、m的距离相等，则点P的轨迹为（）A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线6．已知是虚数单位，若复数满足，则的虚部为（）A．-1 B． C．1 D．-37．设随机变量，若，则()A． B． C． D．8．当函数y=x⋅2x取极小值时，A．1ln2 B．-1ln9．的值是（）A．B．C．D．10．设，则的虚部是（）A． B． C． D．11．二项式(ax-36)3(a>0)的展开式的第二项的系数为A．3B．73C．3或73D．312．若则满足条件的集合A的个数是A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，且，则的最小值是______________．14．直线被圆截得的弦长为________.15．已知，，则________16．已知，且，则，中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）对任意正整数，，定义函数满足如下三个条件：①；②；③．（1）求和的值；（2）求的解析式．18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最小值．19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点是直线的一点，过点作曲线的切线，切点为，求的最小值.20．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.21．（12分）已知二阶矩阵对应的变换将点变换成，将点变换成.（1）求矩阵的逆矩阵；（2）若向量，计算.22．（10分）（1）化简：；（2）若、为锐角，且，，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】试题分析：根据题意，由于且，且成立，当0<a<1时，根据对数函数递减性质可知，，故可知范围是，综上可知实数的取值范围C考点：不等式点评：主要是考查了对数不等式的求解，属于基础题．2、D【解题分析】原式等于，故选D.3、C【解题分析】

根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值．【题目详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得，故选C．【题目点拨】本题考查程序框图，是基础题．4、C【解题分析】

由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【题目详解】由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求概率为．故选：C．【题目点拨】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答根据几何体的结构特征，得出基本事件的总数和所求事件所包含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5、D【解题分析】

作出直线m在平面α内的射影直线n，假设l与n垂直，建立坐标系，求出P点轨迹即可得出答案．【题目详解】解：设直线m在平面α的射影为直线n，则l与n相交，不妨设l与n垂直，设直线m与平面α的距离为d，在平面α内，以l，n为x轴，y轴建立平面坐标系，则P到直线l的距离为|y|，P到直线n的距离为|x|，∴P到直线m的距离为，∴|y|，即y2﹣x2＝d2，∴P点轨迹为双曲线．故选：D．【题目点拨】本题考查空间线面位置关系、轨迹方程，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6、D【解题分析】

利用复数代数形式的乘除运算可得z＝1﹣3i，从而可得答案．【题目详解】,∴复数z的虚部是-3故选：D【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．7、B【解题分析】

根据，可以求出的值，利用二项分布的方差公式直接求出的值.【题目详解】解:，解得，，故选B.【题目点拨】本题考查了二项分布的方差公式，考查了数学运算能力.8、B【解题分析】分析：对函数求导，由y'=2x详解：y'=即1+xln2=0，x=-点睛：本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题9、B【解题分析】试题分析：设，结合定积分的几何意义可知定积分值为圆在第一象限的面积的值是考点：定积分的几何意义10、B【解题分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得，进而可得的虚部.【题目详解】∵，∴，∴的虚部是，故选B．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，共轭复数的概念，属于基础题．11、A【解题分析】试题分析：∵展开式的第二项的系数为-32，∴C31a2(-当a=1时，-2a考点：二项式定理、积分的运算.12、C【解题分析】

根据题意A中必须有1，2这两个元素，因此A的个数应为集合4，的子集的个数．【题目详解】解：，集合A中必须含有1，2两个元素，因此满足条件的集合A为，，，，，，，共8个．故选C．【题目点拨】本题考查了子集的概念，熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键有n个元素的集合其子集共有个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

有错，可以接着利用基本不等式解得最小值.【题目详解】∵，∴，，当且仅当时不等式取等号，∴，故的最小值是．【题目点拨】本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，巧用“”，是解决本题的关键.14、4【解题分析】

将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式，运用勾股定理即可求出截得的弦长【题目详解】由圆可得则圆心坐标为，半径圆心到直线的距离直线被圆截得的弦长为故答案为【题目点拨】本题主要考查了求直线被圆所截的弦长，由弦长公式，分别求出半径和圆心到直线的距离，然后运用勾股定理求出弦长15、【解题分析】

先用同角三角函数平方和关系求出，再利用商关系求出，最后利用二倍角的正切公式求出的值.【题目详解】因为，，所以，.【题目点拨】本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系，考查了二倍角的正切公式.16、，均不大于1（或者且）【解题分析】

假设原命题不成立，即找，中至少有一个大于1的否定即可.【题目详解】∵x，y中至少有一个大于1，∴其否定为x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，故答案为：x≤1且y≤1．【题目点拨】本题考查反证法，考查命题的否定，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解题分析】

（1）由已知关系式直接推得即可；（2）由依次推出，再由，，依次推出即可.【题目详解】解：（1）因，令代入得:，令，代入得:，又，令代入得：．令，代入得：．（2）由条件②可得，，……．将上述个等式相加得：．由条件③可得：，，……．将上述个等式相加得：．【题目点拨】本题主要考查了函数的递推关系式，注意观察规律，细心完成即可.18、（1）曲线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：（2）【解题分析】

（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的直角坐标方程，将代入直线的极坐标方程可得出直线的直角坐标方程；（2）设曲线上的点的坐标为，利用点到直线的距离公式以及二次函数的基本性质可求出曲线上的点到直线距离的最小值。【题目详解】（1）由,得,曲线的直角坐标方程为：.由，代入曲线的直角坐标方程为：；（2）设曲线上的点为，由点到直线的距离得，故当且仅当时，上的点到距离的最小值.【题目点拨】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，考查参数方程的应用，解题时要熟悉参数方程与极坐标方程所适应的基本类型，考查计算能力，属于中等题。19、（1），；（2）见解析【解题分析】

（1）消去t,得直线的普通方程，利用极坐标与普通方程互化公式得曲线的直角坐标方程；（2）判断与圆相离，连接，在中，，即可求解【题目详解】（1）将的参数方程（为参数）消去参数，得.因为，，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）知曲线是以为圆心，3为半径的圆，设圆心为，则圆心到直线的距离，所以与圆相离，且.连接，在中，，所以，，即的最小值为.【题目点拨】本题考查参数方程化普通方程，极坐标与普通方程互化，直线与圆的位置关系，是中档题20、（1）（2）【解题分析】

试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.21、（1）；（2）．【解题分析】分析：（1）利用阶矩阵对应的变换的算法解出，再求（2）先计算矩阵的特征向量，再计算详解：（1），则，，解得，，，，所以，所以；（2）矩阵的特征多项式为，令，解得，，从而求得对应的一个特征向量分别为，.令，求得，，所以.