2024届铜陵市重点中学数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

2024届铜陵市重点中学数学高二第二学期期末质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为（）A． B． C． D．2．（2018年天津市河西区高三三模）已知双曲线：的虚轴长为，右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．3．设曲线在点处的切线与直线平行，则（）A．B．C．D．4．已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（）A． B． C． D．5．若,则下列结论正确的是()A． B． C． D．6．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式（为自然对数的底数）的解集为（）A． B． C． D．7．在中，，，，则的面积为（）A．15 B． C．40 D．8．设随机变量的分布列为，则（）A．3 B．4 C．5 D．69．设，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知是四面体内任一点，若四面体的每条棱长均为，则到这个四面体各面的距离之和为（）A． B． C． D．11．若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是()A． B． C． D．12．如图是函数的导函数的图象,则下列说法正确的是()A．是函数的极小值点B．当或时,函数的值为0C．函数关于点对称D．函数在上是增函数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设集合，，则集合______.14．在平面直角坐标系中，若直线与椭圆在第一象限内交于点，且以为直径的圆恰好经过右焦点，则椭圆的离心率是______.15．若关于的不等式（，且）的解集是，则的取值的集合是_________．16．在平面直角坐标系中，己知直线与圆相切，则k的值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）球O的半径为R,A﹑B﹑C在球面上，A与B,A与C的球面距离都为，B与C的球面距离为，求球O在二面角B-OA-C内的部分的体积．18．（12分）已知函数有两个极值点和3.(1)求，的值；(2)若函数的图象在点的切线为，切线与轴和轴分别交于，两点，点为坐标原点，求的面积.19．（12分）如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）如图,在多面体中,平面,四边形为正方形,四边形为梯形,且,,,.(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)线段上是否存在点,使得直线平面？若存在,求的值：若不存在,请说明理由.21．（12分）设，其中，，与无关.（1）若，求的值；（2）试用关于的代数式表示：；（3）设，，试比较与的大小.22．（10分）已知复数（a，），（c，）.（1）当，，，时，求，，；（2）根据（1）的计算结果猜想与的关系，并证明该关系的一般性

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．【题目详解】∵由回归方程知=，解得t=3，故选A．【题目点拨】】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．2、A【解题分析】分析：由虚轴长为可得，由到渐近线的距离为可解得，从而可得结果.详解：由虚轴长为可得，右顶点到双曲线的一条渐近线距离为，，解得，则双曲线的方程为，故选A.点睛：用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.3、D【解题分析】试题分析：由的导数为，则在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，所以，故选D．考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程．4、B【解题分析】

求得的导数，可得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得所求倾斜角．【题目详解】函数的导数为，可得在处的切线的斜率为，即，为倾斜角，可得．故选：B．【题目点拨】本题主要考查了导数的几何意义，函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，是解题的关键，属于容易题．5、C【解题分析】

先用作为分段点，找到小于和大于的数.然后利用次方的方法比较大小.【题目详解】易得，而，故，所以本小题选C.【题目点拨】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题.6、B【解题分析】令所以,选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等7、B【解题分析】

先利用余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.【题目详解】由余弦定理得，解得，由三角形面积得，故选B.【题目点拨】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.8、C【解题分析】分析：根据方差的定义计算即可.详解：随机变量的分布列为，则则、故选D点睛：本题考查随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．9、A【解题分析】

通过分类讨论可证得充分条件成立，通过反例可知必要条件不成立，从而得到结果.【题目详解】若，则；若，则；若，则，可知充分条件成立；当，时，则，此时，可知必要条件不成立；是的充分不必要条件本题正确选项：【题目点拨】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.10、A【解题分析】

先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离.【题目详解】解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，

设它到四个面的距离分别为，

由于棱长为1的正四面体，四个面的面积都是；

又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的，

又高为，

所以底面中心到底面顶点的距离都是；

由此知顶点到底面的距离是；

此正四面体的体积是.

所以：，

解得.

故选：A.【题目点拨】本题考查了正四面体的体积计算问题，也考查了转化思想和空间想象能力与计算能力.11、D【解题分析】试题分析：由得，即，即设，则，则条件等价为，即有解，设，为增函数，∵，∴当时，，当时，，即当时，函数取得极小值为：，即，若有解，则，即，则或，故选D．考点：函数恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键，综合性较强，难度较大根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．12、D【解题分析】

由导函数的图象得到原函数的增减区间及极值点，然后逐一分析四个命题即可得到答案．【题目详解】由函数f(x)的导函数图象可知，当x∈(−∞,−a),(−a，b)时,f′(x)<0，原函数为减函数；当x∈(b,+∞)时,f′(x)＞0，原函数为增函数.故不是函数的极值点，故A错误；当或时,导函数的值为0，函数的值未知，故B错误；由图可知，导函数关于点对称，但函数在(−∞,b)递减,在(b,+∞)递增,显然不关于点对称，故C错误；函数在上是增函数，故D正确；故答案为：D.【题目点拨】本题考查函数的单调性与导数的关系，属于导函数的应用，考查数形结合思想和分析能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据集合,，求出两集合的交集即可【题目详解】,故答案为【题目点拨】本题主要考查了集合交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．14、.【解题分析】

由题意可得轴，求得的坐标，由在直线上，结合离心率公式，解方程可得所求值．【题目详解】解：以为直径的圆恰好经过右焦点，可得轴，令，可得，不妨设，由在直线上，可得，即为，由可得，解得（负的舍去）.故答案为:.【题目点拨】本题考查椭圆的方程和性质，考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出点的坐标.求离心率的做题思路是，根据题意求出或者列出一个关于的方程，由椭圆或双曲线的的关系，进而求解离心率.15、【解题分析】

由题意可得当x=时，4x=log2ax，由此求得a的值．【题目详解】∵关于x的不等式4x＜log2ax（a＞0，且a≠）的解集是{x|0＜x＜}，则当x=时，4x=log2ax，即2=log2a，∴（2a）2=，∴2a=，∴a=，故答案为．【题目点拨】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．16、【解题分析】

通过圆心到直线的距离等于半径构建等式，于是得到答案.【题目详解】根据题意，可知圆心为，半径为2，于是圆心到直线的距离，而直线与圆相切，故，因此解得.【题目点拨】本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，难度不大.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】

先求出二面角B-AO-C的平面角，再根据比例关系求出球O在二面角B-OA-C内的部分的体积。【题目详解】解：A与B,A与C的球面距离都为，，BOC为二面角B-AO-C的平面角，又B与C的球面距离为，BOC=，球O夹在二面角B-AO-C的体积是球的六分之一即为【题目点拨】先求出二面角B-AO-C的平面角，再根据比例关系求出球O在二面角B-OA-C内的部分的体积。18、(1)，；(2)【解题分析】

（1）先对函数求导，得到，根据函数极值点，结合韦达定理，即可求出结果；（2）先由（1）得到解析式，求出点，根据导函数，求出切线斜率，得到切线方程，进而求出，两点坐标，即可求出三角形面积.【题目详解】(1)由题意可得，，因为函数有两个极值点和3.所以的两根为和3.由韦达定理知，，解得，∴(2)由(1)知，，∴，所以切线的斜率所以切线的方程为：此时，，所以【题目点拨】本题主要考查由函数的极值点求参数的问题，以及求函数在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.19、（1）见解析（2）【解题分析】分析：（1）通过取AD中点M，连接CM，利用，得到直角；再利用可得；而,DE平面ADEF，所以可得面面垂直．（2）以AD中点O建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面CAE与直线BE向量，根据直线与法向量的夹角即可求得直线与平面夹角的正弦值．详解：（1）证明：取的中点，连接，，，由四边形为平行四边形，可知，在中，有，∴.又，，∴平面，∵平面，∴.又，，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知平面平面，如图，取的中点为，建立空间直角坐标系，，，，，，，.设平面的法向量，则，即，不妨令，得.故直线与平面所成角的正弦值.点睛：本题考查了空间几何体面面垂直的综合应用，利用法向量法求线面夹角的正弦值，关键注意计算要准确，属于中档题．20、(1)；(2).【解题分析】

建立适当的空间直角坐标系.(1)求出平面的法向量,利用空间向量夹角公式可以求出直线与平面所成角的正弦值；(2)求出平面的法向量,结合线面平行的性质,空间向量共线的性质,如果求出的值,也就证明出存在线段上是否存在点,使得直线平面,反之就不存在.【题目详解】以为空间直角坐标系的原点,向量所在的直线为轴.如下所示：.(1)平面的法向量为,..直线与平面所成角为,所以有;(2)假设线段上是存在点,使得直线平面.设,因此,所以的坐标为：..设平面的法向量为,,,因为直线平面,所以有,即.【题目点拨】本题考查了线面角的求法以及线面平行的性质,考查了数学运算能力.21、(1);(2);(3).【解题分析】分析：（1）由，即可求出p；（2）当时，，两边同乘以，再等式两边对求导，最后令即可；（3）猜测：，利用数学归纳法证明.详解：（1）由题意知，所以.（2）当时，，两边同乘以得：，等式两边对求导，得：，令得：，即.（3），，猜测：，当时，，，，此时不等式成立；②假设时，不等式成立，即：，则时，所以当时，不等式也成立；根据①②可知，，均有.点睛：利用数学归纳法证明等式时应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式其关键点在