湘豫联考2021届高考数学联考试卷(理科)(3月份)(含答案解析)

湘豫联考2021届高考数学联考试卷（理科）（3月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设集合4={(x,>1)1y=-4x+6},B={(x,y)|y=5x-3],则AnB为

A.{1,2}B.[(1,2))

C.{x=1,y=2}D.(1,2)

2.设i是虚数单位，若焉为纯虚数,则实数研）

A.-2B-D.2

3.命题：若a>0,则a2>0的逆命题为（）

A.若a>0,则a2<0B.若a2>0,则a>0

C.若a<0,则a2>0D.若a<0,则a2>0

4.若偶函数区在区上是增函数，则下列关系式中成立的是（）

A.回B.0C.0D.0

5.如图，在直二面角4-BD-C中，△4BD、ACBD均是以8。为斜边

的等腰直角三角形，取A。中点E,将AABE沿BE翻折到AAiBE,

在AABE的翻折过程中，下列不可能成立的是（）

A.BC与平面&BE内某直线平行

B.CD〃平面48E

C.8c与平面4BE内某直线垂直

D.BClA^B

6.己知函数/(x)=(ax+By为偶函数，则向量落方可以是（）

A.a—(1,0),b—(—1,1)B.a=(-1,1)>b=(2,—2)

C.a—(1,1)>b-(2,—2)D.a=(1,-1),b—(0,—1)

x—y—1W0

7.x+2y+220时，z=x+y的最大值为()

Iy<0

A.-2.B.-1C.1D.2

8.周期为n•的函数y=cos（tox+（p）（a）>0,0<（p<乃）的部分图象如

图所示，则9=（）

c-

D.当

6

9.已知数轴上A,B两点的坐标分别为号则线段A8的长为()

A.0B.~|C.~D.g

10.设双曲线条一\=19>0为>0)的右焦点为尸，右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于

B,C两点，过B,C分别作AC,AB的垂线，两垂线交于点D,若。到直线BC的距离小于a+=笆,

则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()

A.(-1,0)U(0,1)B.(-c»,-l)u(1,+8)

C.(-V2,0)U(0,V2)D.(-co,-V2)U(V2,+oo)

11.已知正方体的体积是64,则其外接球的表面积是()

A.32V3TTB.1927TC.48兀D.无法确定

12.在曲线C上的动点P(a,a2+2a)与动点Q(b/2+26)(a<b<0)的切线互相垂直,则b-a最小

值为()

A.1B.2C.V2D.-V2

二、单空题(本大题共4小题，共20.()分)

13.经过点(0,0)的曲线丫=峭的切线方程为.

14.(2-修)(1一’5的展开式中的常数项为.

15.等比数列｛an｝中，ar+a2+a3=2,a4+a5+a6=4,则a］。++%2=.

16.有一抛物线形拱桥，中午假点时，拱顶离水面缘米，桥下的水面宽4米；下午香点，水位下降

了口米，桥下的水面宽米.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.在44BC中,角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足275absinC=a?+b?—c?.

⑴求C；

(2)若asinB=bcosA,且a=2,求/4BC的面积.

18.2018年俄罗斯世界杯是第21届世界杯足球赛，比赛于2018年6月14日至7月15日在俄罗斯

境内11座城市中的12座球场内进行.为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取200

名群众进行统计，得到如下2x2列联表:

男女合计

喜爱90150

不喜爱40

合计200

(1)将2x2列联表补充完整，并判断能否有99.9%的把握认为喜爱足球运动与性别有关？

(2)从上述150名喜爱足球运动的群众中，按性别用分层抽样的方式抽取10人，再从这10人中

随机抽取2人前往俄罗斯观看世界杯比赛.用X表示抽取2人中的女性人数，求X的分布列及

数学期望E(X).

参考公式和数据：K2=…图晨)…)，其中n=a+b+c+心

P(K2>k0)0.050.0100.001

k。3.8416.63510.828

19.如图，在四棱锥「一A8C。中，底面为平行四边形，点P在面ABC。内的射影为A,PA=

48=1,点A到平面P8C的距离为争且直线AC与P8垂直.

(1)在棱夕。上找一点已使直线PB与平面ACE平行，并说明理由;

(II)在(/)的条件下，求二面角B-4C-E的大小.

B

20.已知椭圆C：谷+卷=1(Q>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点(遮3)

a”O'n

(I)求椭圆C的方程

(H)若在椭圆上有相异的两点A,8(4,0,3三点不共线)，0为坐标原点，且直线A3,直线0A,直

线0B的斜率满足居B=5■喻海8>0)

(i)求证：|。*2+QB|2是定值

(ii)设AAOB的面积为5,当S取得最大值时，求直线AB的方程

21.已知函数/1(%)=e*+ax+a,其中aeR,e为自然对数的底数.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a<。时,对于Vx<R,都有,。)。0成立.

①求。的取值范围；

②证明：1+1+1+…+；>ln(n+l)(nGN*).

22.已知曲线C的参数方程为｛；;彳°s°(。为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极

轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为ps出=4.

(I)写出曲线C的极坐标方程和直线/的直角坐标方程；

(II)若射线。=T与曲线C交于。，A两点，与直线/交于8点，射线。=乎与曲线C交于。，P两

36

点，求△P48的面积.

23.已知关于x的不等式％2+mx-12<0的解集为(一6,九).

(1)求实数W，〃的值；

(2)正实数a,b满足几a+2mb=2.

①求；+"的最小值；

②若2。+16〃-120恒成立，求实数，的取值范围.

【答案与解析】

1.答案：B

7=-4x+6

解析：解：由题意得，二4nB=<(x,y)卜>={(1,2)}，故答案选：B.

y=5x-3

2.答案：C

解析：

本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.

2-i_(2-i)(a-i)_2a-l器i为纯虚数,

*a+i(a+i)(a-i)a2+l

2。-1_a+2

——=n0,-------W0，

a2+ia2+l

解得a=

故选：C.

3.答案：B

解析：解：命题：若a>0,则a?>0的逆命题为若a?>0,则a>0,

故选：B

根据四种命题的之间的关系即可判断

本题考查了四种命题的之间的关系，属于基础题

4.答案：D

解析：试题分析：0为偶函数，则回，得冈，又叵］在叵］上是增函数，且国，所以区，

选D.

考点：函数单调性与奇偶性.

5.答案：D

解析：

【试题解析】

本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题.

连结CE,当平面4BE与平面BCE重合时，BCu平面&BE,平面4BE内必存在与BC平行和垂直

的直线，故A,C可能成立；构造平面8EF,当平面4BE与平面BEF重合时，CD〃平面4BE,故

8可能成立；使用假设法判断D

解：连结CE,当平面4BE与平面8CE重合时，BCu平面&BE,

.•・平面&BE内必存在与8c平行和垂直的直线，故A,C可能成立：

在平面BCD内过B作CD的平行线BF,使得BF=CD,

连结EF,则当平面&BE与平面BEF重合时，89匚平面48〃，

故平面4BE内存在与8尸平行的直线，即平面4BE内存在与CD平行的直线，

CD〃平面4BE,故B可能成立；

若又&B141E,则为直线&E和BC的公垂线，

ArB<CE,

设=1,则经计算可得CE=在，

2

与力iB<CE矛盾，故。不可能成立.

故选。.

6.答案：C

解析：解：因为函数7（乃=0尢+方）2=五2/+片+2五.会为偶函数，所以2五4=0；

观察各选项可得C满足；

故选C.

由已知函数为偶函数得到向量落石的数量积为0,由此选择.

本题考查了函数的奇偶性以及平面向量的数量积；关键是由已知函数为偶函数得到两个向量的数量

积为0.

7.答案：C

x—y—140

解析：解：先根据实数X,y满足条件x+2y+22o画出可

y<0

行域，

瞰二;一1=0得巩处

然后平移直线0=x+y，

当直线z=x+y过点8(1,0)时，z最大值为1.

故选：C.

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过点8(1,0)时，z最大

值即可.

本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.

8.答案：C

解析：解：根据函数、=COS(3X+w)(3>0,0<9<兀)的部分图象，可得4=1.

再根据它的周期为兀=/，二3=2.

0)

再根据五点法作图，可得2X?+0=*.•.9=?

OLO

故选：C.

由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出3,由五点法作图求出S的值，可得函数的解析式.

本题主要考查由函数y=4sin(3x+")的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A,由

周期求出3,由五点法作图求出9的值，属于基础题.

9.答案：C

解析：解：根据题意，数轴上A,8两点的坐标分别为3

则AB=,_(_/=!，

故选：C.

根据题意，由数轴表示点的方法分析可得答案.

本题考查数轴表示点的方法，注意数轴上点的坐标的含义，属于基础题.

10.答案：4

解析：解：由题意，力(a,0),B(c,?),C(C,-9),由双曲线的对称性知。在x轴上,

b2b2

设。(居0),则由BD14B得工.工=_「

c-xc-a

d4

J，0一”=a2(a-c)'

•••。到直线BC的距离小于a+Va2+b2,

c-x=I—----1<a+Va24-h2,

1a2(a-c)1

・•・c2-a2=b2f

a2

.•.04<1，

•••双曲线的渐近线斜率的取值范围是(一1,0)U(0,1).

故选：A.

由双曲线的对称性知。在X轴上，设n(x,0),则由8。1AB得些.2_=求出C—X,利用。

c-xc-a

到直线BC的距离小于a+到2+炉,即可得出结论.

本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定。到直线8c的距离是关键.

11.答案：C

解析：解：•••正方体的体积是64,

•♦.正方体的边长为4,

・••正方体的外接球的半径R=26，

二正方体的外接球的表面积S=4兀R2=48兀，

故选：C.

由正方体的体积是64,能求出正方体的边长为4,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线，由

此能求出正方体的外接球的表面积.

本题考查正方体的外接球的表面积的求法，解题的关键是明确正方体的外接球的直径是正方体的体

对角线.

12.答案：A

解析：解：由题意可得曲线y=/+2%上存在两点处的切线互相垂直，

由y=x2+2x的导数为y'=2x+2,

可得(2a+2)(2b+2)=-1,

由a+l<b+l,可得a+l<0,

且b=b—a=—Y~-+(—a—1)>21(—a—1)-~-=2X-=1,

-4(a+l)-4(a+l)、,'-4(a+l)2

当且仅当4^=(-a-l),解得a=-|,可得"a的最小值为1.

故选：A.

由题意可得曲线y=X2+2%上存在两点处的切线互相垂直，求出函数y=/+2%的导数，结合两直

线垂直的条件：斜率之积为一1,可得6-。=不篇+(一。-1),(a+1<0),运用基本不等式即

可得到所求最小值.

本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查基本不等式的运用：求最值，化简整理的运算能力，属

于中档题.

13.答案：y=ex

解析：解：设切点为(m,n),

曲线y=e”的导数为1(x)=ex,

则切线的斜率为k=*可得二解得m=l,切点坐标(l,e),

切线方程为y=ex,

故答案为：y=ex.

求出导数，设切点为(m,n),求得切线的斜率和切线方程，代入原点，解得?n=l,即可得到切线方

程.

本题考查导数的运用：求切线方程的求法，考查计算能力.

14.答案：一8

解析：解：(2-％2)(1一》5的展开式中的常数项为2成一盘.(-1)2=-8,

故答案为：-8.

直接利用二项式求得结果即可.

本题主要考查二项式定理在求二项展开式中的常数项中的应用，属于基础题.

15.答案：16

解析：解：丫等比数列｛/｝中的+a2+=2,a4+a5+a6=4,

6

•••aio+«n+%2=(«4++a6)q=16

故答案为：16

由题意和整体思想可得q3=2,代入的0++a12=(。4++a6)q6,计算可得.

本题考查等比数列的通项公式，属基础题.

16.答案：窗乖

解析：试题分析：以拱顶作为坐标原点建立直角坐标系，由题意可知抛物线过点£均司设抛物线为

,第*=：%箍代入点得段渺=；T淤令第=：T得第=土感|所以水面宽暨收

考点：抛物线的实际应用

点评：从实际问题中抽象出抛物线模型求解

.答案：解：(1)因为2百absinC=a?+/j2—©2,即=百sinC,

17。2ab

由余弦定理得，a2+b2~c2=cosC,

2ab

所以75sbic=cosCf^PtanC=冬

又因为0<CV7T,所以

(2)因为asinB=bcosA,由正弦定理得sinHsinB=sinBcosA,

因为sinB>0,

所以sinA=cosA,即tanZ=1,

又因为0<A<兀，

所以4=%

4

2C

由正弦定理可得初=/声解得c=或，

46

所以SMBC=|acsinB=|x2x或sinQl+C)=V2sin(^+/)=号

解析：(1)根据余弦定理即可得到tcmC=¥，即可求出C,

(2)根据正弦定理可得A=会解得c=近，再根据三角形的面积公式计算即可

此题考查了正余弦弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正余弦定理是

解本题的关键.

18.答案：解：(1)由题意完成2x2列联表：

男女合计

喜爱9060150

不喜爱104050

合计100100200

由2x2列联表得:

K2=Mad-bcQ=200X(90X40-10X60)2=24>1°828

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-150x50x100x100-''

•••能有99.9%的把握认为喜爱足球运动与性别有关.

(2)从上述150名喜爱足球运动的群众中，按性别用分层抽样的方式抽取10人，

则抽取男性：10x名=6人，抽取女性：10*黑=42,

150150

再从这10人中随机抽取2人前往俄罗斯观看世界杯比赛.用X表示抽取2人中的女性人数,

则X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=景号，

P(x=i)=管建，

•••X的分布列为:

X012

182

p

31515

数学期望E(X)=0xi+lx^+2x^=i

解析：⑴由题意完成2x2列联表，由2x2列联表得代=24>10.828,由此能有99.9%的把握认为

喜爱足球运动与性别有关.

(2)从上述150名喜爱足球运动的群众中，按性别用分层抽样的方式抽取10人，则抽取男性6人，

抽取女性42人，再从这10人中随机抽取2人前往俄罗斯观看世界杯比赛.用X表示抽取2人中的

女性人数，则X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E(X).

本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查余弦定理等基础

知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

19.答案：解：(I)点E为中点时，直线PB与平面ACE平行.

证明：连结BD,交AC于点O,则点。为8。的中点，

•.•点E为PQ中点，:0E是△PDB的中位线，贝UOE〃PB,

•••OEu平面ACE,PB仁平面ACE,

•••PB与平面4CE平行.

(11)根据题意1「8,P41底面ABC。，ACcJKfflABCD,

则有AC_LPA,PAC\PB=P,•••ACPAB,设AC=x,

Vp-ACB=VA-PBC=|X|XXX1X1=|X|XA/2XJX2+|X^,

解得力C=1,

由(I)知OE〃PB,AC1PB,OELAC,

AC，平面PAB,ABu平面PAB,：.ABS.AC,

如图，二面角为钝角，则OE,AB所成角为二面角B-AC-E的补角，

OE//PB,.-.OE,AB所成角为W，

二面角B-AC-E的大小为

4

解析：(1)点后为2力中点时，连结BD,交4c于点O,则点。为8。的中点，从而。E〃PB,由此

能证明PB与平面ACE平行.

(11)根据题意_1PB,PA1底面ABCD,从而4c1PA,进而ACL平面PAB,由“_村8=匕-PBC，解

得AC=1,由。E〃PB,AC1PB,得0EJ.4C,从而4B14C,由此能求出二面角B-AC—E的大

小.

本题考查面面平行的判断与证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.答案：解：(I)由题意可得a=2b,可设椭圆方程为亮+《=1,

过点(次,》，可得亲+奈=1，

解得b=1,a=2,

则椭圆方程为9+y2=i；

(n)(i)证明：设直线A&y=fcx+m,(k>0),4(%力乃),耿如为)，

^AB=k0A,koB*AB>。)

即卜2—力及_(m+k%i)(7九十依2)=々2+•(无1+小)+疗

xxxx

XtX2Xtx2l2l2

即为kmQi+%2)+=o,

又4,O,8三点不共线，可得mH0,则/c(%i+g)+7n=。，①

将y=依+m代入椭圆式2+4y2=4,可得(1+4/c2)%2+8kmx+4(m2-1)=0,

则%】+犯=-器，②

且4=64k27n2-16(1+4/c2)(m2—1)>0,

化为1+4/-m2>0,③

将②代入①可得，k(一照)+m=0,(fc>0),解得

则％i+外=—2m,=2(m2—1),(4)

即有|04/+\0B\2=*+资+妊+秃=：(资+%2)+mQi+%2)+2m2

2

=+—1%1^2=5m—57n2+5=5；

(”)点0到直线AB的距离d=益，

11/------/------------------\m\

S=5\AB\,d=+：,/(%1+%2)2—4—--==

乙乙VI+k2

1__________________________

=-\m\•yj(—2m)2—8(m2—1)=\m\•y2—m2

,m2+2-m2-

当且仅当巾2=2—巾2,即加=±1,S取得最大值，

此时直线AB的方程为y=^x±l.

解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用代入法和方程思想，考查直线方程和椭圆方程联立，运

用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式、基本不等式，考查化简整

理的运算能力，属于难题.

(1)由题意可得。=2匕，代入点的坐标，解方程即可得到所求椭圆方程；

(口)(。设直线AB：y=kx+m,(fc>0),A(X1,yi),B(x2,y2),代入椭圆方程，运用判别式大于0,

以及韦达定理，由条件解得上再由两点的距离公式，化简可得定值；

(ii)运用三角形的面积公式和点到直线的距离公式、弦长公式和基本不等式，计算即可得到所求最大

值和此时，"的值、直线AB的方程.

21.答案：解：(1)/。)=靖+。.

a20时，f'(x)>0,函数f(x)在R上单调递增.

Q<0时，令e*+Q=0,解得％=ln(—Q).

则函数/(%)在(一8,In(-a))单调递减，在(In(-a),-8)单调递增.

(2)①由(1)可得:a<0时,％=ln(-a)取得最小值,f(In(-a))=-a+aZn(-a)+a=aln(-a)>0,

BPln(-a)<0,解得0<—aW1,解得一1<a<0.

**•Q6[—1,0).

②令g(x)=x-ln(x+1),xe(0,1).

则g(%)在％6(0,1)单调递增，.•・gQ)>g(0)=0.

:.x>ln(x4-1),xG(0,1)恒成立.

令％=

n

1.1

・•,->ln(l+-)=ln(n+1)—Inn.

Ill

:.1+2+§+…4—>》2-Znl+Zn3—ITL2+…...+ln(n+1)—ITLTL=ln(n+1)(九EN*).

111

A1+-+-+•••4-->ln(n+l)(nGN*).

23n

解析：(l)f(x)=