2024届新疆阿克苏地区沙雅县第二中学数学高二下期末学业质量监测试题含解析

2024届新疆阿克苏地区沙雅县第二中学数学高二下期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．2．．设(x1,y1),(x2,y2A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点(3．从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（）A．小 B．大 C．相等 D．大小不能确定4．若函数的导函数的图象如图所示，则的图象有可能是（）A． B．C． D．5．若a=72-12，b=27A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b6．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为()A． B． C． D．87．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，△ABC的面，则a=（）A．1 B． C． D．8．已知函数，如果函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，则实数的取值范围是A． B． C． D．9．若函数为奇函数，则A． B． C． D．10．已知（为虚单位），则复数在复平面上所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知关于的方程为（其中），则此方程实根的个数为（）A．2 B．2或3 C．3 D．3或412．某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为（）A．6 B．4 C．94 D．96二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，给出以下结论：①曲线在点处的切线方程为；②在曲线上任一点处的切线中有且只有两条与轴平行；③若方程恰有一个实数根，则；④若方程恰有两个不同实数根，则或.其中所有正确结论的序号为__________．14．定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有____个．15．在的二项展开式中，常数项为________（结果用数值表示）16．已知函数，当时，关于的不等式的解集为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,五边形中,四边形为长方形,为边长为的正三角形,将沿折起,使得点在平面上的射影恰好在上.（Ⅰ）当时,证明:平面平面；（Ⅱ）若,求平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值.18．（12分）5G网络是第五代移动通信网络，其峰值理论传输速度可达每8秒1GB，比4G网络的传输速度快数百倍．举例来说，一部1G的电影可在8秒之内下载完成．随着5G技术的诞生，用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质（UHD）节目的时代正向我们走来．某手机网络研发公司成立一个专业技术研发团队解决各种技术问题，其中有数学专业毕业，物理专业毕业，其它专业毕业的各类研发人员共计1200人．现在公司为提高研发水平，采用分层抽样抽取400人按分数对工作成绩进行考核，并整理得如上频率分布直方图（每组的频率视为概率）．（1）从总体的1200名学生中随机抽取1人，估计其分数小于50的概率；（2）研发公司决定对达到某分数以上的研发人员进行奖励，要求奖励研发人员的人数达到30%，请你估计这个分数的值；（3）已知样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分，样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员人数与物理及其它专业毕业的研发人员的人数和相等，估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数．19．（12分）已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上.（1）求椭圆方程；（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0.①求证：直线经过定点，并求出定点坐标；②求面积的最大值.20．（12分）有5人进入到一列有7节车厢的地铁中，分别求下列情况的概率(用数字作最终答案)：(1)恰好有5节车厢各有一人；(2)恰好有2节不相邻的空车厢；(3)恰好有3节车厢有人．21．（12分）某机构对某市工薪阶层的收入情况与超前消费行为进行调查，随机抽查了200人，将他们的月收入（单位：百元）频数分布及超前消费的认同人数整理得到如下表格：月收入（百元）频数204060402020认同超前消费的人数81628211316（1）根据以上统计数据填写下面列联表，并回答是否有99%的把握认为当月收入以8000元为分界点时，该市的工薪阶层对“超前消费”的态度有差异；月收入不低于8000元月收入低于8000元总计认同不认同总计（2）若从月收入在的被调查对象中随机选取2人进行调查，求至少有1个人不认同“超前消费”的概率.参考公式：（其中）.附表：0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.63522．（10分）已知复数.（1）化简：；（2）如果，求实数的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】试题分析：因为双曲线的离心率为,所以,又因为双曲线中,所以,而焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,所以此双曲线的渐近线方程为,故选C.考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.2、D【解题分析】因回归直线一定过这组数据的样本中心点(x点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求a,b，写出回归方程，回归直线方程恒过点3、B【解题分析】试题分析：四种不同的玻璃球，可设为，随意一次倒出一粒的情况有4种，倒出二粒的情况有6种，倒出3粒的情况有4种，倒出4粒的情况有1种，那么倒出奇数粒的有8种，倒出偶数粒的情况有7种，故倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率大.考点：古典概型.4、C【解题分析】分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．详解：由的图象易得当时

故函数在区间上单调递增；

当时，f'（x）＜0，故函数在区间上单调递减；

故选：C．点睛：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．5、D【解题分析】

利用指数函数对数函数的单调性，利用指数对数函数的运算比较得解.【题目详解】因为27-1故选：D【题目点拨】本题主要考查指数函数对数函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6、C【解题分析】分析：由三视图可知，该几何体表示一个棱长为的正方体切去一个以直角边长为的等腰直角三角形为底面，高为的三棱锥，即可利用体积公式，求解几何体的体积．详解：由给定的三视图可知，该几何体表示一个棱长为的正方体切去一个以直角边长为的等腰直角三角形为底面，高为的三棱锥，所以该几何体的体积为，故选C．点睛：本题考查了几何体的三视图及几何体的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．7、A【解题分析】

根据三角形面积公式可得,利用正余弦平方关系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得.【题目详解】因为，，面积，所以.所以.所以，.所以.故选A.【题目点拨】本题考查正余弦定理,面积公式,基础题.8、C【解题分析】分析：求函数的导函数，并化简整理，结合函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点进行讨论即可.详解：函数的定义域为(0, +∞)①当时，恒成立，令，则，即在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极小值，符合题意；②当时，时，又函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，在处取得极值.从而或恒成立，构造函数，，设与相切的切点为，则切线方程为，因为切线过原点，则，解得，则切点为此时.由图可知：要使恒成立，则.综上所述：.故选：C.点睛：导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．9、A【解题分析】分析：运用奇函数的定义，可得，再计算即可详解：函数为奇函数，故选点睛：本题主要考查的是奇函数的定义，分段函数的应用，属于基础题。根据函数奇偶性的性质是解题的关键10、B【解题分析】

由得，再利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数所表示的点所在的象限.【题目详解】由得，因此，复数在复平面上对应的点在第二象限，故选B.【题目点拨】本题考查复数的几何意义，考查复数对应的点所在的象限，解题的关键就是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.11、C【解题分析】分析：将原问题转化为两个函数交点个数的问题，然后利用导函数研究函数的性质即可求得最终结果.详解：很明显不是方程的根，据此可将方程变形为：，原问题等价于考查函数与函数的交点的个数，令，则，列表考查函数的性质如下：++-++单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增函数在有意义的区间内单调递增，故的单调性与函数的单调性一致，且函数的极值绘制函数图像如图所示，观察可得，与函数恒有3个交点，即题中方程实根的个数为3.本题选择C选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12、B【解题分析】

由已知根据正态分布的特点，可得，根据对称性，则，乘以样本个数得答案．【题目详解】由题意，知，可得，又由对称轴为，所以，所以成绩小于分的样本个数为个．故选：B．【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及考查正态分布中两个量和的应用，其中熟记正态分布的对称性是解答的关键，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、②④【解题分析】分析：对函数进行求导，通过导数研究函数的性质从而得到答案．详解：，①则曲线在点处的切线方程为即，故①不正确；②令或，即在曲线上任一点处的切线中有且只有两条与轴平行；正确；③由②知函数在上单调递减，在上单调递增，当函数的极小值极大值故若方程恰有一个实数根，则或，③不正确；④若方程恰有两个不同实数根，则或.正确点睛：本题考查导数的应用以及数形结合思想，是一道中档题．14、14【解题分析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：由图可知，不同的“规范01数列”共有14个.故答案为14.15、【解题分析】

利用二项展开式的通项公式Tr+1中x的幂指数为0即可求得答案．【题目详解】，令＝0，得：r＝3，所以常数项为：＝20,故答案为20.【题目点拨】本题考查二项式展开式中的特定项，利用其二项展开式的通项公式求得r＝3是关键，考查运算能力，属于中档题．16、【解题分析】

首先应用条件将函数解析式化简，通过解析式的形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的自变量，从而将不等式转化为，进一步转化为，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果.【题目详解】当时，是上的增函数，且，所以可以转化为，结合函数的单调性，可以将不等式转化为，解得，从而得答案为.故答案为【题目点拨】解决该题的关键是将不等式转化，得到所满足的不等式，从而求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解题分析】试题分析：（Ⅰ）作，垂足为，依题意得平面，则，平面，，结合勾股定理可得，则平面，平面平面.（Ⅱ）由几何关系，以为轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面的法向量，平面的法向量.计算可得平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值为.试题解析：（Ⅰ）作，垂足为，依题意得平面，，又，平面，利用勾股定理得，同理可得.在中，平面，又平面，所以平面平面（Ⅱ）连结，，，，又四边形为长方形，.取中点为，得∥，连结，其中，，由以上证明可知互相垂直，不妨以为轴建立空间直角坐标系.，，设是平面的法向量，则有即，令得设是平面的法向量，则有即令得.则所以平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值为.18、（1）0.1；（2）77.5；（3）540人.【解题分析】

（1）由题意可知,样本中随机抽取一人,分数小于50的概率是0.1,由此能估计总体中分数小于50的概率；（2）根据频率分布直方图,第六组的频率为0.4,第七组频率为0.2,由此能求出这个分数；（3）样本中不低于70分的研发人员人数为240人,从而样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人,样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,从而样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数为180人,由此能估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数【题目详解】解：（1）由题意可知,样本中随机抽取一人,分数小于50的概率是,所以估计总体中分数小于50的概率0.1（2）根据频率分布直方图，第六组的频率为0.04×10=0.4,第七组频率为0.02×10=0.2,此分数为（3）因为样本中不低于70分的研发人员人数为400×（0.4+0.2）=240人,所以样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人,又因为样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,所以样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数120÷=180人,故估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数为：1200×=540人【题目点拨】本题考查概率、频数的求法,考查频率分布直方图的性质,考查运算求解能力,是基础题．19、（1）；（2）①证明见解析；②1【解题分析】

(1)由条件有，将点代入椭圆方程结合，可求解椭圆方程.

(2)①设点，，设直线，，的斜率分别为，由条件有，将直线方程与椭圆方程联立，将，代入化简可得，得到直线过定点.

②由①利用弦长公式可求出，再求出原点到直线的距离，则的面积可表示出来，从而可求其最大值.【题目详解】解：（1）由题意可得，又由点在椭圆上，故得，∵，解得，.∴椭圆的方程为；（2）设点，.联立得，∴，化简得①，②，③设直线，，的斜率分别为直线，，的斜率之和为0，∴，即，∴，又，∴.综上可得，直线经过定点.②由①知.∴，原点到直线的距离.∴，∵，当且仅当，即取“”.∴，即面积的最大值为1.【题目点拨】本题考查求椭圆方程和证明直线过定点、求三角形的面积的最值，考查方程联立，利用韦达定理的舍而不求的方法的应用，考查计算化简能力，属于难题.20、（1）3602401；（2）360016807；（3）【解题分析】

(1)5人进入到一列有7节车厢的地铁中，基本事件总数n=75=16807，恰好有5节车厢各有一人包含的基本事件的个数m(2)恰好有2节不相邻的空车厢包含的基本事件的个数m2=A(3)恰好有3节车厢有人包含的基