初中数学-3161072627.2.3 切线备课件-2021-2022学年九年级下册同步备课系列（华东师大版）

华东师大版第27章圆27.2.3切线

根据图形，回答以下问题：（1）在图中，直线l分别与⊙O的是什么关系？（2）在上边三个图中，哪个图中的直线l是圆的切线？

你是怎样判断的？ＯABC问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？观察：（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？O1知识点切线的判定经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．OA为⊙O的半径BC

⊥

OA于ABC为⊙O的切线ABC切线的判定定理应用格式O要点归纳要点精析：切线必须同时具备两个条件：(1)直线过半径的外端；(2)直线垂直于半径．判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.

在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.注意判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd要点归纳例1

如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，点A,且AB=AC.求证：AC是☉O的切线.解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°.

∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.

∵AB是☉O的直径，∴AC是☉O的切线.AOCB例2已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.

证明：连接OC(如图).∵OA＝OB,CA＝CB,

∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.

∴AB⊥OC.

∵OC是⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线.

例3

如图,△ABC

中，AB

＝AC

，O是BC的中点，⊙O

与AB

相切于E.求证：AC

是⊙O的切线．BOCEA分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.F证明：连接OE，OA,过O作OF⊥AC.∵⊙O与AB相切于E

，∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，

O是BC的中点．∴AO平分∠BAC，FBOCEA∴OE＝OF.∵OE是⊙O半径，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是⊙O的切线．又OE⊥AB，OF⊥AC.如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB求证：直线AB是⊙O的切线.CBAO如图，OA＝OB=5，AB＝8,⊙O的直径为6.求证：直线AB是⊙O的切线.CBAO对比思考？作垂直连接方法归纳

(1)有切点，连半径，证垂直;

(2)无切点，作垂直，证半径.证切线时辅助线的添加方法例1例2有切线时常用辅助线添加方法

(1)

见切点，连半径，得垂直.切线的其他重要结论

(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.要点归纳

1

导引：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，DB为半径作⊙D.求证：AC与⊙D相切．2直线AC是否与⊙D有公共点不确定，不能像上例那样“连半径，证垂直”，为此，过D点作DF⊥AC于点F，由d＝r⇒直线与圆相切可知，只需证DF＝DB即可．导引：如图，过点D作DF⊥AC于点F.∵∠B＝90°，∴DB⊥AB.又∵AD平分∠BAC，∴DF＝DB.∴AC与⊙D相切．证明：思考：如图，如果直线l是⊙O

的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？AlO∵直线l是⊙O

的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.切线性质

圆的切线垂直于经过切点的半径．应用格式2知识点切线的性质小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,（2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.CDBOA（3）所以AB与CD垂直.M证法1：反证法.性质定理的证明CDOA证法2：构造法.作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．1.性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．要点精析：(1)性质定理的题设有两个条件：①圆的切线；②半径过切点，应用时缺一不可．(2)切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理

是在未知相切而要证明相切的情况下使用，切线的性

质定理是在已知相切而要推得其他的结论时使用；它

们是一个互逆的过程，不要混淆．2.切线的性质：温故：(1)切线和圆只有一个公共点；(2)圆心到切线的距离等于半径；(3)圆的切线垂直于过切点的半径．知新：(推论)(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用)；(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用)．以上(3)(4)(5)可归纳为：已知直线满足：①过圆心；②过切点；③垂直于切线中的任意两个，就可得到第三个．拓展：(1)弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相交(弦)，另

一边与圆相切(切线)的角叫做弦切角．(2)弦切角的性质：弦切角的度数等于它所夹弧所对的

圆周角的度数，亦等于它所夹弧的度数的一半，也

等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半．如图所示，AB

为⊙O

的直径，PD

切⊙O

于点C，交AB

的延长线于点D，且∠D=2∠CAD.（1）求∠D

的度数.（2）若CD=2，求BD的长.例3（1）利用“等半径”得等腰三角形；（2）利用“切线”垂直于过切点的半径构成直角三角形，再结合相关性质求解.导引：

1．(3分)下列直线中能判定为圆的切线的是()A．与圆有公共点的直线B．过圆的半径外端的直线C．垂直于圆的半径且与圆有公共点的直线D．过半径的外端且与半径垂直的直线D2．(4分)如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是()A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B－∠C＝∠AC．AB2＋BC2＝AC2D．AC的中点在⊙A上D3．(4分)如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是()A．DE＝DOB．AB＝ACC．CD＝DBD．AC∥ODA【点拨】连结PO，利用切线长定理得到PA＝PB，由∠APB＝60°，得到∠APO＝30°，再利用勾股定理求出AP的长，同理，由切线长定理可知，MA＝MC，NC＝NB，△PMN的周长等于PA＋PB，即2AP.【答案】C6．【中考·云南】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(

)A．4B．6.25C．7.5D．9A【点拨】如图，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O.设D、E为切点，连结OE、OD、OA，易得点A、O、D共线，则OE＝OD＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R＋r，故A正确．在Rt△AOE中，OA＝2OE，即R＝2r，故B正确．【答案】C8．(4分)(驻马店二模)以O为中心点的量角器与三角板ABC按如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是()A．55°B．45°C．35°D．25°C9．(8分)(河南中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连结BD.(1)求证：BD＝BF；(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长．解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∴BD⊥AC.∵BF切⊙O于B，∴AB⊥BF，∵CF∥AB，∴CF⊥BF，∠FCB＝∠ABC.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠FCB.∵BD⊥AC，BF⊥CF，∴BD＝BF10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.(1)求证：∠A＝∠ADE；证明：如图，连结OD.∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°.∴∠ADE＋∠BDO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO.∴∠A＝∠ADE.(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．解：如图，连结CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE.∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线．∴ED＝EC.∴AE＝EC＝DE.∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠ADC＝90°.11．【中考·资阳】如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.(1)求∠BAC的度数；解：∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴PA＝PB，∠PAC＝90°.∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠BAC＝90°－∠BAP＝30°.(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．12．(12分)(河南模拟)如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，AC是⊙O的切线，C为切点，AD＝CD.(1)求证：AC＝BC；(2)若⊙O的半径为1，求△ABC的面积．解：(1)证明：连结OC，∵AC为切线，C为切点，∴∠ACO＝90°，即∠DCO＋∠2＝90°.又∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，即∠DCO＋∠1＝90°，∴∠1＝∠2.∵AD＝CD，OB＝OC，∴∠A＝∠2，∠B＝∠1，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC13．(1)如图①，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E、F、G、H，说明AB＋CD与BC＋AD的大小关系；解：由切线长定理，得AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝D