概率论与数理统计之21

概率论与数理统计之21汇报人：AA2024-01-20目录contents概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量数字特征大数定律与中心极限定理数理统计基本概念和方法01概率论基本概念样本空间与事件事件必然事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合。包含样本空间中所有样本点的事件。样本空间基本事件不可能事件所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。只包含一个样本点的事件。不包含任何样本点的事件。概率定义在相同条件下，对某事件A进行n次试验，如果事件A发生了m次（m≤n），则比值m/n称为事件A发生的频率。当试验次数n逐渐增大时，频率m/n逐渐稳定于某个常数p，则称p为事件A发生的概率。对于任何事件A，有P(A)≥0。对于必然事件S，有P(S)=1。对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。非负性规范性可加性概率定义及性质条件概率在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。条件概率的计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和B同时发生的概率。事件的独立性如果事件A的发生与否对事件B的发生概率没有影响，即P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。条件概率与独立性如果事件B1，B2，…，Bn构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任一事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)，其中i=1,2,…,n。全概率公式提供了一种计算复杂事件概率的方法。全概率公式在已知某些条件下，某一事件的发生概率的基础上，进一步得到另外一些条件下该事件发生的概率。贝叶斯公式为P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)，其中i,j=1,2,…,n。贝叶斯公式在统计学、机器学习等领域有着广泛的应用。贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式02随机变量及其分布随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量的取值是有限个或可列个，而连续型随机变量的取值则充满某个区间。随机变量定义及分类分类定义分布律定义离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个值的概率。对于离散型随机变量X，其分布律可以用概率函数P(X=x)来表示，其中x为随机变量X的所有可能取值。常见离散型随机变量分布二项分布、泊松分布、几何分布等。离散型随机变量分布律连续型随机变量概率密度函数连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数，它描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布情况。对于连续型随机变量X，其概率密度函数记为f(x)，满足P(a<X≤b)=∫abf(x)dx。概率密度函数定义正态分布、均匀分布、指数分布等。常见连续型随机变量分布VS设X是一个随机变量，g(x)是一个实函数，则Y=g(X)也是一个随机变量，称为X的函数。随机变量函数的分布求法对于离散型随机变量，可以通过列举法或母函数法求得其函数的分布；对于连续型随机变量，可以通过概率密度函数的变换法求得其函数的分布。随机变量函数的定义随机变量函数分布03多维随机变量及其分布二维随机变量联合分布律/密度函数联合分布律对于离散型二维随机变量，联合分布律描述了每一个可能取值的概率，常用二维表格表示，表格中每个元素表示对应取值的概率。联合密度函数对于连续型二维随机变量，联合密度函数描述了随机变量取值的概率分布情况，是一个二元函数，其值非负且积分为1。对于离散型二维随机变量，边缘分布律是指其中一个随机变量取某个值时，另一个随机变量取所有可能值的概率之和。可以通过对联合分布律的表格进行行或列求和得到。对于连续型二维随机变量，边缘密度函数是指其中一个随机变量在某个区间内取值时，另一个随机变量取所有可能值的概率之和。可以通过对联合密度函数进行积分得到。边缘分布律边缘密度函数边缘分布律/密度函数条件分布律对于离散型二维随机变量，条件分布律是指在已知其中一个随机变量取某个值的条件下，另一个随机变量的分布律。可以通过联合分布律和边缘分布律计算得到。条件密度函数对于连续型二维随机变量，条件密度函数是指在已知其中一个随机变量在某个区间内取值的条件下，另一个随机变量的密度函数。可以通过联合密度函数和边缘密度函数计算得到。条件分布律/密度函数定义如果两个随机变量的联合分布律（或联合密度函数）可以表示为各自分布律（或密度函数）的乘积，则称这两个随机变量是相互独立的。要点一要点二性质相互独立的随机变量具有一些重要的性质，如一个随机变量的取值不会影响另一个随机变量的取值概率；相互独立的随机变量的期望、方差等数字特征可以分别计算等。这些性质在概率论与数理统计中具有重要的应用价值。相互独立随机变量04随机变量数字特征性质常数的数学期望等于该常数本身。两个独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积。随机变量线性变换的数学期望等于该随机变量数学期望的线性变换。定义：数学期望是随机变量取值的平均值，反映了随机变量取值的“中心位置”。数学期望定义及性质两个独立随机变量之和的方差等于它们方差的和。随机变量线性变换的方差等于该随机变量方差的线性变换的平方。常数的方差为零。定义：方差是随机变量取值与其数学期望之差的平方的平均值，反映了随机变量取值的离散程度。性质方差定义及性质协方差协方差是衡量两个随机变量变化趋势的统计量，如果两个随机变量同时向相反方向变化（即一个增加，另一个减少），则它们的协方差为负值；如果两个随机变量同时向相同方向变化（即两者都增加或两者都减少），则它们的协方差为正值；如果两个随机变量相互独立，则它们的协方差为零。相关系数相关系数是协方差的标准化形式，用于消除量纲影响并更直观地反映两个随机变量之间的线性相关程度。相关系数的取值范围为[-1,1]，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示不相关。协方差和相关系数矩是描述随机变量分布形态的统计量，包括原点矩和中心矩。原点矩是随机变量取值的k次方与其概率的乘积之和，而中心矩则是随机变量取值与其数学期望之差的k次方与其概率的乘积之和。矩对于多维随机变量，协方差矩阵是一个方阵，其元素为各维度随机变量之间的协方差。协方差矩阵描述了多维随机变量各维度之间的线性相关关系。协方差矩阵矩和协方差矩阵05大数定律与中心极限定理大数定律的内容大数定律是概率论中的基本定理之一，它表明当试验次数足够多时，随机事件的频率将趋近于该事件的概率。也就是说，在大量重复的独立试验中，某一事件发生的相对频率会稳定在其真实概率附近。大数定律的意义大数定律揭示了随机现象在大量重复试验下的稳定性，为概率论提供了坚实的理论基础。它使得我们可以根据历史数据来预测未来事件发生的可能性，为决策提供了科学依据。大数定律内容及意义中心极限定理是概率论中的另一个重要定理，它指出当大量独立、同分布的随机变量之和进行标准化处理后，其分布将趋近于标准正态分布。也就是说，不论原始随机变量的分布如何，其和的分布都将呈现出钟形曲线的形状。中心极限定理的内容中心极限定理揭示了随机变量和的分布规律，为统计学中的参数估计和假设检验提供了理论支持。它使得我们可以利用正态分布的性质来近似处理复杂随机变量的分布问题，简化了分析和计算的难度。中心极限定理的意义中心极限定理内容及意义依概率收敛设随机变量序列{Xn}和随机变量X分布在同一概率空间上，如果对于任意正数ε，都有lim(n→∞)P(|Xn-X|≥ε)=0成立，则称{Xn}依概率收敛于X。这意味着随着n的增大，Xn与X的偏差超过任意给定正数的可能性越来越小。依分布收敛设随机变量序列{Xn}和随机变量X的分布函数分别为Fn(x)和F(x)，如果对于F(x)的每一个连续点x，都有lim(n→∞)Fn(x)=F(x)成立，则称{Xn}依分布收敛于X。这意味着随着n的增大，Xn的分布函数逐渐接近X的分布函数。依概率收敛和依分布收敛06数理统计基本概念和方法总体研究对象的全体个体组成的集合，具有共同的性质和特征。样本从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。总体与样本的关系样本是总体的一个子集，通过样本可以推断总体的性质。总体和样本概念及关系统计量定义由样本数据计算得到的用于描述样本特征的量，不依赖于任何未知参数。描述统计量用于描述样本数据的基本特征，如均值、方差、标准差等。推断统计量用于推断总体参数的统计量，如样本均值、样本比例等。检验统计量用于假设检验的统计量，如t统计量、F统计量等。统计量定义及常见类型抽样分布定理及应用举例当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布，且样本均值的期望值等于总体均值，样本均值的方差等于总体方差除以样本量。抽样分布定理在质量控制中，可以通过抽样检验来判断产品是否合格。例如，从一批产品中随机抽取若干个样品进行检验，如果样品中有不合格品，则可以认为这批产品不合格。此