2024届河北省石家庄数学高二第二学期期末统考模拟试题含解析

2024届河北省石家庄数学高二第二学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数fx在R上可导，且fx=A．-2 B．2 C．4 D．-42．5人站成一列，甲、乙两人相邻的不同站法的种数为（）A．18 B．24 C．36 D．483．将4名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作，要求每一个地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不安排在同一个地方工作，则不同的安排方法共有A．24种 B．30种 C．32种 D．36种4．一元二次不等式的解集为（）A． B．C． D．5．已知函数，则函数满足（）A．最小正周期为 B．图像关于点对称C．在区间上为减函数 D．图像关于直线对称6．设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．7．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为A． B． C． D．8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7+a9＝21，则S13＝（）A．36 B．72 C．91 D．1829．在5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，如果不放回地依次抽取2张牌，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为A．625 B．310 C．310．已知分别为四面体的棱上的点,且,,,,则下列说法错误的是（）A．平面 B．C．直线相交于同一点 D．平面11．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A． B． C． D．12．函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面几何中，若正方形的内切圆面积为外接圆面积为则，推广到立体几何中，若正方体的内切球体积为外接球体积为，则_______．14．某地球仪上北纬纬线长度为，则该地球仪的体积为_______.15．某超市国庆大酬宾，购物满100元可参加一次游戏抽奖活动，游戏抽奖规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处，小球自由落下过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋得奖金4元，落入B袋得奖金8元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为.已知李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士的活动奖金期望值为_____元.16．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：18．（12分）把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离．19．（12分）已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范围.20．（12分）随着智能手机的普及，各类手机娱乐软件也如雨后春笋般涌现.如表中统计的是某手机娱乐软件自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注册用户数，记月份代码为（如对应于2018年8月份，对应于2018年9月份，…，对应于2019年4月份），月新注册用户数为（单位：百万人）（1）请依据上表的统计数据，判断月新注册用户与月份线性相关性的强弱；（2）求出月新注册用户关于月份的线性回归方程，并预测2019年5月份的新注册用户总数.参考数据：，，.回归直线的斜率和截距公式：，.相关系数（当时，认为两相关变量相关性很强.）注意：两问的计算结果均保留两位小数21．（12分）如图，在平行四边形中，，将沿对角线折起，折后的点变为，且．(Ⅰ)求证：平面平面；(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）E为线段上的一个动点，当线段的长为多少时，与平面所成的角正弦值为？22．（10分）已知函数，当时，函数有极大值8.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

求导后代入x=1可得关于f'1【题目详解】由fx=令x=1，则f'1本题正确选项：A【题目点拨】本题考查导数值的求解，关键是能够根据导数运算法则得到导函数的解析式，属于基础题.2、D【解题分析】

将甲、乙两人捆绑在一起，再利用排列公式得到答案.【题目详解】将甲、乙两人捆绑在一起，不同站法的种数为：故答案选D【题目点拨】本题考查了排列组合中的捆绑法，属于简单题.3、B【解题分析】

利用间接法，即首先安排4人到三个地方工作的安排方法数N，再求出当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时的安排方法数n，于是得出答案N-n。【题目详解】先考虑安排4人到三个地方工作，先将4人分为三组，分组有C42种，再将这三组安排到三个地方工作，则安排4人到三个地方工作的安排方法数为当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时，则只有一个分组情况，此时，甲、乙两名志愿者安排在同一个地方工作的安排方法数为n=A因此，所求的不同安排方法数为N-n=36-6=30种，故选：B。【题目点拨】本题考查排列组合综合问题的求解，当问题分类情况较多或问题中带有“至少”时，宜用间接法来考查，即在总体中减去不符合条件的方法数，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题。4、C【解题分析】

根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集，得到答案．【题目详解】由题意，不等式，即或，解得，即不等式的解集为，故选C．【题目点拨】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．5、D【解题分析】∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期为，故A不正确；令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+为增函数，故C不正确，故选D．6、D【解题分析】

求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得的范围，得到答案．【题目详解】由题意，函数的定义域为，不等式，即，即，两边除以，可得，又由直线恒过定点，若不等式恰有两个整数解，即函数图象有2个横坐标为整数的点落在直线的上方，由图象可知，这2个点为，可得，即，解得，即实数的取值范围是，故选D．【题目点拨】本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．7、D【解题分析】试题分析：设的中点为，连接，易知即为异面直线与所成的角，设三棱柱的侧棱与底面边长为，则，由余弦定理，得，故选D.考点：异面直线所成的角.8、C【解题分析】

根据等差数列的性质求出,根据等差数列的前项和公式可得.【题目详解】因为{an}为等差数列,所以,所以,所以.故选C.【题目点拨】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和.属于基础题.9、D【解题分析】

因为是不放回抽样，故在第一次抽到“红心”时，剩下的4张扑克中有2张“红心”和2张“方块”，根据随机事件的概率计算公式，即可计算第二次抽到“红心”的概率．【题目详解】因为是不放回抽样，故在第一次抽到“红心”的条件下，剩下的4张扑克中有2张“红心”和2张“方块”，第二次抽取时，所有的基本事件有4个，符合“抽到红心”的基本事件有2个，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为12故答案选D【题目点拨】本题给出无放回抽样模型，着重考查抽样方法的理解和随机事件的概率等知识，属于基础题．10、D【解题分析】

根据线面平行以及空间直线和平面的位置关系分别进行判断即可．【题目详解】，，是的中位线，，且，平面，平面，平面，故正确，，，，且，则，故B正确，是梯形，则直线，相交，设交点为，则，平面，，平面，则是平面和平面的公共点，则，即直线，，相交于同一点，故正确，因为，，所以直线与必相交，所以错误.故选D【题目点拨】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面位置关系的判断，根据空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．11、D【解题分析】

设，根据是以为直角顶点的直角三角形，且，以及双曲线的性质可得，再根据勾股定理求得的关系式，即可求解.【题目详解】由题意，设，如图所示，因为是以为直角顶点的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，，在直角中，，即，整理得，所以，故选D.【题目点拨】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．.12、B【解题分析】

根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。【题目详解】根据题意，函数满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称，若函数在上单调递减，则在上递增，所以要使，则有，变形可得，解可得：或，即的取值范围为；故选：B．【题目点拨】本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结果．【题目详解】正方形的内切圆半径为外接圆半径为，半径比，面积比为半径比的平方，类比正方正方体内切球半径为外接球半径为，径比，所以体积比是半径比的立方=，填．【题目点拨】立体几何中一个常见的猜想类比为面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结果．14、【解题分析】

地球仪上北纬纬线的周长为，可求纬线圈的半径，然后求出地球仪的半径，再求体积．【题目详解】作地球仪的轴截面，如图所示：因为地球仪上北纬纬线的周长为，所以，因为，所以，所以地球仪的半径，所以地球仪的体积，故答案为：．【题目点拨】本题地球仪为背景本质考查线面位置关系和球的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．15、5【解题分析】

先记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，分别求出其对应概率，再由题意得到抽取活动奖金的可能取值，进而可求出结果.【题目详解】记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，由题意可得，所以.因为李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士可参加一次抽奖，抽取活动奖金的可能取值为，所以期望为.故答案为5【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记概念即可，属于常考题型.16、【解题分析】

根据题设条件得出是函数的最大值或最小值，从而得到，结合，最后得到，再根据正弦函数的单调性得到所求函数的单调增区间.【题目详解】解:若对恒成立,则等于函数的最大值或最小值,即,则,又,即令,此时,满足条件令,解得.则的单调递增区间是.故答案为:.【题目点拨】本题考查的重点是三角函数的单调区间以及形式变换,需要重点掌握.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）90；（2）；（3）有的把握认为“该校学生的每周平均课外阅读时间与性别有关”【解题分析】

（1）根据频率分布直方图进行求解即可．（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率．（3）利用独立性检验进行求解即可【题目详解】（1）30090，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）＝0.1，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.1．（3）由（2）知，300位学生中有300×0.1＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，1人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时45301每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得K24.762＞3.841所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．【题目点拨】本题主要考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，比较基础18、(2+)R【解题分析】

四个小球两两相切，其四个球心构成正四面体。【题目详解】解：将四个球心两两连结，构成一个棱长为2R的正四面体设底面正三角形的中心为H,则故上层小球最高处离桌面的距离为【题目点拨】四个小球两两相切，其四个球心构成正四面体。19、（1）；（2）【解题分析】

（1）分别求出和,再取交集，即可。（2）因为且恒成立，所以，解出即可。【题目详解】解：（1）若，则，所以或，又因为，所以。（2）由（1）得，，又因为，所以，解得。【题目点拨】本题考查了交、补集的混合运算，考查了利用集合间的关系求参数的取值问题，解答此题的关键是对集合端点值的取舍，是基础题．20、（1）月新注册用户与月份的线性相关性很强；（2）10.06百万【解题分析】

（1）根据题目所给数据和相关系数计算公式，计算出相关系数，由此判断出“月新注册用户与月份的线性相关性很强”.（2）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并利用回归直线方程预测出2019年5月份的新注册用户总数.【题目详解】（1）由题意得，，，，，故.因为，所以月新注册用户与月份的线性相关性很强.（2）由（1），，所以回归方程为，令，得，即2019年5月份新注册用户预测值为10.06百万人.【题目点拨】本小题主要考查相关系数