2024届辽宁省抚顺德才高级中学数学高二第二学期期末联考模拟试题含解析

2024届辽宁省抚顺德才高级中学数学高二第二学期期末联考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．2．设定点，动圆过点且与直线相切.则动圆圆心的轨迹方程为（）A． B． C． D．3．一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A． B． C． D．4．以下四个命题中是真命题的是()A．对分类变量x与y的随机变量观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C．若数据的方差为1，则的方差为2D．在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好5．已知A，B是半径为的⊙O上的两个点，·＝1，⊙O所在平面上有一点C满足｜＋｜＝1，则｜｜的最大值为（）A．＋1 B．＋1 C．2＋1 D．+16．若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（）A． B． C． D．7．从、、中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为（）A． B． C． D．8．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．恰有一个红球与恰有二个红球D．至少有一个红球与至少有一个白球9．已知变量x，y呈现线性相关关系，回归方程为，则变量x，y是（）A．线性正相关关系 B．线性负相关关系C．由回归方程无法判断其正负相关关系 D．不存在线性相关关系10．若复数所表示的点在第一象限，则实数m的取值范围是A． B． C． D．11．记为等比数列的前项和.若，，则（）A．2 B．-4 C．2或-4 D．412．已知数列的前项和为，，，则（）A．128 B．256 C．512 D．1024二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆的圆心到直线的距离__________.14．的平方根是________.15．牛顿通过研究发现，形如形式的可以展开成关于的多项式,即的形式其中各项的系数可以采用“逐次求导赋值法”计算.例如:在原式中令可以求得，第一次求导数之后再取，可求得，再次求导之后取可求得,依次下去可以求得任意-项的系数，设,则当时，e=_____．(用分数表示)16．若直线为曲线的一条切线，则实数的值是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：年份x20112012201320142015储蓄存款y（千亿元）567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：时间代号t12345z01235（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y关于x的回归方程；（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程，其中）18．（12分）为了解国产奶粉的知名度和消费者的信任度，某调查小组特别调查记录了某大型连锁超市年与年这两年销售量前名的五个奶粉的销量（单位：罐），绘制出如下的管状图：（1）根据给出的这两年销量的管状图，对该超市这两年品牌奶粉销量的前五强进行排名（由高到低，不用说明理由）；（2）已知该超市年奶粉的销量为（单位：罐），以，，这年销量得出销量关于年份的线性回归方程为（，，年对应的年份分别取），求此线性回归方程并据此预测年该超市奶粉的销量.相关公式：.19．（12分）已知：已知函数（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；20．（12分）设为虚数单位，为正整数，（1）证明：；（2），利用（1）的结论计算．21．（12分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出三个不同的数字.（Ⅰ）求取出的这三个数字中最大数字是8的概率；（Ⅱ）记取出的这三个数字中奇数的个数为，求随机变量的分布列与数学期望.22．（10分）已知平面内点到点的距离和到直线的距离之比为，若动点P的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程；（II）过F的直线与C交于A，B两点，点M的坐标为设O为坐标原点.证明：．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项.【题目详解】若，符合题意，由此排除C,D两个选项.若，则不符合题意，排除B选项.故本小题选A.【题目点拨】本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.2、A【解题分析】

由题意，动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，求得，即可得到答案．【题目详解】由题意知，动圆圆心到定点与到定直线的距离相等，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，则方程为故选A【题目点拨】本题考查抛物线的定义，属于简单题．3、B【解题分析】分析:由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案．详解:由已知中的三视图，圆锥母线l=圆锥的高h=，圆锥底面半径为r==2，由题得截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分为S=πr2+sin120°=π+，故几何体的体积为：V=Sh=×（π+）×2=.故答案为：B．点睛：（1）本题主要考查三视图找原图，考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力基本的计算能力.(2)解答本题的关键是弄清几何体的结构特征并准确计算各几何要素.4、D【解题分析】

依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，即可得到答案.【题目详解】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，选项D是正确的．【题目点拨】本题主要考查了线性相指数的知识及其应用，其中解答中熟记相关指数的概念和相关指数与相关性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5、A【解题分析】

先由题意得到，根据向量的数量积求出，以O为原点建立平面直角坐标系，设A（，）得到点B坐标，再设C（x，y），根据点B的坐标，根据题中条件，即可求出结果.【题目详解】依题意，得：，因为，所以，＝1，得：，以O为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，设A（，），则B（，）或B（，）设C（x，y），当B（，）时，则＝（＋－x，＋－y）由｜＋｜＝1，得：＝1，即点C在1为半径的圆上，A（，）到圆心的距离为：＝｜｜的最大值为＋1当B（，）时，结论一样．故选A【题目点拨】本题主要考查向量模的计算，熟记向量的几何意义，以及向量模的计算公式，即可求解，属于常考题型.6、C【解题分析】

依题意可得，0＜k＜1，结合函数y＝k|x|与y＝﹣|x﹣2|的图象可得4个整数解是2，3，4，5，由⇒x，即可得k.【题目详解】解：依题意可得，0＜k＜1，函数y＝k|x|与y＝﹣|x﹣2|的图象如下，由0＜k＜1，可得xA＞1，∴关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，由⇒xB，故k；故选：C【题目点拨】本题主要考查根据含参绝对值不等式的整数解的个数，求参数范围问题，着重考查了数形结合思想，属于中档题．7、D【解题分析】

从、、中任取两个字母排成一列，直接利用排列数公式可得出结果.【题目详解】由排列数的定义可知，从、、中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为.故选：D.【题目点拨】本题考查排列数的应用，考查计算能力，属于基础题.8、C【解题分析】

从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.9、B【解题分析】

根据变量x，y的线性回归方程的系数0，判断变量x，y是线性负相关关系．【题目详解】根据变量x，y的线性回归方程是1﹣2x，回归系数2＜0，所以变量x，y是线性负相关关系．故选：B．【题目点拨】本题考查了由线性回归方程判断变量是否正负相关问题，是基础题目．10、C【解题分析】

利用复数代数形式的乘法运算化简复数，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可.【题目详解】表示的点在第一象限，，解得．实数的取值范围是．故选C．【题目点拨】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误．11、B【解题分析】

利用等比数列的前项和公式求出公比，由此能求出结果．【题目详解】∵为等比数列的前项和，，，∴，解得，∴，故选B．【题目点拨】本题主要考查等比数列的性质以及其的前项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12、B【解题分析】

Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），n≥2时，Sn＝2Sn﹣1﹣1，相减可得an+1＝2an．再利用等比数列的通项公式即可得出．【题目详解】∵Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），n≥2时，Sn＝2Sn﹣1﹣1，∴an+1＝2an．n＝1时，a1+a2＝2a1﹣1，a1＝2，a2＝1．∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2．则a101×28＝3．故选：B．【题目点拨】本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

由题意首先确定圆心坐标，然后利用点到直线距离公式可得圆心到直线的距离.【题目详解】圆的方程即：，则圆心坐标为，圆心到直线的距离.故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查由圆的方程确定圆心的方法，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14、【解题分析】

根据得解.【题目详解】由得解.【题目点拨】本题考查虚数的概念，属于基础题.15、【解题分析】

由题意利用逐次求导的方法计算的值即可.【题目详解】当时，，令可得：，第一次求导可得：，令可得：，第二次求导可得：，令可得：，第三次求导可得：，令可得：，第四次求导可得：，令可得：，第五次求导可得：，令可得：，中，令可得：，则.故答案为：．【题目点拨】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16、1【解题分析】设切点为，又，所以切点为（0,1）代入直线得b=1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）(Ⅲ)1.6千亿元【解题分析】试题分析：（I）将数据代入回归直线方程的计算公式，由此计算的回归直线方程为；（II），，代入得到；（III）将代入上式，求得存款为千亿.试题解析：（I），，，，（II），，代入得到：，即（III），预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达1．6千亿元考点：回归分析.18、（1）前五强排名为：，，，，；（2）回归直线为：；预测年该超市奶粉的销量为罐.【解题分析】

（1）根据管状图，可求得五种奶粉两年的销量和，从而按照从多到少进行排列即可；（2）根据已知数据，利用最小二乘法求得回归直线；代入，即可求得预测值.【题目详解】（1）两年销量：；两年销量：；两年销量：；两年销量：；两年销量：前五强排名为：，，，，（2）由题意得：，；；，回归直线为：当时，预测年该超市奶粉的销量为：罐【题目点拨】本题考查统计图表的读取、最小二乘法求解回归直线、根据回归直线求解预估值的问题，考查运算和求解能力.19、(1)-2；(2)极小值为，极大值为.【解题分析】分析：（1）求出曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的导数值等于切线的斜率为﹣6，即可求出；（2）通过a=1时，利用导函数为0，判断导数符号，即可求f（x）的极值.详解：（Ⅰ）因为f′（x）=﹣x2+x+2a，曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率k=f′（2）=2a﹣2，2a﹣2=﹣6，a=﹣2（Ⅱ）当a=1时，，f′（x）=﹣x2+x+2=﹣（x+1）（x﹣2）x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，2）2（2，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）单调减

单调增

单调减所以f（x）的极大值为，f（x）的极小值为．点睛：本题考查导数的综合应用，切线方程以及极值的求法，注意导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．20、(1)证明见解析.(2).【解题分析】分析：（1）利用数学归纳法先证明，先证明当时成立，假设当时，命题成立，只需证明当时，命题也成立，证明过程注意三角函数和差公式的应用；（2）由（1）结论得，结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.详解：（1）1°当时，左边，右边，所以命题成立2°假设当时，命题成立，即，则当时，所以，当时，命题也成立综上所述，（为正整数）成立（2）由（1）结论得点睛：本题主要考查复数的运算、诱导公式、特殊角的三角函数、归纳推理的应用以及数学归纳法证明，属于中档题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时