2023-2024学年湘教版必修第二册 4-3-2空间中直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行的判定 学案

第1课时直线与平面平行的判定教材要点要点一空间中直线与平面的位置关系位置关系图形写法公共点情况直线在平面内____________直线上所有的点都是公共点直线和平面相交____________有且只有一个公共点直线和平面平行____________没有公共点状元随笔直线与平面位置关系的分类(1)按有无公共点分类直线和平面平行(2)按是否在平面内进行分类直线在平面内要点二直线与平面平行的判定定理文字语言如果________一条直线与此________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行图形语言符号语言________________状元随笔(1)直线与平面平行的判定定理，主要作用是可以证明直线与平面平行．(2)应用直线与平面平行的判定定理，必须具备三个条件：①直线a在平面外，即a⊄α.②直线b在平面内，即b⊂α.③两直线a，b平行，即a∥b.(3)线面平行的判定定理，可简记为“线线平行，则线面平行”．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.()(2)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．()(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．()(4)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.()2．下列结论正确的是()A．过直线外一点，与该直线平行的平面只有一个B．过直线外一点，与该直线平行的直线有无数条C．过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条D．过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行3．如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′的六个面所在的平面中，与AB平行的平面是________．题型1直线与平面位置关系的判定例1下列条件为直线a与平面α平行的充分条件的是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b方法归纳1．平行问题是以无公共点为主要特征的，直线和平面平行即直线与平面没有任何公共点，紧紧抓住这一点，平行的问题就可以顺利解决．2．解决此类题目，可以采用直接法，也可以使用排除法．跟踪训练1(多选)下列结论正确的是()A．直线a∥平面α，直线b⊂α，则a∥bB．若a⊂α，b⊄α，则a，b无公共点C．若a⊄α，则a∥α或a与α相交D．若a∩α＝A，则a⊄题型2直线与平面平行的判定定理的应用角度1中位线模型例2如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.方法归纳“要证线面平行，先证线线平行”，三角形的中位线，梯形的中位线是证明线线平行的主要工具．当条件中出现“中点”字样的条件时，要想到中位线，如中点不够，往往需要再“找”或“作”中点，即“由中点想中位线，取中点连中位线”．角度2平行四边形模型例3如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.方法归纳使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，一般遵循“先找后作”的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线时，我们再考虑添加辅助线．跟踪训练2(1)如图所示，四棱锥P­ABCD的底面是边长为1的正方形，E为PC的中点，PF＝2FD，求证：BE∥平面AFC.(2)已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ，如图所示．求证：PQ∥平面CBE.易错辨析判断直线与平面平行时忽略直线在平面内的情形致误例4已知M是两条异面直线a，b外一点，则过点M且与直线a，b都平行的平面()A．有且只有一个B．有两个C．没有或只有一个D．有无数个解析：过点M作直线a′∥a，过点M作直线b′∥b，则直线a′，b′确定平面α.当a，b都不在由a′，b′确定的平面α内时，过点M且与a，b都平行的平面只有一个；当a⊂α或b⊂α时，过点M且与a，b都平行的平面不存在．答案：C易错警示易错原因纠错心得解题时易忽略a⊂α或b⊂α的情况，从而错选A.直线与平面的位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与不在平面内(包括直线与平面平行和相交)；另一种分法是直线与平面平行(无公共点)和直线与平面不平行(直线在平面内和直线与平面相交)．课堂十分钟1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行2．圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．不确定3．点M，N是正方体ABCD­A1B1C1D1中A1A，A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是()A．平行B．相交C．MN⊂平面PCB1D．以上三种情况都有可能4．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．5．在四面体A­BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.第1课时直线与平面平行的判定新知初探·课前预习要点一a⊂αa∩α＝Aa∥要点二平面外平面内若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条，只要直线与平面无公共点，就是直线与平面平行．答案：C3．解析：由于AB∥A′B′，AB⊄平面A′B′C′D′，A′B′⊂平面A′B′C′D′，所以AB∥平面A′B′C′D′，同理证得AB∥平面DCC′D′.答案：平面A′B′C′D′，平面DCC′D′题型探究·课堂解透例1解析：若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α，故选项A不是．若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α，故选项B不是．若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交，故选项C不是．选项D是直线与平面平行的充分条件．答案：D跟踪训练1解析：结合直线与平面位置关系可知AB错误，CD正确．答案：CD例2证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又因为D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.例3证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.∵OF綊12B1C1，BE綊12B1C1，∴OF綊∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO.∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.跟踪训练2证明：(1)如图，连接BD，交AC于点O，取PF的中点G，连接EG，ED，ED交CF于点M，连接MO.在△PCF中，E，G分别为PC，PF的中点，则EG∥FC.在△EDG中，MF∥EG，且F为DG的中点，则M为ED的中点．在△BED中，O，M分别为BD，ED的中点，则BE∥MO.又因为MO⊂平面AFC，BE⊄平面AFC，所以BE∥平面AFC.(2)作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图所示，即PM∥QN，PMAB＝EPEA，∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ，又因为AB＝CD，∴PM綊QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN，又因为PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.[课堂十分钟]1．解析：选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．答案：C2．解析：圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．答案：A3.解析：平面PCB1即平面B1AC，∵MN∥AB1，MN⊄平面B1AC，AB1⊂平面B1AC，∴MN∥平面ACB1，即MN∥平面PCB1.答案：A4．解析：如图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为