福建省厦门科技中学2024届高二数学第二学期期末检测模拟试题含解析

福建省厦门科技中学2024届高二数学第二学期期末检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将点的直角坐标(－2，2)化成极坐标得()．A．(4，) B．(－4，) C．(－4，) D．(4，)2．用数学归纳法证明不等式“（，）”的过程中，由推导时，不等式的左边增加的式子是（）A． B．C． D．3．已知随机变量，则参考数据：若，A．0.0148 B．0.1359 C．0.1574 D．0.3148.4．在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线所围成的图形的面积为（）A． B． C． D．5．已知命题，，命题q：若恒成立，则，那么()A．“”是假命题 B．“”是真命题C．“”为真命题 D．“”为真命题6．抛物线的焦点坐标为（）A． B． C． D．7．若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（）A． B． C． D．8．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产品（吨）与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为（）A．4.5 B．3.75 C．4 D．4.19．已知某一随机变量ξ的概率分布列如图所示，且E(ξ)＝6.3，则a的值为()ξ4a9P0.50.1bA．5 B．6 C．7 D．810．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人11．执行如图所示的程序框图，若，则输出的为（）A． B． C． D．12．在中，角的对边分别是，若，则（）A．5 B． C．4 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与椭圆的两个焦点、组成的三角形的周长为，且，则椭圆的方程为________.14．若正方体的表面积为，则它的外接球的表面积为________.15．在复数集，方程的解为________.16．若，则a4+a2+a0＝_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）若．（1）讨论的单调性；（2）若对任意，关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．18．（12分）一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数的分布列为：123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率；(2)求的分布列及期望．19．（12分）阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：0项1项2项3项4项5项5项以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？比较了解不太了解合计理科生文科生合计（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.（i）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii）从10人的样本中随机抽取3人，用表示这3人中文科生的人数，求的分布列和数学期望.参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.20．（12分）已知数列满足，．(Ⅰ)求的值，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明；(Ⅱ)令，求数列的前项和.21．（12分）已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.22．（10分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由条件求得、、的值，可得的值，从而可得极坐标.【题目详解】∵点的直角坐标∴，，∴可取∴直角坐标化成极坐标为故选A.【题目点拨】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．注意运用、、(由所在象限确定).2、D【解题分析】

把用替换后两者比较可知增加的式子．【题目详解】当时，左边，当时，左边，所以由推导时，不等式的左边增加的式子是，故选：D.【题目点拨】本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的概念是解题基础．从到时，式子的变化是数学归纳法的关键．3、B【解题分析】

根据正态分布函数的对称性去分析计算相应概率.【题目详解】因为即，所以，，又，，且，故选：B.【题目点拨】本题考查正态分布的概率计算，难度较易.正态分布的概率计算一般都要用到正态分布函数的对称性，根据对称性，可将不易求解的概率转化为易求解的概率.4、C【解题分析】

根据余弦函数图象的对称性可得，求出积分值即可得结果.【题目详解】根据余弦函数图象的对称性可得，故选C.【题目点拨】本题主要考查定积分的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题．5、D【解题分析】

分别判断命题的真假性，然后再判断每个选项的真假【题目详解】，即不存在，命题是假命题若恒成立，⑴时，，即符合条件⑵时，则解得，则命题为真命题故是真命题故选【题目点拨】本题考查了含有“或”“且”“非”命题的真假判定，只需将命题的真假进行判定出来即可，需要解答一元二次不等式，属于基础题．6、C【解题分析】

根据抛物线的标准方程可得出抛物线的焦点坐标.【题目详解】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，故选：C.【题目点拨】本题考查抛物线焦点坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.7、C【解题分析】

依题意可得，0＜k＜1，结合函数y＝k|x|与y＝﹣|x﹣2|的图象可得4个整数解是2，3，4，5，由⇒x，即可得k.【题目详解】解：依题意可得，0＜k＜1，函数y＝k|x|与y＝﹣|x﹣2|的图象如下，由0＜k＜1，可得xA＞1，∴关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，由⇒xB，故k；故选：C【题目点拨】本题主要考查根据含参绝对值不等式的整数解的个数，求参数范围问题，着重考查了数形结合思想，属于中档题．8、C【解题分析】

根据回归直线必过，求出代入回归直线可构造出方程求得结果.【题目详解】由数据表可知：，由回归直线可知：，即：，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用回归直线求解实际数据点的问题，关键是能够明确回归直线必过点，属于基础题.9、C【解题分析】分析：先根据分布列概率和为1得到b的值，再根据E(X)=6.3得到a的值.详解：根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，所以a=7.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)分布列的两个性质：①，；②.10、B【解题分析】试题分析：设男学生有x人，则女学生有8-x人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案,，∴x(x-1)(8-x)=30=2×3×5，∴x=3,故选B．考点：排列、组合的实际应用．11、B【解题分析】

执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，退出循环，输出的值．【题目详解】执行如图所示的程序框图，有满足条件，有，；满足条件，有,；满足条件，有，；满足条件，有，；不满足条件，退出循环，输出的值为本题正确选项：【题目点拨】本题考查了程序框图和算法的应用问题，是对框图中的循环结构进行了考查，属于基础题.12、D【解题分析】

已知两边及夹角，可利用余弦定理求出．【题目详解】由余弦定理可得：，解得.故选D.【题目点拨】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解题分析】

先假设椭圆的焦点在轴上，通过直角三角形△推出，的关系，利用周长得到第二个关系，求出，然后求出，求出椭圆的方程，最后考虑焦点在轴上的椭圆也成立，从而得到问题的答案.【题目详解】设椭圆的焦点在轴上，长轴长为，焦距为，如图所示，则在△中，由得：，所以△的周长为，，，；故所求椭圆的标准方程为．当椭圆的焦点落在轴上，同理可得方程为：.故答案为：或【题目点拨】本题考查椭圆标准方程的求法，要求先定位、再定量，考查运算求解能力，求解的关键是求出，的值，易错点是没有判断焦点位置．14、【解题分析】

由正方体的外接球的直径与正方体的棱长之间的关系求解.【题目详解】由已知得正方体的棱长为，又因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长，所以正方体的外接球的半径，所以外接球的表面积，故得解.【题目点拨】本题考查正方体的外接球，属于基础题.15、【解题分析】

设复数是方程的解，根据题意列出等式，求解，即可得出结果.【题目详解】设复数是方程的解，则，即，所以，解得，所以.故答案为【题目点拨】本题主要考查在复数集上求解方程，熟记复数运算法则即可，属于常考题型.16、1【解题分析】

利用特殊值法，令x＝0，1，﹣1，将所得结果进行运算可得解．【题目详解】令x＝0，可得a0＝1；令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4＝1，即a1+a2+a3+a4＝0①；令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝81，即﹣a1+a2﹣a3+a4＝80②，将①和②相加可得，2（a2+a4）＝80，所以a2+a4＝40，所以a0+a2+a4＝1．故答案为1．【题目点拨】本题考查二项式展开式的系数的求解方法：赋值法，对题目中的x合理赋值是解题的关键，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）求导得，再分成、、、四种情况，结合导数的符号得出函数的单调性；（2）设，，得单调性，则，由（1）可得，则，令，求导，令，，根据导数可得出函数的单调性与最值，由此可以求出答案．【题目详解】解：（1），①当时，令则，令，则，∴在上单调递减，在单调递增；②当时，，令，则或，令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；③当时，在上单调递增；④当时，令则或，令则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（2）当时，，设，，∴在上递增，，∴，由（1）知在上递减，在上递增，∴，∴，令，则，令，，当时，，故在上递减，∴，∴，∴在上递增，∵，∴．【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数研究函数恒成立问题，考查推理能力与计算能力，考查转化与化归思想与分类讨论思想，多次求导是解决本题的关键，属于难题．18、(1)；(2).【解题分析】试题分析：（1）每位顾客采用1期付款的概率为，3位顾客采用1期付款的人数记为，则，（2）分别计算利润为200元、250元、300元的概率，再列出分布列和期望；试题解析：（1）；（2）η的可能取值为200元，250元，300元.P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1-P（η=200）-P（η=250）=1-0.4-0.4=0.2.η的分布列为：

200

250

300

P

0.4

0.4

0.2

E（η）＝200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）.考点：1.二项分布；2.分布列与数学期望；19、(1)见解析；(2)（i）文科生3人，理科生7人（ii）见解析【解题分析】

（1）写出列联表后可计算，根据预测值表可得没有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i）文科生与理科生的比为，据此可计算出文科生和理科生的人数.（ii）利用超几何分布可计算的分布列及其数学期望.【题目详解】解：（1）依题意填写列联表如下：比较了解不太了解合计理科生422870文科生121830合计5446100计算，没有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i）抽取的文科生人数是（人），理科生人数是（人）.（ii）的可能取值为0,1,2,3，则，，，.其分布列为0123所以.【题目点拨】本题考查独立性检验、分层抽样及超几何分布，注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．20、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)【解题分析】

(Ⅰ)根据，利用递推公式，可以求出的值，可以猜想出数列的通项公式，然后按照数学归纳法的步骤证明即可；(Ⅱ)利用错位相减法，可以求出数列的前项和.【题目详解】解:(Ⅰ)当时，当时，当时，猜想，下面用数学归纳法证明当时，，猜想成立，假设当()时，猜想成立，即则当时，，猜想成立综上所述，对于任意，均成立(Ⅱ)由（Ⅰ）得①②由①－②得：【题目点拨】本题考查了用数学归纳法求数列的通项公式，考查了用借位相减法求数列的前项和，考查了数学运算能力.21、（1）（2）【解题分析】试题分析：（1）将点代入椭圆方程,结合关系式和,组成方程组,可解得的值,从而可得椭圆的方程.（2）由题意分析