易错01 整式的乘除（含解析）-2020-2021学年七年级数学下册期末复习易错题分类专项（北师大版）

易错专题01整式的乘除（含解析）

一.科学记数法一表示较小的数（共1小题）

1.（2021•姑苏区一模）有一种病毒的直径约为0.000000078米，数0.000000078用科学记数

法表示为（）

A.0.78x10-7B.0.78x1。-**C.7.8xlO'8D.7.8x10-

二.同底数悬的乘法（共3小题）

2.（2021春•江阴市校级月考）已知：2"'=1,2"=3,则2"""=（）

A.2B.3C.4D.6

3.（2021春•镇江期中）规定a*6=2"x2〃，例如：1*2=21x2?=23=8,若2*（x+l）=32,

则x的值为（）

A.29B.4C.3D.2

4.（2021春•姑苏区期中）我们知道，同底数幕乘法法则为：""•"=屋""（其中awO,加、

〃为正整数）类似地我们规定关于任意正整数机，〃的一种新运算:g（m+n）=g（m）-g（n）,

若g（1）=--,那么g（2020）.g（2021）=.

三.幕的乘方与积的乘方（共5小题）

5.（2021春•江宁区月考）计算：（孙2）3=%3（y2）3=x3y6,其中，第二步的运算依据是（

）

A.积的乘方法则B.乘法分配律

C.同底数寨的乘法法则D.塞的乘方法则

6.（2021春•祁江区月考）己知a=2",人=3也，c=533,那么“、b、c的大小顺序是（

）

A.a<c<hB.c<b<aC.h<c<aD.a<b<c

7.（2021春谢阳县校级月考）如果加=3"+1,〃=2+9",那么用含机的代数式表示〃为（

）

A.n=2+3mB.n=m2C.n=（m—V）2+2D.n=m2+2

8.（2021春•玄武区校级期中）已知¥=x,8"=y,其中m,〃为正整数，贝|2"+6"=（

)

A.xy2B.x+y2C.x2y2D.x2+y2

9.（2021春•招远市期中）已知Y-y2=2,则（5'7）中的值为（）

A.5B.10C.25D.125

四.同底数嘉的除法（共1小题）

10.（2021•通州区模拟）下列计算中，正确的是（）

A.a+3a=3a2B.a4-a3=aC.a-a1=a3D.a5-i-a=5

五.单项式乘单项式（共3小题）

11.（2021•田东县模拟）下列计算错误的是（）

A.（4%）.（苏）=4次B.xy2-xy2=xy2

C.a5-i-a2=a3D.(—/nn3)2=nrri'

12.（2019•新华区校级二模）下列各式运算正确的是（）

A.3/.5/=15y12B.(ab5)2=ab'n

C.(/)2")3D.(-x)4.(-x)6=-x'°

13.(2019春•广陵区校级月考)计算

(1)§)-2—10+(—3)2；

(2)(-0.25)I2X413；

(3)2x‘+(―x)'•%•(—x)7；

(4)(-2/妙)4+(_公8.6)3

六.单项式乘多项式(共1小题)

14.(2021春•张家港市月考)计算：

⑴(-3)0+(-1)-24-|-2|；

(2)x,x5+(%2)3—(―2%3了；

(3)(3x2y-2x+1)(-2xy).

七.多项式乘多项式（共4小题）

15.（2020春•滩溪县期末）如（x+M与。+3）的乘积中不含x的一次项，则加的值为（

）

A.-3B.3C.0D.1

16.（2020秋•荔湾区期末）若2x+〃?与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）

A.-6B.0C.-2D.3

17.（2020秋•兰山区期末）若关于x的多项式（2x-〃?）与（3x+5）的乘积中，一次项系数为

25,则加的值（）

A.5B.-5C.3D.-3

18.（2021春•泰兴市月考）已知（x-2）（f-/nr+〃）的结果中不含/项和x的项，求

（"?+〃）（〃P-mn+“°）的值.

八.完全平方公式（共3小题）

19.（2020春•槐荫区期中）若a+"=10,ab=\\,则代数式/一她+^的值是（）

A.89B.-89C.67D.-67

20.（2020春•扬中市期中）已知3+加2=144,（。-力2=36,则"=；a2+h2=.

21.（2019秋•洛阳期末）已知（"-"A=40,（“+"）2=4000,则病+1的值为.

九.完全平方公式的几何背景（共3小题）

22.（2021•龙岗区模拟）如图，矩形A3CD的周长是10皿，以A3,AD为边向外作正方形

ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17c>,那么矩形的

面积是（）

HG

EBC

A.3cm2B.4cm1C.5cvn2D.6cmi

23.（2019春•兴化市期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同

一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.

例如，由11可得等式：（2。+/?）（“+2Z?）=2，/+5。/?+2/?’

（1）根据图2,写出一个等式：―

（2）如图2,若长方形的长45为10,AD宽为6,分别求“、。的值；

（3）如图3,将两个边长分别为〃和。的正方形拼在一起，B,C,G三点在同一直线上,

连接8。和班若这两个正方形的边长满足“+。=6,必=10,请求出阴影部分的面积.

图1图2图3

24.（2019春•江阴市期中）【知识生成】

我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式

图1图2

2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全

相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别

为a、b（a<b）,斜边长为c.

（1）图中阴影部分的面积用两种方法可分别表示为—、—;

（2）你能得出的a,b,c之间的数量关系是—（等号两边需化为最简形式）；

（3）一直角三角形的两条直角边长为6和8,则其斜边长为—.

【知识迁移】

通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式.如图2是边长为“+〃的

正方体，被如图所示的分割线分成8块.

（4）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为—.（等号

两边需化为最简形式）

（5）已知口+6=3,ab=\,利用上面的规律求4?+/的值.

一十.完全平方式（共4小题）

25.（2021春•镇江期中）9/+丁是一个完全平方式，那么我的值为（）

A.3B.±3C.6D.±6

26.（2021春•南京期中）多项式9/+1加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个单

项式应为（）

A.6xB.-6xC.±3xD.+6x

27.（2020秋•番禺区期末）如果％2+2必+9是一个完全平方式，则m的值是（）

A.3B.±3C.6D.±6

28.（2020春•江阴市期中）若多项式〃+3匕+4从是完全平方式，则A的值为（）

A.4B.+2C.±4D.±8

一十一.平方差公式（共2小题）

29.（2020春•邵东市期末）下列各式中,不能够用平方差公式计算的是()

A.（y+2x）（2x-y）B.(*3y)(x+3y)

C.（2x2-y2）（2x2+y2）D.(4a+b-c)(4a-h-c)

30.（2019秋•大同期末）已知〃z-〃=1,则“2-〃2一2〃的值为.

一十二.平方差公式的几何背景（共3小题）

31.（2018秋•大同期末）如图1,在边长为a的正方形中剪去一个边长为〃的小正方形色＞力,

把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2）,利用这两幅图形面积，可

以验证的乘法公式是（）

b

A.(a—b)~-u~—2ab+B.(a+b)2-a1+2ab+b2

C.a(a+b)=a?+abD.(a+b)(a-b)=-b2

32.（2019春•玉田县期末）从边长为。的正方形中剪掉一个边长为〃的正方形（如图1）,然

后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.

（1）上述操作能验证的等式是—；（请选择正确的一个）

A.a2-2ab+从二一4

B.a2-b2=(a+b)(a-b)

C.ci1+ab=a（a+b）

（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题:

①已知f-4;/=12,x+2y=4,求x-2y的值.

33.（2019春•南海区期末）（1）如图1,阴影部分的面积是—.（写成平方差的形式）

（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是—.（写成多项式相乘

的积形式）

（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：—.

34.（2015•秦淮区二模）计算2/十1的结果是（）

A.xB.2xC.%-1D.2/

一十四.整式的混合运算(共1小题)

35.(2021春•江宁区月考)(1)-22+(^)-2-270；

(2)X2-/-(-2X4)2+5XI34-X5

(3)(a-b)2-(b-a)5+[—(〃一力力；

（4）（2m-4n）（4m+2n）.

一十五.整式的混合运算一化简求值（共2小题）

36.（2020•常州）先化简,再求值：（x+l）2-x（x+l）,其中x=2.

37.(2020春•昌乐县期末)先化简，再求值：x(x-4y)+(2x+y)(2x-y)-(2x-y)2,其中x,

y满足|x—2|+（y+l）2=0.

一十六.零指数寨（共4小题）

38.（2021春•江阴市校级月考）如果等式（x-3）2=1成立，则使得等式成立的x的值有几

个（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

39.（2021春•东台市月考）等式（x-3）°=l成立的条件是（）

A.x。一3B.X...—3C.A;,—3D.入声3

40.（2021春•江宁区月考）若（l-x）f=l,则满足条件的x值为.

41.（2021春•宝应县月考）若（n-3）"的值为1,则〃的值为.当x__时,（2x-4）°=l.

一十七.负整数指数幕（共4小题）

42.（2021春•亭湖区校级月考）若则优2、〃、/的大小关系是（）

A.a2<a<crB.a<a2<a1C.a2<a<a~2D.a2<<f2<a

43.(2021春•江宁区月考)已知4=一(3°/=2-2,。=(一,)-2,"=_0.22,则比较a、b、c、

d的大小结果是()

A.a<d<b<cB.d<a<b<cC.a<d<c<bD.a<b<d<c

a=-2-3,6=(_g)-2,c=(；)。

44.（2021春•江都区月考）若则a、bc大小关系正确的是（

)

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

45.（2021春•盐都区月考）（1）已知々=？*444,b=3-33333,c=5-22222,请用把它们按

从小到大的顺序连接起来，说明理由.

（2）请探索使得等式（2x+3产。2。=1成立的x的值.

易错专题01整式的乘除（含解析）

参考答案与试题解析

科学记数法一表示较小的数（共1小题）

1.（2021•姑苏区一模）有一种病毒的直径约为0.000000078米，数0.000000078用科学记数

法表示为（）

A.0.78x10-7B.0.78x10-8c.7.8xlO-8D.7.8xlO-6

【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为“xi（r,与较大数

的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幕，指数〃由原数左边起第一个不为零的数字前

面的。的个数所决定.

【解答】解：0.000000078=7.8X10-8.

故选：C.

【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为“xi（r,其中L,必|<10,

n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

二.同底数幕的乘法（共3小题）

2.（2021春•江阴市校级月考）己知：2"'=1,2"=3,则2"'+"=（）

A.2B.3C.4D.6

【分析】直接利用同底数幕的乘法以及积的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案.

【解答】解：•.•2'"=1,2"=3,

..2，"+"=2"X2"=1X3=3.

故选：B.

【点评】此题主要考查了同底数幕的乘法以及积的乘方运算，正确掌握相关性质是解题关键.

3.（2021春•镇江期中）规定a*6=2"x2",例如：l*2=2ix2?=23=8,若2*（x+l）=32,

则x的值为（）

A.29B.4C.3D.2

【分析】根据规定可得关于x的一元一次方程，解方程即可.

【解答】解：根据题意得：

22X2X+,=32,

即22X2X+,=25,

;.2+x+l=5，

解得x=2.

故选：D.

【点评】本题主要考查了同底数塞的乘法，有理数的混合运算以及解一元一次方程，熟记事

的运算法则是解答本题的关键.

4.（2021春•姑苏区期中）我们知道，同底数基乘法法则为：（其中加、

〃为正整数）类似地我们规定关于任意正整数〃?，〃的一种新运算：g（m+〃）=g（m>g（〃），

若g⑴T，那么g（2020）-g（2021）=_-*_・

【分析】根据题中的新定义化简，计算即可求出值.

【解答】解：由g（1）=—；,

得：原式=B（1）产。心（1）产;（T严一击•

故答案为：—一・

【点评】本题考查同底数基乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所

求式子的值.

三.幕的乘方与积的乘方（共5小题）

5.（2021春•江宁区月考）计算：（孙2）3=Y（y2）3=x3y6,其中，第二步的运算依据是（

）

A.积的乘方法则B.乘法分配律

C.同底数寨的乘法法则D.塞的乘方法则

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幕的乘方运算法则判断得出答案.

【解答】解：（孙）二丫3/户二//,其中，第二步的运算依据是：基的乘方法则.

故选：D.

【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及暴的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键.

6.（2021春•邢江区月考）已知4=255,0=344,C=533,那么“、〃、c的大小顺序是（

）

A.a<c<bB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

【分析】根据某的乘方运算法则把它们化为指数相同的暴，再比较底数大小即可.

【解答】解：因为a=255(25)"=32",/?=344=(34)"=81",c=533=(53)"=125",

.■,255<344<533,

即a<6<c.

故选：D.

【点评】本题主要考查了塞的乘方以及有理数大小比较，熟记事的运算法则是解答本题的关

键.

7.（2021春•射阳县校级月考）如果〃?=3"+1,〃=2+9。，那么用含机的代数式表示"为（

)

A.n=2+3mB.n=m2C.«=(/7/-1)2+2D.n=w2+2

【分析】直接利用幕的乘方运算法则将原式变形得出答案.

【解答】解：；相=3"+1,

3°=m—\,

.•.〃=2+9"=2+(3">=2+(w-l)2.

故选：C.

【点评】此题主要考查了累的乘方运算法则，正确将原式变形是解题关键.

8.（2021春•玄武区校级期中）已知¥=x,8"=y,其中团〃为正整数，则22鹏”=（

)

A..xy~2B.x+y2C.x2y2D.x2+y2

【分析】根据嘉的乘方运算法则，把4"和8”写成底数是2的事,再根据同底数幕的乘法法

则计算即可.

【解答】解：•.•4"=22"』,8"=23』,

22ra+6n=22m.26n=22'"123"茂=xy2.

故选：A.

【点评】本题主要考查r同底数嘉的乘法以及靠的乘方与积的乘方，熟记基的运算法则是解

答本题的关键.

9.（2021春•招远市期中）已知丁-丁=2,则⑹一）E的值为（）

A.5B.10C.25D.125

【分析】先利用塞的乘方法则进行运算，然后整体代入即可得出结论.

【解答】解：原式=5"+"力=5『夕.

x2-y2=2,

原式=52=25.

故选：C.

【点评】本题主要考查了募的乘方和平方差公式，实数的运算，正确使用上述法则是解题的

关键.

四.同底数嘉的除法（共1小题）

10.（2021•通州区模拟）下列计算中，正确的是（）

A.a+3a=3a2B.a4-a3=aC.a-a2=a3D.a5-i-a=5

【分析】分别计算各选项即可.

【解答】解：A.a+3a=4a,该选项不正确，不符合题意；

B.和/不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；

C.a-a2=a\该选项正确，符合题意；

D.a5^a=a4,该选项错误，不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了积的乘方，累的乘方，同底数基的乘法，同底数基的除法，考核学生的

计算能力，牢记这些法则是解题的关键.

五.单项式乘单项式（共3小题）

11.（2021•田东县模拟）下列计算错误的是（）

A.（a^b）*（ab2）=a4b）B.xy2-xy2=xy2

C.a5-i-a2=a3D.（-/nn3）2-nVri'

【分析】选项A为单项式x单项式；选项B为合并同类项：选项C为同底数基的除法；选

项。为积的乘方，根据相应的法则进行计算即可.

【解答】解：选项A,单项式x单项式，（<73/?）.（a/>2）=a3»a»b-b2=,原计算正确，故此

选项不符合题意；

选项3,合并同类项，--xy2=-.xy2-^xy2=^xy2,原计算正确，故此选项不符合题

意;

52523

选项C,同底数幕的除法，a-^a=a-=a,原计算正确，故此选项不符合题意；

选项。，积的乘方，(-〃?〃3)2=机2力，原计算错误，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，幕的乘方与积的乘方，同底数暴的除

法，熟练运用各运算公式是解题的关健.

12.(2019•新华区校级二模)下列各式运算正确的是()

A.3/.5/=15>»'2B.(ab5)2=ab'°

C.4)2=(/)3D.(-X)4.(-X)6=-产

【分析】根据同底数幕的乘法、积的乘方法则以及幕的乘方法则进行计算即可.

【解答】解：A3/-5/=15/,故本选项错误；

B.(ab5)2=a5b'°,故本选项错误；

C.(a3)2=(a2)3,故本选项正确;

D.(-x)4・(-x)6=y°,故本选项错误；

故选：C.

【点评】本题主要考查了嘉的运算，解决问题的关键是掌握同底数塞的乘法、积的乘方法则

以及塞的乘方法则.

13.(2019春•广陵区校级月考)计算

(1)(犷一］。+(-3)2；

(2)(-0.25严x4%

(3)2x5»xs+(―%)"x)7；

(4)(-2///)4+(_”.(/)3

【分析】(1)利用负指数幕，零指数幕，有理数的乘方进行计算即可；

(2)根据积的乘方的逆运算进行计算；

(3)根据单项式乘法和减法进行计算；

(4)先算乘方，再进一步计算加法.

【解答】解：(1)d尸—万°+(-3)2

=4-1+9

-12；

(2)(-0.25)“x4骁

=(-0.25X4)I2X4

=(-1)I2X4

=1x4

=4；

(3)2x‘+(-x)-X)，

=2x10-x2*x*x7

=2x'0-x'0

=/；

(4)(一2“皆)4+(_4.(/)3

=16。次+〃卢

=Uasb'2.

【点评】此题综合考查了整式的混合运算顺序以及运算法则，解题的关键是熟悉幕运算的性

质和整式乘法法则.

六.单项式乘多项式(共1小题)

14.(2021春•张家港市月考)计算：

(1)(-3)°+(-3尸引_21；

(2)x■X，+(x~>'—(―)'；

(3)(3x2y-2x+1)(-2孙).

【分析】(1)根据零指数塞、负指数幕的法则进行计算即可；

(2)根据同底数幕的乘法、累的乘方、积的乘方运算法则进行计算即可；

(3)利用单项式乘多项式运算法则进行计算即可.

【解答】解：(1)原式=1+4+2=1+2=3；

(2)原式=x6+X，—4x6=—2f；

(3)原式=3x2y•(-Ixy)-2x-(~2xy)+1-(-2xy)=-6x3y2+4x2y-2xy.

【点评】本题主要考查了零指数基、负指数塞、积的乘方、塞的乘方、单项式乘多项式等运

算法则，解答问题的关键是准确运用法则进行计算，不要混淆.

七.多项式乘多项式(共4小题)

15.(2020春•滩溪县期末)如(x+利)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则机的值为(

)

A.-3B.3C.0D.1

【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把，"看作常数合并关于x

的同类项，令x的系数为0,得出关于机的方程，求出机的值.

【解答】解：；(x+m)(x+3)=x2+3x+mx+3m=x2+(3+ni)x+3m,

又•.•(x+附与(x+3)的乘积中不含x的一次项，

.'.3+m=O>

解得m=—3.

故选：A.

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数

等于0列式是解题的关键.

16.(2020秋•荔湾区期末)若2x+〃?与x+3的乘积中不含x的一次项，则加的值为()

A.-6B.0C.-2D.3

【分析】首先根据多项式乘多项式的方法，求出2x+m与x+3的乘积；然后根据2x+m与

x+3的乘积中不含x的一次项，可得：x的一次项的系数等于0,据此求出力的值为多少即

可.

【解答】解:(2x+m)(x+3)=2x2+(m+6)x+3m,

-.-2x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，

;.，〃+6=0,

解得：m=-fy.

故选：A.

【点评】此题主要考查了多项式乘多项式的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；(2)多项式与多项式相乘，仍得多

项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.

17.(2020秋•兰山区期末)若关于x的多项式(2x-.)与(3x+5)的乘积中，一次项系数为

25,则加的值()

A.5B.—5C.3D.—3

【分析】先求出两个多项式的积，再根据一次项系数为25,得到关于旭的一次方程，求解

即可.

【解答】解：(2x—/M)(3X+5)

=6x2-?>mx+\Qx—5m

=6x2+(10-3/n)x-5m.

•.♦积的一次项系数为25,

/.10-3m=25.

解得m=-5.

故选：B.

【点评】本题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，掌握多项式乘多项式法则是解决

本题的关键.

18.(2021春•泰兴市月考)已知(x-2)(x?-,nr+〃)的结果中不含x2项和x的项，求

{m+〃)(/-mn+/)的值.

【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，根据结果不含/项和d项，确定出与”的

值代入所求式子计算即可.

【解答】解：原式=1-znr?+nx-2x2+2/nx-2n=xi+{-m-2)x2+(n+2m)x-2n,

由结果不含V项和x项，得到-%一2=0,及+2〃?=0,

解得：，〃=—2,〃=4,

(m+n)(m2-mn+n2)=(-2+4)[(-2)2-(-2)x4+42]=2x28=56.

【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

八.完全平方公式(共3小题)

19.(2020春•槐荫区期中)若a+6=10,"=11,则代数式/-必+从的值是()

A.89B.-89C.67D.-67

【分析】把a+)=10两边平方，利用完全平方公式化简，将而=11代入求出a'+b2的值，

代入原式计算即可得到结果.

【解答】解：把。+6=10两边平方得：

(a+b)2=a2+b2+2ab=W0,

把《/?=11代入得：

a2+b2=78,

原式=78-11=67,

故选：C.

【点评】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关

键.

20.(2020春•扬中市期中)己知(“+6)2=144,("W=36,则27；a2+b2=.

【分析】先根据完全平方公式进行变形，再求解即可.

【解答】解:因为(a土力2=/±2"+/,3+32=144,(a_b)2=36,

所以。2+2必+〃=[44①，cr-lab+b1=36@,

①一②，得4“6=108,

所以必=27：

①+②，得2/+切=180,

所以(？+层=90.

故答案为：27,90.

【点评】本题考查了完全平方公式的知识点.能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的

关键.

21.(2019秋•洛阳期末)已知("-")2=40,(m+n)2=4000,则加+W的值为2020.

【分析】根据完全平方公式，即可解答.

【解答】解：(m-n)2=40,

in2-2mn+n2=40①，

(m+n)2=4000,

nr+2mn+n2=4000②,

①+②得：2〃P+2〃2=4O4O,

m2+rr-2020.

故答案为:2020.

【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式.

九.完全平方公式的几何背景(共3小题)

22.(2021•龙岗区模拟)如图，矩形A38的周长是10的，以A3,AD为边向外作正方形

ABEF和正方形ADGH,若正方形45所和ADGH的面积之和为17c/，那么矩形的

面积是()

HG

BC

A.3cm2B.4c77?C.5cm2D.6c病

【分析】设A3=x,AD=y,根据题意列出方程V+产=*,2(x+y)=10,利用完全平

方公式即可求出呼的值.

【解答】解：设AD=y,

正方形ABE尸和ADGH的面积之和为17cm?

：.x2+9=17,

•.•矩形ABCD的周长是10(.77?

/.2(x+y)=10,

,/(x+丫y=x2+2xy+y2,

/.25=17+2xy,

:.xy=4f

：.矩形ABCD的面积为：孙=4cm2,

故选：B.

【点评】本题考查正方形与矩形的性质，解题的关键是设A8=x,AD^y,利用完全平方

公式求出xy的值.

23.(2019春•兴化市期中)把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同

一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.

例如，由1,可得等式：(2“+份(。+2力=2/+5。〃+2/

(1)根据图2,写出一个等式：_(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2_

(2)如图2,若长方形的长4?为10,AQ宽为6,分别求〃、6的值；

(3)如图3,将两个边长分别为。和人的正方形拼在一起，B,C,G三点在同一直线上,

连接应)和8F.若这两个正方形的边长满足a+b=6,ab=\0,请求出阴影部分的面积.

图2图3

【分析】(1)此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一种可以是3个正方

形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2〃；

(2)列方程组解答即可；

(3)利用即解=正方形舫8的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形

A5Z)的面积求解.

22

【解答】解：(1)(a+2b)(a+b)=a+3ab+2b;

故答案为：(a+2b)(a+b)=6+；

(2)•.•长方形的长A5为10,AD宽为6,

+2〃=10,

]a+匕=6・

|々=2,

[h=4.

即。=2,。=4；

(3)\*a+b=6fab=l。，

222222

=«+b--(a+bVb--^=-«+-Z>--a/j=-(«+Z?)--«/?=-x6--x10=18-15=3

逃凰2V722222222

【点评】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不

同的方法表示同一图形的面积.

24.(2019春•江阴市期中)【知识生成】

我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式

图1图2

2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全

相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别

为a、b(a<b),斜边长为c.

(1)图中阴影部分的面积用两种方法可分别表示为_。2-2必_、—；

(2)你能得出的a,b,c之间的数量关系是—(等号两边需化为最简形式)；

(3)一直角三角形的两条直角边长为6和8,则其斜边长为—.

【知识迁移】

通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式.如图2是边长为a+b的

正方体，被如图所示的分割线分成8块.

(4)用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为一.(等号

两边需化为最简形式)

(5)已知a+6=3,ab=\,利用上面的规律求<?+/的值.

【分析】(1)求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；

(2)根据(1)的结果，即可得出答案；

(3)代入求出即可；

(4)求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；

(5)代入(4)中的等式求出即可.

【解答】解：(1)图中阴影部分的面积为c2-2ab或

故答案为：c2-2ab,(b-a)2；

(2)由(1)知：c2-2ab=(b-a)2,

即a2+h2=c2；

故答案为：a2+b2=c2；

(3),/a2+b2=c2,a=6,6=8,

/.c=10,

故答案为：10;

（4）图形的体积为（a+b）3或/+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2+b},

即（a+A）'=cP+3a1b+3ab2+b3,

故答案为：（。+»3=。3+3/b+3“。2+/；

（5）\'a+b=3>ab=l>（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2,-a'++3ab（a+b）

33=<73+Z?3+3x1x3,

解得：a3+h3=18.

【点评】本题考查了完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积

是解此题的关键.

一十.完全平方式（共4小题）

25.（2021春•镇江期中）9x?+fcty+丁是一个完全平方式，那么女的值为（）

A.3B.±3C.6D.±6

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出左的值.

【解答】解：•.•9/+3+丁是一个完全平方式，

，Z=±（2x3xl）,

k=±6.

故选：D.

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

26.（2021春•南京期中）多项式9x?+l加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个单

项式应为（）

A.6xB.-6xC.±3xD.±6x

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可.

【解答】解:多项式9/+1加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个单项式应为±6x,

故选：D.

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

27.（2020秋•番禺区期末）如果Y+2,nx+9是一个完全平方式，则机的值是（）

A.3B.±3C.6D.±6

【分析】根据完全平方公式是和的平方加减积的2倍，可得加的值.

【解答】解：•♦・d+2/nr+9是一个完全平方式，

/.2m=±6,

/./n=±3，

故选：B.

【点评】本题考查了完全平方公式，完全平方公式是两数的平方和加减积的2倍，注意符合

条件的，〃值有两个.

28.(2020春•江阴市期中)若多项式〃+%"+初2是完全平方式，则上的值为()

A.4B.±2C.±4D.±8

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果.

【解答】解：+是完全平方式，

/.kab==±4ah，

.•.左=±4,

故选：c.

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

一十一.平方差公式(共2小题)

29.(2020春•邵东市期末)下列各式中，不能够用平方差公式计算的是()

A.(y+2x)(2x-y)B.(-x-3y)(x+3y)

C.(2x2-y2)(2x2+/)D.(4a+b-c\4a-b-c)

【分析】运用平方差公式5+。)(。-份=/-。2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相

同项的平方减去相反项的平方.

【解答】解：5、两项都是相反项的项，不能运用平方差公式；

A、C、。中均存在相同和相反的项，

故选：B.

【点评】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键.

30.(2019秋•大同期末)已知则＞一A?—2〃的值为q.

【分析】首项将原式变形为(相+〃)(m-〃)-2〃，然后再代入计算即可.

【解答】解:,

trT—n~-27i

=(m+〃)(机—ri)—2n

=(m+ri)—2n

=m+n—2n

—m—n

=1.

故答案为：1.

【点评】本题主要考查的是平方差公式和求代数式的值.能够正确运用整体代入是解题的关

键.

一十二.平方差公式的几何背景（共3小题）

31.（2018秋•大同期末）如图1,在边长为。的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a>6）,

把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2）,利用这两幅图形面积，可

以验证的乘法公式是（）

A.(a-b)2=a2-2ab4-b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.a(a+b)=a2+abD.(a+b)(a-b)=a2-b2

【分析】图1中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积；图2中面积等于上底为

2b,下底为2a,高为（。-6）的梯形的面积，二者相等，据此可解.

【解答】解：图1阴影部分的面积等于。2—",

图2梯形的面积是g（2a+2b）（a一力=（a+b）（a-b）

根据两者阴影部分面积相等，可知（。+份（。-份=。2一从

比较各选项，只有。符合题意

故选：D.

【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，明确图中阴影部分的面积如何表示是解题的关

键.

32.（2019春•玉田县期末）从边长为〃的正方形中剪掉一个边长为匕的正方形（如图I）,然

后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.

（1）上述操作能验证的等式是_3_；（请选择正确的一个）

A.a2-2ab+h2=（a-h）2

B.a2-h2=（a+b）（a-b）

C.a2+ah=a（a+h）

（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：

【分析】（1）观察图1与图2,根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可；

（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即

可；②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果.

【解答】解：（1）根据图形得:a2-b2=（a+b）（a-b）,

上述操作能验证的等式是片-/=（a+%）（“-加，

故答案为：B-.

(2)①-4;/=(x+2y)(x-2y)=12,x+2y=4,

/.x—2,y=124-4=3；

=(T(i+;)a一扣+9…a一+)a++)

1324320182020

=—X—X—X—X—X...X-----------X------------

2233420192019

12020

-x----

22019

1010

2019

【点评】此题考查了平方差公式的几何背景以及因式分解法的运用，熟练掌握平方差公式的

结构特征是解本题的关键.

33.（2019春•南海区期末）（1）如图1,阴影部分的面积是（写成平方差的形

式）

（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是一•（写成多项式相乘

的积形式）

【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；

（2）根据矩形的面积公式，可得答案；

（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；

（4）根据平方差公式计算即可.

【解答】解：（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是a?-尸,

故答案为:a2—b2；

（2）根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a-b,

则其面积为（a+6）（。-6）,

故答案为：（a+b）（a-b）；

（3）由阴影部分面积相等知（a-b）（a+b）=a2-b2,

故答案为：（a-b）（a+b）=a2-b2；

（4）a一！川一fa一昇《一备）0一盛）

=（11+U（1+9.”一短）a+募）

132420172019

=—X—X—X—X...X-----------X------------

223320182018

12019

——―x_____

-22018

2019

4036

【点评】本题考查的是平方差公式的推导和运用，灵活运用平方差公式、掌握数形结合思想

是解题的关键.

一十三.整式的除法(共1小题)

34.(2015•秦淮区二模)计算2/一丁的结果是()

A.xB.2xC.x-1D.2x~l

【分析】根据单项式除以单项式，即可解答.

【解答】解：2犬+丁=2/，

故选：D.

【点评】本题考查了单项式除以单项式，解决本题的关键是熟记单项式除以单项式的法则.

一十四.整式的混合运算(共1小题)

35.(2021春•江宁区月考)(1)-22+(1r2-27°；

(2)X2-x6—(―2%4)"+5x"+%5

(3)(a-b)2-(b-a)5

(4)(2m-4n)(4/n+In).

【分析】(1)先算乘方，再算加减.

(2)先算乘方，再算乘积，最后算加减.

(3)先化同底，再计算.

(4)先算乘积，再算加减.

【解答】解：(1)原式=Y+4-1

=-1

(2)原式=f一4f+5公

=(1-4+5)/

(3)原式=-(4-6)2(4-6)，+[-(“-6)3]

={a-bY.

(4)原式=8,/+Amn-16mn-8/72

=8m2—12mn—8fi2.

【点评】本题考查实数和整式的混合计算，理清运算顺序是求解本题的关键.

一十五.整式的混合运算一化简求值(共2小题)

36.(2020•常州)先化简，再求值：(x+l)2-x(x+l),其中x=2.

【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求

出即可.

【解答】解：(x+l)2—x(x+l)