江西省上饶市上饶县中学2024届数学高二第二学期期末考试模拟试题含解析

江西省上饶市上饶县中学2024届数学高二第二学期期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知若存在，使得，则称与互为“1度零点函数”，若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A． B． C．3 D．53．函数的最小正周期为（）A． B． C． D．4．随机变量服从正态分布，且.已知，则函数图象不经过第二象限的概率为()A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.20005．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A．， B．C．， D．6．下列说法中：相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于1，相关性越弱；回归直线过样本点中心；相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越不好．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．口袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从袋中一次摸出2个球，记下号码并放回，若这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，则获奖.某人从袋中一次摸出2个球，其获奖的概率为（）A． B． C． D．8．随机变量的分布列如右表，若，则（）012A． B． C． D．9．在三棱锥中，，，面，，，分别为，，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．10．下列函数一定是指数函数的是（）A． B． C． D．11．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是()A．1 B． C． D．12．已知的展开式中含的项的系数为，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，其中、、、、是各项的系数，则在、、、、这个系数中，值为零的个数为______．14．若对一切，复数的模始终不大于2，则实数a的取值范围是_______；15．引入随机变量后，下列说法正确的有：__________（填写出所有正确的序号）.①随机事件个数与随机变量一一对应；②随机变量与自然数一一对应；③随机变量的取值是实数.16．已知函数，，，当时，的值域为_____；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数f（x）＝x＋，且此函数的图象过点（1，5）．（1）求实数m的值并判断f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）在[2，＋∞）上的单调性，证明你的结论．18．（12分）已知.（Ⅰ）计算的值；（Ⅱ）若，求中含项的系数；（Ⅲ）证明：.19．（12分）已知直线：(为参数)，曲线：（为参数）．(1)设与相交于两点，求；(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点P是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值．20．（12分）已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间.21．（12分）如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（10分）已知复数，且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

通过题意先求出函数的零点，根据计算出函数的零点范围，继而求出实数的取值范围【题目详解】令，当时，或，当时，解得，，若存在为“度零点函数”，不妨令由题意可得：或即或设，当时，，是减函数当时，，是增函数，当时，，由题意满足存在性实数的取值范围为故选【题目点拨】本题给出了新定义，按照新定义内容考查了函数零点问题，结合零点运用导数分离参量，求出函数的单调性，给出参量的取值范围，本题较为综合，需要转化思想和函数思想，有一定难度。2、A【解题分析】

因为抛物线的焦点是，所以双曲线的半焦距，，，所以一条渐近线方程为，即，，故选A.【点考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系，考查推理论证能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想3、B【解题分析】

先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，然后利用周期公式可求答案．【题目详解】函数的最小正周期为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，属基础题．4、C【解题分析】图象不经过第二象限，，随机变量服从正态分布，且，函数图象不经过第二象限的概率为，故选C.5、D【解题分析】

由正态分布的性质，结合图像依次分析选项即可得到答案。【题目详解】由题可得曲线的对称轴为，曲线的对称轴为，由图可得，由于表示标准差，越小图像越瘦长，故，故A,C不正确；根据图像可知，，，；所以，，故C不正确，D正确；故答案选D【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点以曲线所表示的意义，考查正态分布函数中两个特征数均值和方差对曲线的位置和形状的影响，正态分布曲线关于对称，且越大图像越靠右边，表示标准差，越小图像越瘦长，属于基础题。6、D【解题分析】

根据线性回归方程的性质，结合相关系数、相关指数及残差的意义即可判断选项.【题目详解】对于，相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于1，相关性越强，所以错误；对于，根据线性回归方程的性质，可知回归直线过样本点中心，所以正确；对于，相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越不好，所以正确；对于，根据残差意义可知，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，所以正确；综上可知，正确的为，故选：D.【题目点拨】本题考查了线性回归方程的性质，相关系数与相关指数的性质，属于基础题.7、A【解题分析】分析：先求出基本事件的总数，再求出这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数的基本事件，再根据古典概型的概率计算公式求解即可.详解：从6个球中一次摸出2个球，共有种，2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，共有：9种，获奖的概率为.故选A.点睛：求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．8、B【解题分析】分析：根据题目条件中给出的分布列，可以知道和之间的关系，根据期望为，又可以得到一组关系，这样得到方程组，解方程组得到的值.进而求得.详解：根据题意，解得则故选B.点睛：本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，属基础题.9、B【解题分析】

由题意可知，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可.【题目详解】∵∴，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∴，设，则，∵，∴，解得∴∴，∴异面直线与所成角的余弦值为故选B【题目点拨】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题．10、D【解题分析】

根据指数函数定义，逐项分析即可.【题目详解】A：中指数是，所以不是指数函数，故错误；B：是幂函数，故错误；C：中底数前系数是，所以不是指数函数，故错误；D：属于指数函数，故正确.故选D.【题目点拨】指数函数和指数型函数：形如（且）的是指数函数，形如（且且且）的是指数型函数.11、D【解题分析】由数学归纳法的证明步骤可知：当时，等式的左边是，应选答案D．12、D【解题分析】

根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第项，整理成最简形式，令的指数为，求得，再代入系数求出结果．【题目详解】二项展开式通项为，令，得，由题意得，解得.故选：D.【题目点拨】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

求出的展开式通项为，列举出在的所有可能取值，从而可得出、、、、这个系数中值为零的个数.【题目详解】，而的展开式通项为.所以，的展开式通项为，当时，的可能取值有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，因此，在、、、、这个系数中，值为零的个数为.故答案为.【题目点拨】本题考查二项展开式中项的系数为零的个数，解题的关键就是借助二项展开通项，将项的指数可取的全都列举出来，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14、【解题分析】

由模的定义求出模，列出不等式，用几何意义解释此不等式，问题为点到的距离不大于2，而点以原点为圆心的单位圆上，因此只要到圆心距离不大于1即可．【题目详解】由题意，设，，则，而在圆上，∴，即，解得．故答案为：【题目点拨】本题考查复数的模的定义，考查平面上两点间的距离公式．解题关键是利用的几何意义，把它转化为两点间的距离，而其中一点又是单位圆上的动点，由点到圆上点的距离最大值为此点到圆心距离加半径，从而问题可转化为点到圆心的距离不大于1，这样问题易求解．15、③【解题分析】

要判断各项中对随机变量描述的正误，需要牢记随机变量的定义.【题目详解】引入随机变量,使我们可以研究一个随机实验中的所有可能结果，所以随机变量的取值是实数，故③正确.【题目点拨】本题主要考查随机变量的相关定义，难度不大.16、.【解题分析】

首先根据题设条件，计算，由结合可求得，由可求得，进而可求得的解析式，由分段函数的性质即可求解.【题目详解】，且，当，则，解得，当，则，解得，，函数在上单调递减，在上单调递增，，故的值域为.故答案为：【题目点拨】本题是一道考查不等式的题目，考查了分段函数的值域，解题的关键是化简解析式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）m＝1，奇函数；（2）f（x）在[2，＋∞）上单调递增，证明见解析．【解题分析】

试题分析：（1）函数图象过点（1，5）将此点代入函数关系式求出m的值即可，因为函数定义域关于原点对称，需要判断函数是否满足关系式或者．满足前者为偶函数，满足后者为奇函数，否则不具有奇偶性．此题也可以将看做与两个函数的和，由的奇偶性判断出的奇偶性．（2）利用函数单调性的定义式：区间上的时，的正负来确定函数在区间上的单调性．试题解析：（1）（1）∵f（x）过点（1，5），∴1＋m＝5⇒m＝1．对于f（x）＝x＋，∵x≠2，∴f（x）的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞），关于原点对称．∴f（－x）＝－x＋＝－f（x）．∴f（x）为奇函数．另解：，，定义域均与定义域相同，因为为奇函数，因此可以得出也为奇函数．（2）证明：设x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－＝（x1－x2）＋＝．∵x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2，∴x1－x2<2，x1x2>1，x1x2>2．∴f（x1）－f（x2）<2．∴f（x）在[2，＋∞）上单调递增．考点：1、求函数表达式；2、证明函数的奇偶性；3、证明函数的单调性．18、（Ⅰ）-2019；（Ⅱ）196；（Ⅲ）详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）由于，代入-1即可求得答案;（Ⅱ）由于，利用二项式定理即可得到项的系数；（Ⅲ）可设，找出含项的系数，利用错位相减法数学思想两边同时乘以，再找出含项的系数，于是整理化简即可得证.【题目详解】解：（Ⅰ）∵，∴；∴；（Ⅱ），中项的系数为；（Ⅲ）设（且）①则函数中含项的系数为，另一方面：由①得：②①-②得：，所以，所以，则中含项的系数为，又因为，，所以，即，所以.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的相关应用，意在考查学生对于赋值法的理解，计算能力，分析能力及逻辑推理能力，难度较大.19、(1)；(2)【解题分析】

（1）消去直线参数方程的参数，求得直线的普通方程.消去曲线参数方程的参数，求得曲线的普通方程，联立直线和曲线的方程求得交点的坐标，再根据两点间的距离公式求得.（2）根据坐标变换求得曲线的参数方程，由此设出点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得到直线的距离的最大值.【题目详解】（1）的普通方程为，的普通方程为，联立方程组，解得交点为,所以=；（2）曲线：（为参数）．设所求的点为，则到直线的距离.当时，取得最大值．【题目点拨】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查坐标变换以及点到直线距离公式，还考查了三角函数最值的求法，属于中档题.20、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）利用解析式求出切点坐标，再利用导数求出切线斜率，从而得到切线方程；（2）求导后可知导函数的正负由的符号决定；分别在，和