2024届陕西省安康市第二中学高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届陕西省安康市第二中学高二数学第二学期期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为（）A．55 B．89 C．120 D．1442．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面的面积中最大的是A． B．3C． D．3．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是A． B． C． D．4．若是虚数单位，，则实数（）A． B． C．2 D．35．若是的增函数,则的取值范围是()A． B． C． D．6．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价单位：元和销售量单位：件之间的四组数据如表：售价x46销售量y1211109为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程，那么方程中的a值为A．17 B． C．18 D．7．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B． C． D．28．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中的记录的产量与相应的生产能耗的几组对应数据如图：根据下表数据可得回归方程，那么表中的值为（）A． B． C． D．9．平面向量与的夹角为，则（）A．4 B．3 C．2 D．10．点A、B在以PC为直径的球O的表面上，且AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的表面积是24π，则异面直线PB和AC所成角余弦值为（）A．33 B．32 C．1011．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A．B．C．D．12．函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为A． B．或C． D．或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则的值为__________．14．已知函数，则__________.15．出租车司机从南昌二中新校区到老校区(苏圃路)途中有个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是则这位司机在途中遇到红灯数的期望为____.（用分数表示）16．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）如图，三棱锥中，，，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.20．（12分）某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计，按分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在的数据).（1）求样本容量和频率分布直方图中的（2）在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在内的株数,求随机变量的分布列及数学期望.21．（12分）已知复数，求下列各式的值：(Ⅰ)(Ⅱ)22．（10分）已知f(x)=ln（1）若a=1，求函数H(x)=f(x)-g(x)的单调区间；（2）若函数H(x)=f(x)-g(x)在其定义域上不单调，求实数a的取值范围；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，找出规律，即可求出数列的第10项，得到答案.【题目详解】由题意，可知，，故选A.【题目点拨】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中读懂题意，理清前后项的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2、C【解题分析】作出三棱锥P−ABC的直观图如图所示，过A作AD⊥BC，垂足为D，连结PD.由三视图可知PA⊥平面ABC，BD=AD=1,CD=PA=2,∴.∴，.∴三棱锥P−ABC的四个面中，侧面PBC的面积最大.故选C.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.3、B【解题分析】

由抛物线方程化标准方程为，再由焦半径公式，可求得。【题目详解】抛物线为，由焦半径公式，得。选B.【题目点拨】抛物线焦半径公式：抛物线，的焦半径公式。抛物线，的焦半径公式。抛物线，的焦半径公式。抛物线，的焦半径公式。4、B【解题分析】

先利用复数的模长公式得到，再根据复数相等的定义，即得解.【题目详解】由于由复数相等的定义，故选：B【题目点拨】本题考查了复数的模长和复数相等的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.5、A【解题分析】

利用函数是上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点处的函数值大小，即，然后列不等式可解出实数的取值范围．【题目详解】由于函数是的增函数，则函数在上是增函数，所以，，即；且有，即，得，因此，实数的取值范围是，故选A.【题目点拨】本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点：（1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致；（2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系．6、B【解题分析】

求出样本中心点，代入线性回归方程，即可求出a的值．【题目详解】由题意，，，线性回归方程，，．故选：B．【题目点拨】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．7、A【解题分析】试题分析：由题意得，，所以，故选A.考点：复数的运算与复数的模.8、D【解题分析】

计算出、，将点的坐标代入回归直线方程可求出的值.【题目详解】由题意得，，由于回归直线过样本的中心点，所以，，解得，故选：D.【题目点拨】本题考查回归直线方程的应用，解题时要熟悉回归直线过样本中心点这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.9、C【解题分析】

根据条件，得出向量的坐标，进行向量的和的计算，遂得到所求向量的模．【题目详解】由题目条件，两向量如图所示：可知则答案为2.【题目点拨】本题考查了向量的坐标和线性加法运算，属于基础题．10、C【解题分析】

首先作出图形，计算出球的半径，通过几何图形，找出异面直线PB和AC所成角，通过余弦定理即可得到答案.【题目详解】设球O的半径为R,则4πR2=24π，故R=6，如图所示：分别取PA,PB,BC的中点M,N,E，连接MN,NE,ME,AE，易知，PA⊥平面ABC，由于AB⊥BC，所以AC=AB2+BC2=25，所以PA=PC2-AC2=2，因为E为BC的中点，则AE=AB2+BE2=2cos∠MNE=MN2+NE2-M【题目点拨】本题主要考查外接球的相关计算，异面直线所成角的计算.意在考查学生的空间想象能力，计算能力和转化能力，难度较大.11、B【解题分析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为，故选B.考点：《算数书》中的近似计算，容易题.12、D【解题分析】

根据函数的奇偶性得到，在单调递增，得，再由二次函数的性质得到，【题目详解】函数为偶函数，则，故，因为在单调递增，所以.根据二次函数的性质可知，不等式，或者，的解集为，故选D.【题目点拨】此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、84.【解题分析】分析：根据原式右边的展开情况可将原式左边写成：然后根据二项式定理展开求（x-1）3的系数即可.详解：由题可得：，故根据二项式定理可知：故答案为84.点睛：本题考查二项式定理的运用，注意运用变形和展开式的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14、1【解题分析】

先求内层函数的值，解得函数值为2，再将2代入求值即可【题目详解】当时，满足对应的表达式，先求内层函数，当时，满足对应的表达式，再求，所以【题目点拨】分段函数求值问题需注意先求解内层函数，再依次求解外层函数，每一个括号内对应的值都必须在定义域对应的区间内进行求值15、【解题分析】

遇到红灯相互独立且概率相同可知，根据二项分布数学期望求解公式求得结果.【题目详解】由题意可知，司机在途中遇到红灯数服从于二项分布，即期望本题正确结果：【题目点拨】本题考查服从于二项分布的随机变量的数学期望的求解，考查对于二项分布数学期望计算公式的掌握，属于基础题.16、【解题分析】试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．考点：二项式定理．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

(1)先对求导，然后分别讨论和时的情况，从而得到的取值范围；（2）可令，再求导，就和两种情况再分别讨论恒成立问题即可得到答案.【题目详解】（1）①当时，恒成立，故在上递增，最多一个零点，不合题意；②当时，，，在上递增，在上递减，且时，，时，故要有两个零点，只需，解得：，综合①、②可知，的范围是：.（2）令，①当，恒成立，在上递增，，符合题意；②当时，在上递增，在上递增，又，若，即时，恒成立，同①，符合题意，若，即时，存在，使，时，，时，，在递减，在上递增，而，故不满足恒成立，综上所述，的范围是：.【题目点拨】本题主要考查利用导函数求解零点中含参问题，恒成立中含参问题，意在考查学生的转化能力，对学生的分类讨论的思想要求较高，难度较大.18、(1)见证明；(2)【解题分析】

（1）取AB的中点D，连结PD，CD．推导出AB⊥PD，AB⊥CD，从而AB⊥平面PCD，由此能证明AB⊥PC．（2）作PO⊥CD交CD于O，作PE⊥BC，连结OE．推导出PO⊥AB，从而PO⊥平面ABC，由三垂线定理得OE⊥BC，从而∠PEO是所求二面角P﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【题目详解】（1）取的中点，连结，.因为，，所以，，所以平面，因为平面，所以.（2）作交于，又由PO⊥AB，所以PO⊥平面ABC，作，连结，根据三垂线定理，可得，所以是所求二面角的平面角，求得，，在直角中，则，所以．【题目点拨】本题主要考查了线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19、（1）；（2）【解题分析】

(1)去绝对值,将化为分段函数,解不等式即可;(2)根据绝对值三角不等式可知,则有,解不等式即可.【题目详解】(1)当时,,故不等式的解集为;(2),,则或,解得或,故的取值范围为.【题目点拨】本题考查解绝对值不等式,考查绝对值三角不等式的应用,属于中档题.20、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）由题得，再利用频率和为1求x的值.(2)先求出的可能取值为1,2,3，再求其对应的概率，再列分布列求期望.详解：(1)由题意可知，样本容量.(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，高度在[90,100]内的株数为2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数的可能取值为1,2,3，则,123故点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中的频数频率等的计算，考查离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)……为的均值或数学期望，简称期望，求期望的关键是求随机变量的概率.21、(1);(2).【解题分析】

由复数的平方，复数的除法，复数的乘法运算求得下面各式值．【题目详解】(Ⅰ)因为=所以；(Ⅱ)=.【题目点拨】复数代数形式的四则运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.22、（1）H(x)单增区间为(0,1)，单减区间为(1,+∞)（2）a>0【解题分析】

（1）求出导函数H'(x)，由H'(x)>0确定增区间，由H'(x)<0确定