1.4单位圆与任意角的三角函数定义教案-高一下学期数学北师大版

单位圆与任意角的三角函数的定义教学目标了解锐角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义；借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义；掌握求任意角的正弦函数值、余弦函数值和正切函数值的方法；掌握任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的正负判断；教学重难点重点：1、任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义；2、求任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数值的值；难点：根据单位圆或者点的坐标求解正弦函数、余弦函数和正切函数值；教学设计情景导入如图所示，在Rt∆POM中，∠POM=α，你能写出sinα，cosα，tanα的表达式吗？根据前面弧度制的学习，已经将角推广到任意实数，那么对于任意角α，应该如何表示sinα，cosα，tanα呢？需要我们进一步的深入研究任意角的（设计意图：从锐角的三角函数的定义来引导出任意角的三角函数的定义）新知概念问题引入（铺垫）：如果引入圆心在原点的单位圆，你能直接用直角坐标系中角α的终边与单位圆的交点坐标来表示锐角α的正弦函数，余弦函数，正切函数吗？单位圆中锐角的正弦函数、余弦函数和正切函数（PPT上不展示）如图，对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点Pu,v，根据锐角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义可以知道，点P的纵坐标v是α的正弦值，点P的横坐标u是α的余弦值，vu是α的正切值。对于每一个锐角α，都有唯一的坐标u,v与之对应，在α∈0,π2，称v=sinα是锐角α的正弦函数，称u=cosα是锐角α任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点Pu,v，点P的纵坐标v，横坐标u都是唯一确定的，仿照上面的定义，把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，把点P的横坐标u叫作角α的余弦值，把纵坐标与横坐标的比值vu（即正弦值与余弦值的比值sinαcosα总结：在弧度意义下，对于α∈R，称v=sinα为任意角α的正弦函数，称u=cosα是任意角α的余弦函数，称vu=sinαcosα=tanα是任意角α的正切函数。为了函数形式上的统一（自变量和因变量），将上述三个三角函数写成：正弦函数：y=sinx（设计意图：使学生了解任意角的三角函数的定义，并灌输三角函数值和坐标之间的关系，并且可以从角的终边与单位圆交点的关系来分析其是否具有函数关系）利用角的终边上的任意一点的坐标计算角的三角函数（简单分析讲解）问题引入：已知任意角α终边上除原点外一点Qx,y，求角α分析：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情形。如图，（注意相似比指的是线段的长度比，因此需要加上绝对值）①设角α的终边与单位圆交于点Pcosα,sin②点Qx,y在角α的终边上，则OQ=③分别过点P,Q作x轴的垂线PM,QN，垂足为M,N；④易知∆POM∼∆QON⑤点P和点Q在同一象限，所以sinα与y⑥同理得到：cosα抽象概括：任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的另一个定义：设任意角α终边上除原点外一点Qx,y，则sinα（设计意图：帮助学生理解任意角的三角函数值的取值与终边上点的位置无关）正弦函数、余弦函数与正切函数的符号由三角函数的定义可知，三角函数值的符号主要取决于点P的横纵坐标的符号。角的终边位置正弦值：sin余弦值：cos正切值：tan第一象限正正正第二象限正负负第三象限负负正第四象限负正负x轴的非负半轴010x轴的非正半轴0−10y轴的非负半轴10无意义y轴的非正半轴−10无意义对点练习在单位圆中，α=−π4解：由题意可知，角α的终边在第四象限，在单位圆中，设角α的终边与单位圆的交点为点Pu,v，根据勾股定理可得：u=22tan−若角α的终边过点12,32，角β的终边过点解：根据三角函数的第二个定义计算：r=所以：sinα=3、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4,y)是角θ终边上一点，且sinθ=255解：根据三角函数的第二个定义计算：r=所以：sinθ=y42+y2所以：cosθ=54、已知sinα>0,cosα<0，判断角α是第几象限角。解：第二象限角（根据三角函数值的符号表来判断）5、判断下列角的正弦值、余弦值、正切值的正负（1）110o（2）2π3（3）解：（1）110o2π4是第三象限，正弦值为负，余弦值为负，正切值为正（注意是弧度制）−606、已知sinα∙cosα<0，判断角α的终边所在的象限。解：因为sinα∙cosα<0，所以sinα与cosα异号，所以角α的终边在第四象限或第二象限。常见特殊角的正弦函数值、余弦函数值和正切函数值（仅作展示）α0ππππ235π7435112πsinα012313210−−−1−−0cosα13210−−−−1−−0131tanα0313−−1−033−−0例题讲解若角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P1,3，求解：根据任意角的三角函数的第二定义进行计算。因为：点P1,3所以：sinθ=若角α的终边过点P2sin30解：因为：点P2sin所以：r=2，所以sin点P从1,0出发，沿单位圆按照逆时针运动26π3弧长到达Q点，求点解：根据角的周期性，判断Q点所在的象限，处在第二象限，所以：Q已知角α的终边上有一点P−3,m，且sin解：点P到原点的距离r=3+m2，所以sinα若m=0，则sinα若m=5，则sin若m=−5，则sin（注意根据实际情况进行分类讨论）已知角α的终边上一点P4t,−3tt≠解：因为点P4t,−3tt当t>0，角α是第四象限角，r=故sin所以：sin当t<0，角α是第二象限角，r=故sin所以：sin综上所述：sinα+cos例6、已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y=2x上，求sinα−cosαsin解：因为角α的终边落在直线y=2x上，设Pt,2tt≠0所以：r=当t>0，角α是第一象限角，r=故sin所以：sin当t<0，角α是第三象限角，r=故sin所以：sin综上所述：sin例7、（删）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y=−3x上，求4cosα解：因为角α的终边落在直线y=−3x上，因此角α的终边落在第二象限或者第四象限。（可以画图分析：画出一次函数若角α的终边落在第二象限：取终边上一点：P−1,所以：r=2,sinα=若角α的终边落在第四象限：取终边上一点：P1,−所以：r=2,sinα=−32综上所述：4cosα−sin2（注意分类讨论和数形结合的思想的应用）例8、在平面直角坐标系中，角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P1,mm<0，则下列各式恒大于sinαB、cosα−sinα解：点P1,mm<0处在第四象限，因此注意：可以着重分析D选项，比较sinα例9、已知角α的终边经过点P3a−6,a+1，且sinα>0,cos解：因为sinα>0,cosα≤0，所以所以：3a−6≤0例10、在∆ABC中，角A为钝角，则点P(cosA,tanB)处在第几象限。解：在∆A