考点12等比数列-2024年新高考艺体生一轮复习

考点12等比数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0，n∈N*)．二．等比数列的有关公式1.通项公式：：an＝a1qn－1an＝am·qn－m.2.前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))三．等比中项1.等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．2.若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,r)；四．等比数列的前n项和1.数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；2.数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．五．等比数列的判定方法1.定义法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．2.中项公式法：若数列{an}中an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．3.通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．4.前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．注意：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．六.等比数列的单调性当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列；当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．考点一等比数列基本量的计算【例】（2023·云南）在等比数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．(5)，，求；(6)，，求；(7)，，求；(8)，，求．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)或(8)【解析】（1）等比数列中，，，则.（2）等比数列中，，，，由，可得.（3）等比数列中，，，由，可得.（4）等比数列中，，，由，可得.（5），，故（6），又，故，故，（7）由，可得，即，解得或.（8），故，即【变式】（2023·广东各地节选）已知数列为等比数列，前n项和为(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，．(5)，，求；(6)，，求q；(7)，，求．(8)，，求n；(9)，求及.【答案】(1)(2)(3)(4)378(5)(6)或(7)(8)6(9)，【解析】（1）由，，得（2）由，，得（3）由，，得（4）由，，得（5）等比数列中，，，，解得．（6）在等比数列中，，，显然公比，，整理得，解得或．（7）因为，，所以公比，所以，，所以，即，所以，所以，则.（8）显然，由，即，解得，又，即，所以.（9）由知，由题意得

，两式相除得，得，，所以，.考点二等比中项【例21】（2023·宁夏银川）已知数列为等比数列，，则（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】由题设，则，所以.故选：B【例22】（2023·北京）正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】∵是方程的两根，∴，∵数列为正项等比数列，∴，∴，故选：A．【变式】1．（2023·江苏苏州）已知等比数列中，，，则（

）A．4或 B． C．4 D．8【答案】C【解析】设公比为，则，因为，，所以，所以.故选：C.2．（2023·云南大理）已知各项均为正数的等比数列，，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】由等比数列，，，有，又因为各项均为正数，所以.故选：C．3．（2023·上海闵行）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，，且数列为等比数列，设其公比为，则，，.故选：B.4．（2023·四川甘孜·统考一模）在等比数列中，是方程的两根，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是等比数列，且，是方程的两根，所以：，且，.根据等比数列的性质，得：，且，所以∴.故选：A5．（2023河南）在由正数组成的等比数列中，若，的为A． B． C． D．【答案】A【解析】在等比数列{an}中，由，得则故选A.考点三等比数列前n项和的性质【例31】（2023·辽宁）等比数列的前项和为，若，则（

）A．2 B．2 C．1 D．1【答案】A【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选：A【例32】（2023·广东）等比数列的前m项和为4，前项和为12，则它的前项和是（

）A．28 B．48C．36 D．52【答案】A【解析】设等比数列的前项和为，则依题意有，则，且，根据等比数列前项和的性质有，成等比数列，所以，即，解得.故选：A.【例33】（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是.已知，则（

）A．13 B．12 C．6 D．3【答案】A【解析】方法一因为，所以，，所以，所以.又，得，所以.故选：A.方法二因为，，所以，所以，所以.故选：A.【变式】1．（2023·四川宜宾）已知等比数列的前n项和为，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，所以等比数列的前n项和为，所以，解得.故选：D.2．（2023·河南省直辖县级单位）等比数列的前项和为，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等比数列性质可知，成等比数列，因为，所以，所以成等比数列，所以，所以，所以.故选：C.3．（2023·宁夏银川）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则S9等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】已知：，，成等比数列，且：，，∴，∴.故选：C4．（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是．已知，，则（

）A．900 B．1200C． D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，因为，，所以，，得，所以，所以，所以．故选：．5．（2023上·河北石家庄·高三统考期中）已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则（

）A．27 B．39 C．81 D．120【答案】D【解析】由题知，，，因为数列成等比数列，所以，所以.故选：D.考点四等比数列奇数项或偶数项之和【例41】（2023河北）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（

）.A．8 B． C．4 D．2【答案】D【解析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,由题意易知，设奇数项之和为,偶数项之和为，易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，则，，所以,即.所以这个数列的公比为2.故选:D.【例42】（2023·重庆）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，得到奇数项为，偶数项为，整体代入得，所以前项的和为，解得.故选：B【变式】1．（2023·安徽池州）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（

）A．15 B．30C．45 D．60【答案】D【解析】设，则，又因为，所以，所以.故选:D2．（2023江西）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，则，所以，，因为，可得，因此，.故选：C.3．（2023·河南）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（

）A．30 B．60 C．90 D．120【答案】D【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，又，则，解得，故数列的所有项之和是.故选：D4．（2023·陕西宝鸡）已知等比数列中，，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.考点五等比数列最值问题【例51】（2023广西）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（

）A．

B．C．是数列中的最大值

D．数列无最大值【答案】A【解析】根据题意，等比数列中，，则有，有，又由0，即，必有，由此分析选项：对于A，，故，A正确；对于B，等比数列中，，，则，则，即，B错误；对于C，，则是数列中的最大项，C错误；对于D，由C的结论，D错误；故选：A.【变式】1．（2023黑龙江）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（

）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为【答案】C【解析】若，则，，所以，与矛盾；若，则因为，所以，，则，与矛盾，因此，所以A正确．因为，所以，因此，即B正确．因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误．因为当时，，当时，，所以的最大值为，即D正确．故选：C2．（2022上·江西赣州·高三校联考期中）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大值 D．数列无最大值【答案】B【解析】当时，则，不合乎题意；当时，对任意的，，且有，可得，可得，此时，与题干不符，不合乎题意；故，故A错误；对任意的，，且有，可得，此时，数列为单调递减数列，则，结合可得，结合数列的单调性可得故，，∴，故B正确；是数列中的最大值,故CD错误故选：B.3．（2023·山东青岛）（多选）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且满足，，，则（

）A． B．C．对任意的正整数，有 D．使得的最小正整数为4047【答案】BD【解析】依题意，，由于，所以或.若，则，则矛盾，所以，则，所以A选项错误.，B选项正确.由于，所以的最小值为，即，所以C选项错误.，由于，所以，所以，所以，由于，且，所以当时，，综上所述，使得的最小正整数为，所以D选项正确.故选：BD考点六等比数列的证明与判断【例6】（2023河南焦作）已知数列满足，设.(1)判断数列是否为等比数列，并说明理由;(2)求的通项公式.【答案】(1)是等比数列，理由见解析(2)【解析】（1）由题知:即:，又，是以1为首项,2为公比的等比数列（2）由（1）知:，.【变式】1．（2023·四川成都·统考二模）已知数列的首项为3，且满足.(1)求证：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列.【答案】(1)证明见解析(2)，数列不是等比数列【解析】（1）由，，得，又，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得，，所以所以数列不是等比数列.2.（2023秋·课时练习）已知数列满足：，．(1)求证：为等比数列；(2)求的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）已知递推公式，两边同时加上3，得：，因为，所以，又，所以数列是以为首项、以2为公比的等比数列.（2）由（1），则.3．（2023·全国·专题练习）已知数列的首项，.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为，所以，即，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）可求得，所以，即.考点七等比数列的实际应用【例7】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人第4天与第5天共走的里程数为（

）A．24 B．36 C．42 D．60【答案】B【解析】设第天走的里程数为，其中，由题意可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，解得，所以此人第4天与第5天共走里程数为.故选：B.【变式】1．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：）（

）A．3937万元 B．3837万元C．3737万元 D．3637万元【答案】A【解析】设，，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以则（万元）.故选：A2．（2023·上海杨浦）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（

）天后两鼠相遇.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】设天后能打穿，则，化简为，令，则，又由函数的单调性可知在内有唯一零点，所以至少需要天.故选：C.3．（2023北京）我国古代的数学名著《九章算术》中记载：“今有蒲生一日，长三尺，蒲生日自半”.其意为：今有蒲草第一日长高3尺，以后蒲草每日长高前一日的半数，则蒲草第5日的高度为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】由题意，蒲草每日增长的高度成等比数列，等比数列的首项为3，公比为，蒲草第5日的高度为等比数列前5项和，（尺），故选：D.4．（2023·河南洛阳）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列，所以，由题可得，解得，所以，塔的顶层的灯数是3.故选：A.1．（2023·江苏南通）正项等比数列中，，，则（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】B【解析】设等比数列的公比为，因为数列为正项等比数列，所以，由题，则，所以，所以.故选：B2．（2023·河北邢台）在等比数列中，若，则（

）A．6 B．9 C． D．【答案】A【解析】因为，所以（负值舍去），所以.故选：A3．（2023·江苏常州）已知等比数列满足，，则（

）A．26 B．78 C．104 D．130【答案】B【解析】设等比数列公比为，根据已知可得，，所以，，解得，所以，.故选：B.4．（2023·安徽合肥）在正项等比数列中，若，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【解析】因为为等比数列，所以，故，所以，又，所以.故选：C.5．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列的前项和为，，，则（

）A．29 B．31 C．33 D．36【答案】B【解析】因为数列是等比数列，，所以，即，则.又因为，故有.所以，则，所有，所有，故B项正确.故选：B.6．（2023·黑龙江）在等比数列中，若，则的公比（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】设等比数列的公比为，因为且，可得，可得.故选：B.7．（2023·天津和平）在等比数列中，成等差数列，则（

）A．3 B． C．9 D．【答案】C【解析】设的公比为，则由题意可知或，显然时，，无意义舍去；所以.故选：C8．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为．由，得，解得，得．故选：A9．（2022·云南临沧）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】等比数列中，，，.，，，∵正项等比数列，，则，.，，，，且，，当且仅当，即时等号成立.故选：A.10．（2023·陕西）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】数列是等差数列，，可得，即，数列是等比数列，，可得，可得，则.故选：B.11．（2023·河北邢台）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则（

）A．786 B．240 C．486 D．726【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，，，…仍为等比数列．设，因为，，所以6，，成等比数列．由，解得或（舍去），所以数列，，…的公比为3．因为，，，所以，，故，.故选：D12．（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知各项均为实数的等比数列的前项和为，若，，则（

）A．150 B．140 C．130 D．120【答案】A【解析】设等比数列的公比为，在等比数列中，由，可知，所以，，，构成公比为的等比数列.所以，即，解得（负值舍去）.因为，所以，.故选：A13（2023·浙江·统考一模）已知是等比数列的前项和，且，，则（

）A．11 B．13 C．15 D．17【答案】C【解析】因为是等比数列，是等比数列的前项和，所以成等比数列，且，所以，又因为，，所以，即，解得或，因为，所以，故选：C．14（2023甘肃）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】当时，，又，即前10项分别为，所以数列的前10项中，，所以，故选：C．15．（2023·安徽）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【解析】根据题意，数列为等比数列，设，又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，故；故选：16．（2023·江西）等比数列共有项，其中，偶数项和为84，奇数项和为170，则（

）A．3 B．4 C．7 D．9【答案】A【解析】因为等比数列共有项，所以等比数列中偶数项有项，奇数项有项，由题意得，所以偶数项和为，奇数项和为，相减得故选：A17．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，设正项等比数列的公比为，∵，∴.∵，∴，∴，∴，解得（负值舍去），∴，∴，∴．故选：A．18．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设该马第天行走的里程数为，由题意可知，数列是公比为的等比数列，所以，该马七天所走的里程为，解得.故该马第五天行走的里程数为.故选：D.19．（2023·安徽）某公司为庆祝公司成立9周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“9年耕耘，硕果累累”8个大字，已知热气球在第一分钟内能上升30m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70m高度至少要经过（

）A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟【答案】B【解析】设表示热气球在第n分钟内上升的高度，由已知．所以前秒热气球上升的总高度，因为，所以数列为单调递增数列，又，，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70高度，故选：B．20．（2023下·河南南阳）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织十尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布10尺，请问第二天织布的尺数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，由等比数列前项和公式，得到，解得；所以第二天织布的尺数为．故选：B．21．（2023上·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1200尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【解析】设大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列，它们都是等比数列，其中，的公比为，的公比为，设经过天，大鼠和小鼠穿墙尺寸的和为，则，因为与在上均单调递增，所以在上单调递增，∵，，∴当时，，当时，，因此需要11天才能打穿，故选：B．27．（2023上·福建莆田）（多选）设等比数列的公比为，前项积为，并目满足条件，，，则下列结论不正确的是（

）A． B． C．的最大值为 D．【答案】BC【解析】对于A，由，且，则，，若时，由，则，，所以，与已知条件矛盾，所以，故A正确；对于B，结合选项A可得，所以，故B不正确；对于C，结合选项A可得等比数列的公比为，所以数列为单调递减数列，又结合选项A可得，所以的最大值为，故C不正确；对于D，结合选项A可得，所以，故D正确．故选：BC．28．（2023上·江西·高三鹰潭一中校联考期中）（多选）在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（

）A．为单调递增数列 B．C．为的最大项 D．无最大项【答案】BC【解析】由，因此.又因为则.当时，，则，，则，与题意矛盾.因此.则为单调递减数列，故选项A错误.而，故，选项B正确.又因为为单调递减数列，则，由可知，，，所以当时，，则.当时，，则.因此的最大项为，则选项C正确，选项D错误.故答案为：BC.29（2023·江西上饶）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（）A． B．1C．的最大值为 D．的最大值为【答案】BD【解析】若，则，，所以，与矛盾；若，则因为，所以，，则，与矛盾，因此，所以A不正确．因为，所以，因此，故B正确．因为，所以单调递增，即的最大值不为，故C错误．因为当时，，当时，，所以的最大值为，即D正确．故选：BD.30．（2023·广东珠海·统考模拟预测）设是等比数列，、是方程的两个根，则.【答案】【解析】因为是等比数列，、是方程的两个根，由韦达定理可得，由等比中项的性质可得，故.故答案为：.31．（2023·上海）数列是正数等比数列，且，则.【答案】7【解析】∵，且，，得：，又，所以：.故答案为：732．（2023·陕西西安）数列为等比数列，且，则．【答案】【解析】因为数列为等比数列，所以，又，则，所以.故答案为：.33．（2023·陕西·校联考模拟预测）等比数列满足：，则的最小值为．【答案】【解析】依题意，等比数列满足：，所以，且，所以，当且仅当时等号成立，此时.所以的最小值为.故答案为：34．（2023·陕西西安·）在正项等比数列中，为其前项和，若，则.【答案】726【解析】因为为正项等比数列，所以仍为正项等比数列，设，因为，所以成正项等比数列，由，解得或（舍去），所以数列的公比为3，因为，所以，故.故答案为：726.35．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三校考开学考试）2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（，）【答案】【解析】设对折次时，纸的厚度为毫米，每次对折厚度变为原来的倍，由题意知是以为首项，公比为的等比数列，所以，令，即，所以，即，解得：，所以至少对折的次数是，故答案为：42.1．（2023·上海）的三内角、、所对的边长分别为、、，若、、成等比数列，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，成等比数列，所以，又因为，所以由余弦定理得，故D项正确.故选：D.2．（2023·山西阳泉）两数1､9的等差中项是a，等比中项是b，则曲线的离心率为（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【解析】由题意，，若，曲线方程为，表示椭圆，离心率为，时，曲线方程为，表示双曲线，离心率为．故选：A．3（2022·四川绵阳·一模（文））已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.又，，成等差数列，所以，，所以.又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号.故选：B.4．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，若存在，使得，则的最小值为（

）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】B【解析】因为，所以为等比数列，设的公比为，因为，所以，即，得．所以．因为，所以，当且仅当时等号成立，所以．故选：B.5．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知中，，、分别是、的等差中项与等比中项，则的面积等于（

）A． B