2024年九省联考数学试卷分析与评价

2024年九省联考数学试卷评价一、整体分析：2024年新疆和贵州省的考生即将首次参加“新高考”，因此这次联考（后文称“九省联考”）扩大到九省，分别是黑龙江、吉林、安徽、江西、甘肃、河南、新疆、广西和贵州．随着备受关注的九省联考数学落下帷幕，我们发现数学试题发生巨大变化，题型、题量、分值、难易度等相比往年均有调整．其中单项选择题数量不变，还是8个小题，多项选择题、填空题和解答题各减少1个小题，多项选择题和填空题分别由4个小题减少到3个小题，解答题由6个小题减少到5个小题，试题总数从22个变成了19个，减少了13．6%．相应的分值也发生了变化：多选题（18分），填空题（15分），解答题（77分）．考生的作答时间随之变得更加充分．这种变化值得我们关注！九省联考试题类型分布表题型题号分值备注单选1—840分每题5分多选9—1118分每题6分填空12—1415分每题7分大题1513分导数1615分概率统计1715分立体几何1817分解析几何1917分新定义新情境考题的顺序安排也打破常规，有所变化．2024年九省联考数学试卷结构特点是灵活、科学地确定试题的内容、顺序和难度．与以往试题相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整，以往压轴的函数与导数试题安排在解答题的第1题，即第15题位置，难度大幅度降低，为容易题，估计绝大多数考生能得满分；概率与统计试题（第16题）也降低了难度，为常规题，中等偏易，计算量也不大；19题为压轴题，安排了新情境试题（背景为密码学理论中的盖莫尔加密体制，后文详细说明）．这些变化对于打破学生机械应试的套路模式，对促使学生全面掌握主干知识、提升基本能力具有积极的导向作用．1．基础题第1，2，3，4，5，9，10，12，13，15，16，17题，共90分，考查的是课程标准所要求必会知识，试题出的都比较简洁，读题不困难，计算也不困难．2．中档题6，7，11题，共16分，读题不困难，有的题需要多思考，在进行解决问题，没有什么亮点题，中规中矩．3．困难题及极难题第8，14，18，19题为压轴题，共44分，分别涉及解析几何（双曲线、抛物线）、条件最值问题和新定义新情境问题．总之，2024年九省联考数学试卷通过改变题目的设计思路与风格，力图有效地遏制猜题押题、题海战术的蔓延．基础题只要掌握基础知识、基本原理，就能解决，无需刷题．创新题新颖、灵活、不落俗套，脱离一般的解题套路．试卷打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式、多角度的提问，考查学生的数学能力，而不仅是学生刷题和训练的技巧，引导基础教育扎实实施素质教育．二、试卷变化对比：1．考点和题型变化对比2020新高考I卷2021新高考I卷2022新高考I卷2023新高考I卷2024届九省联考题号知识点题号知识点题号知识点题号知识点题号知识点1集合并集计算1交集的概念及运算1交集运算1集合的四则运算、共轭复数的概念1中位数的计算2复数除法2复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算2共轭复数、复数的计算2复数的四则运算2椭圆的离心率3排列组合3圆锥中截面的有关计算3三点共线的向量问题3向量垂直的充要条件3等差数列的性质、等差数列前n项和公式4数学文化，球计算4求sinx型三角函数的单调性4棱台体积公式4复合函数的单调性4空间平行于垂直的判断5积事件的概率公式5基本不等式求积的最大值；椭圆定义及辨析5古典概型5椭圆的离心率5有限制条件的排列组合计算6指数型函数模型6正、余弦齐次式的计算；二倍角的正弦公式；给值求值型问题6三角函数图象及其性质6直线和圆的位置关系6动点轨迹、点到直线距离公式7平面向量数量积7求过一点的切线方程；利用导数研究函数图象及性质7函数与导数，构造函数比较大小7充分条件与必要条件、等差数列7三角恒等变换，二倍角公式、弦化切8函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式8独立事件的判断8几何体的外接球8三角恒等变换（两角和差，二倍角）8双曲线几何性质、双曲线离心率9曲线方程9众数、平均数、中位数、极差、方差、标准差9线线垂直、线面垂直9样本的数字特征（平均数、中位数、标准差、极差）9三角函数辅助角公式、三角函数图像及其性质10正弦型三角函数图形10逆用和、差角的余弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；数量积的坐标表示；坐标计算向量的模10函数与导数，零点、对称中心10在新定义情境下考察理解能力，对数的运算10复数的运算、共轭复数、复数模的运算性质11不等式、指数函数11切线长；直线与圆的位置关系求距离的最值11抛物线的定义、标准方程及其几何性质11抽象函数为载体，考察奇偶性，赋值法，极值的概念11抽象函数的奇偶性、单调性12新定义的理解和运用12求空间向量的数量积；立体几何中的轨迹问题12函数与导数、函数奇偶性、抽象函数12球的体积，四面体体积，圆柱体积公式12集合的交集运算、子集运算性质13抛物线焦点弦长13根据函数的单调性求参数值13二项式系数13分类加法原理13（双空题）圆锥及球的表面积、体积公式14等差数列的公共项14根据抛物线方程求焦点或准线；根据抛物线上的点求标准方程14圆和圆的位置关系、两圆的公切线14正四棱台的体积公式14新定义，条件最值问题15三角函数应用15由导数求函数的最值（不含参）15导数的几何意义15含参三角函数的零点问题15（解答题，13分）导数的几何意义、导数与函数的单调性、极值16直棱柱的结构特征16错位相减法求和；数与式中的归纳推理16椭圆的定义、弦长问题16双曲线离心率16（解答题，15分）古典概型概率的计算、离散型随机变量分布列及数学期望17三角函数组合条件17由递推数列研究数列的有关性质；利用定义求等差数列通项公式；求等差数列前n项和17由递推公式求通项公式、裂项求和、放缩问题17正弦定理、三角形面积公式17（解答题，15分）线面垂直的证明、二面角的计算18等比数列18写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值18三角函数倍角公式、对称中心、三角函数最值18线线平行证明、二面角的计算18（解答题，17分）直线与抛物线位置关系、抛物线中定点问题及最值的解法19古典概型、列联表、独立性检验19正弦定理边角互化的应用；几何图形中的计算19立体几何点面距、二面角19导数与函数的单调性、利用导数证明不等式19（解答题，17分）新情境问题，离散对数，对数式与指数式互化20线面角的计算20锥体体积的有关计算；线面垂直证明线线垂直；面面垂直证线面垂直；由二面角大小求线段长度或距离20独立性检验、条件概率、数学建模20等差数列的通项公式、前n项和公式21导数、不等式恒成立21求双曲线的轨迹方程；双曲线中的定值问题21双曲线标准方程及其几何性质、双斜率问题、弦长问题、三角形面积21以马尔科夫链为背景，考察全概率公式，概率乘法公式，数学期望的计算；递推数列；等比数列求和22椭圆定点、定值问题22利用导数求函数的单调区间（不含参）；利用导数证明不等式；导数中的极值偏移问题22利用导数求参变量、利用导数研究函数的零点、同构问题22抛物线方程及其几何性质、直线与抛物线位置关系、抛物线中最值问题（周长不等式）的证明2．考点分布的变化2024九省联考数学试卷依据《普通高中数学课程标准（2020年修订版）》考点进行规划，没有考查映射、线性规划、几何概型、算法框图、定积分等内容，其他考点继承了以前高考的特点，重点考查主干知识、注重试题的基础性、综合性、应用性与创新性．3．情境及背景新颖创新探索情境设置，考查学习潜能．选取未见于（或部分见于）学生已有学习经历的新知识或新方法，为情境型材料，创设学习关联或拓展迁移试题情境，命制情境化试题．情境可能是考生未见过的，提出的问题是新颖的，解决问题必备知识是高考所要求掌握的，思想方法是高中数学重要而典型的．情境题难在情景背后的数学化，要求学生多角度理解、开放地思考问题，并创造性地运用所学知识去解决新问题，如第14，16，18，19等题．第14题讨论的一类最大最小问题在实际应用中具有普遍性，题目中的条件或来自于实际问题．如果单纯从数学的角度，在上面两个条件中任取其一，已经可以构成一个完整的数学问题．这个题目虽然没有直接指明应用的背景，但实际上体现了试题的应用性．第16题考查概率，情境设置较为新颖，相比常见概率试题有所创新，打破传统数学题目具有接受性、封闭性和确定性等特征，更加倡导“问题解决”这一数学教学模式，凸显了核心素养下对数学知识的综合考查．第18，19题更加注重综合性、应用性、创新性，这两个题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入．两个题有各自特点，不适用以传统“压轴题”的想法看待其中某一个题．第18题以抛物线为基本情境，第（1）问的考查内容属于解析几何中的通性通法，第（2）问如果仍使用解析几何的常规方法，将导致非常复杂的计算，可行的解法需要将所求三角形的面积转换为一个适合计算的四边形面积，然后由基本不等式得到解答．这个解法的关键步骤虽然属于初中数学学过的平面几何知识内容，但对学科核心素养之一的直观想象有很高的要求，能综合运用不同的几何方法解决问题也是学科核心素养水平的重要体现．第19题的试题情境是在密码学理论中有重要地位的盖莫尔（ElGamal）加密体制．在大数据时代，数据安全问题越来越受到重视．盖莫尔公钥密码体制是在网络上进行保密通信和数字签名的有效安全算法，应用十分广泛，其数学理论基础就是题目中讨论的离散对数．在盖莫尔公钥密码体制的情境下，题目中的是明文，是公钥，离散对数是密钥，是对加密得到的密文，由得到是解密．对于充分大的素数和适当的，求解离散对数是困难的，但其逆运算（离散指数运算）可以用平方-乘算法快速有效地进行计算，这是盖莫尔公钥密码体制安全有效性的依据．第19题考查的数学内容是指数、对数的运算以及指数与对数的互逆运算等常规知识点在离散指数及离散对数中的迁移，其中第（2）问是证明离散对数形式上满足普通对数的运算规则，第（3）问本质上是进行离散指数运算，然而更重要的是对逻辑推理等学科核心素养的考查．离散对数与普通对数的本质区别在于同余运算．同余的概念是现代数学中非常重要的概念，对同余问题的研究也是中国优秀传统数学文化的重要部分（如著名的中国剩余定理）．题目中没有明确引入同余的概念，仅仅使用了余数概念，这是在小学数学中学过的概念．题目中附加了条件两两不同，在这个限制条件下不需要一般形式的费马小定理，简化了问题叙述，降低了题目难度，通过第（1）问又进一步对给出启发性提示．这样的处理符合多数考生的实际知识水平和认知能力．第（3）问中的随机常数完全来自于实际应用，对每一条明文使用随机选取的是安全性的必要保证．三、重点试题、亮点题、创新题点评：第3题，常规题，除了可以应用方程思想列出基本量（首项、公差）的方程组求解，也可以灵活运用等差数列的性质求解：（快速解法）由已知，，又，，故选C．第5题：解法一（直接法）：甲一定在乙丙中间，否则甲就要在两端，．解法二（间接法）：先仅考虑乙丙之间恰好有两人的站法，再减去不符合题意的站法（甲在两端）：，共16种，故选B．第7题：解法一：由已知，，即，∴，或（舍），故选A．解法二：（拼凑角）∵，∴，∴或又，∴，∴，∴故选A．第8题，解法多，下面列出几种较简单的解法：可知，∴，∵，可得，从而．法1：由，平方可得，故的离心率为．法2：∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故的离心率为．法3：∵，∴，，故．由可得，故的离心率为．第14题，背景是切比雪夫最佳逼近线问题，较简单的解法：解法一：若，则当且仅当且，即时取等号．若，则当且仅当且，即时取等号．解法二：令①若令②若，即令当时，例如时可取“＝”，∴．解法三：记，则，且，或，，．①当时，，；②当时，，即，，当，即，也就是对，．综上，，即的最小值为．解法四：记，则．又，或，∴，或．①当，即时，．．②当，即时，，，当即时，可取得等号．综上，，即的最小值为．解法五：记，则，，，即，其中．①若，则，令，则，，即②若，则，令，则，，即，，当即时，可取“＝”综上，，即的最小值为．解法六：记．则，．．①若，则由得，，②若，则，，且当时，．综上，，即的最小值为．当，由不等式性质得，再根据定义得出最小值．当，由不等式性质得，再根据定义得出最小值．解法七：（1）若，则，当且仅当取等号．②当，，∴当且仅当取等号．综上，的最小值为．第18题，考查抛物线几何性质、直线与抛物线位置关系，背景是圆锥曲线的极点极线理论，对圆锥曲线来说，焦点与相应的准线是极点与极线，更一般地结论如下：【定理】如图，设点关于圆锥曲线Γ的极线为，过点任作一割线交于，，交于，则①；反之，若有①成立，则点，调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点（或点）关于圆锥曲线的调和共轭点为点（或点）．点关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线．面是本题几种典型的解法：第（1）小题：（1）设，．则，（利用抛物线方程可得抛物线上任意两点的斜率），，从而．又，故．从而：，即．即，故过．第（2）小题：思路一：．．思路二：取中点，则．故．同理．故．思路三：（利用割补）．第19题的试题情境是在密码学理论中有重要地位的盖莫尔（ElGamal）加密体制．【分析】对于整数和正整数，如果存在，，使得，则称为除以的余数．根据带余除法，这样的，是必定存在的．我们以下记表示与除以的余数相等．①②等价于且．另外我们直接利用如下的费马小定理：当时，．【解析】（1），时，，∴．（2）证法一：记，，，只需记即，，，，故，①．②由①②，得即由②知不是的倍数，故，即，易知，而1，，，，两两不同，则与1，，，，之一相同，设，（假设）即而时，．因此，即故必有或0，则得证．（2）证法二：记，，，则有，使得，，∴，又根据的定义，∴．∵1，，，，两两不同，并且根据费马小定理，当，时，，而，，，∴只可能有两种情况出现：或，两种情况下都有，因此．（3）证法一：∵，∴．另一方面，．由于，∴．（3）证法二：，且，，．四、复习建议1．立足课程标准，钻研中国高考评价体系《普通高中数学课程标准（2020年修订版）》是高考数学考查内容范围和考查要求层次的依据，数学测试卷的命题理念、考查的内容范围与课程标准完全吻合．试卷立足课程标准，考查的内容依据学业质量标准和课程内容，注重对学生数学学科核心素养的考查，很好处理数学学科核心素养与知识技能的关系，充分考虑对教学的积极引导作用．数学测试卷注重考查学生基础知识和基本技能的熟练掌握和灵活应用，强调知识的整体性和连贯性，引导教学要注重内容的基础性和方法的普适性，要避免盲目钻研套路训练和机械训练．试卷引导教学要立足课程标准，要求以课程目标和核心素养为指引，以数学的基础知识、基本技能为载体，在学生领悟数学思想、积累数学活动经验的过程中，引导学生学会思考与发现，进而培养学生数学学科核心素养．2．用好教材，突出对课本基础知识的再挖掘高中数学教材是体现和落实课程标准基本理念和目标要求的科学范本，是高考数学命题的重要参考．数学测试卷部分试题以教材中的典型试题和素材为基础，进行了改造、重组和引申，考查考生对基础知识、基本方法的深刻理解和灵活应用，要深入研究教材，回归教材，用好教材，讲清讲透基本概念、原理的来龙去脉，避免过度依赖教辅、深陷死记硬背和题海训练；要立