安徽省宿州市十三所省重点中学2024届数学高二第二学期期末考试模拟试题含解析

安徽省宿州市十三所省重点中学2024届数学高二第二学期期末考试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，是的导函数，则函数的一个单调递减区间是（）A． B． C． D．2．一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A． B． C． D．3．某校开设10门课程供学生选修，其中、、三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位学生选修三门，则每位学生不同的选修方案种数是()A．70 B．98 C．108 D．1204．函数在上有唯一零点，则的取值范围为A． B． C． D．5．设M为曲线C:y=2x2+3x+3上的点，且曲线C在点M处切线倾斜角的取值范围为3πA．[-1,+∞) B．-∞,-34 C．-1,-6．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是()A．1 B． C． D．7．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A．-40 B．-20 C．20 D．408．若，则()A． B． C．或 D．或9．1+x-x210A．10 B．30 C．45 D．21010．设非零向量，，满足，，则与的夹角为（）A． B． C． D．11．抛物线y2=4x的焦点为F，点A（3，2），P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为（）A．4 B．5 C． D．12．已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为（）A．1 B． C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．，则使成立的值是____________.14．设是数列的前n项和，且，，则________．15．根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为______.16．双曲线的焦点是，若双曲线上存在点，使是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率是______；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是定义域为的奇函数，且当时，，设“”.（1）若为真，求实数的取值范围；（2）设集合与集合的交集为，若为假，为真，求实数的取值范围.18．（12分）已知数列，的前n项和分别为，，，且.(1)求数列的前n项和；(2)求的通项公式.19．（12分）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，平面，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20．（12分）如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面面圆周上的点.（1）求证：平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值.21．（12分）已知在的展开式中，第6项为常数项．求n的值；求展开式的所有项的系数之和；求展开式中所有的有理项．22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，已知直线的参数方程为，直线与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】，令，得：，∴单调递减区间为故选Ａ2、A【解题分析】试题分析：正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为：，故选A.考点：球内接多面体3、B【解题分析】根据题意，分2种情况讨论：①、从A,B,C三门中选出1门,其余7门中选出2门,有种选法，②、从除A,B,C三门之外的7门中选出3门,有种选法；故不同的选法有63+35=98种；故选：B.点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．4、C【解题分析】分析：函数有唯一零点，则即可详解：函数为单调函数，且在上有唯一零点，故，解得故选点睛：函数为一次函数其单调性一致，不用分类讨论，为满足有唯一零点列出关于参量的不等式即可求解。5、D【解题分析】

求出导函数y'，倾斜角的范围可转化为斜率的范围，斜率就是导数值，由可得y'的不等式，解之可得．【题目详解】由题意y'=4x+3，切线倾斜角的范围是[3π4,π)，则切线的斜率k∴-1≤4x+3<0，解得-1≤x<-3故选D．【题目点拨】本题考查导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是其图象在该点处的切线的斜率．解题时要注意直线倾斜角与直线斜率之间的关系，特别是正切函数的性质．6、D【解题分析】由数学归纳法的证明步骤可知：当时，等式的左边是，应选答案D．7、D【解题分析】令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.故常数项==-40+80=408、B【解题分析】

根据组合数的公式，列出方程，求出的值即可．【题目详解】∵，∴，或，解得（不合题意，舍去），或；∴的值是1．故选：B．【题目点拨】本题考查了组合数公式的应用问题，是基础题目．9、B【解题分析】1+x-x210=（-1-x+x2）10=[（x2-x）-1]10

的展开式的通项公式为C10rC10-rkx210-r-k-1k10、B【解题分析】

由，且，可得，展开并结合向量的数量积公式，可求出的值，进而求出夹角.【题目详解】由，且，得，则，即，故，则，故.又，所以.故选：B【题目点拨】本题考查向量夹角的求法，考查向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.11、C【解题分析】

求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知，因此问题转化为求的最小值，根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小，即可求出的最小值，得到答案。【题目详解】由抛物线为可得焦点坐标，准线方程为：，由题可知求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知，因此求的最小值即求的最小值，根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小，所以又因为，所以周长的最小值为，故答案选C【题目点拨】本题考查抛物线的定义，简单性质的应用，判断出、、三点共线时最小，是解题的关键，属于中档题。12、A【解题分析】

首先根据双曲线的焦距得到，再求焦点到渐近线的距离即可.【题目详解】由题知：，，.到直线的距离.故选：A【题目点拨】本题主要考查双曲线的几何性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-4或2【解题分析】

当0时，；当时，．由此求出使成立的值．【题目详解】，当0时，解得当时，，解得故答案为-4或2.【题目点拨】本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14、【解题分析】分析：把换成，可得的递推式，从而得通项．详解：，，∴，∴数列是首项和公差都为－1的等差数列，∴，从而．故答案为．点睛：在已知项和前项和的关系中，常常得用得出的递推式，从而求得数列的通项公式，但有时也可转化为的递推式，得出与有关的数列是等差数列或等比数列，先求得，然后再去求．解题时要注意的求法．15、72【解题分析】

模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的的值，可得当时不满足条件，退出循环，输出的值为72.【题目详解】模拟程序的运行，可得满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，;满足条件，执行循环体，，；不满足条件，退出循环，输出的值为72,故答案为72【题目点拨】本题考查循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题．16、【解题分析】

根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，故可得到的值，再根据等腰三角形的内角为，求出的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.【题目详解】解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，且点在第一象限，故，等腰有一内角为，即，由余弦定理可得，，由双曲线的定义可得，，即，解得：.【题目点拨】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）由已知可得，函数为上的奇函数、且为增函数，由命题为真，则，所以，从而解得；（2）由集合，若为真，则，因为“为假，为真”等价于“、一真一假”，因此若真假，则；若假真，则.从而可得，实数的取值范围是.试题解析：∵函数是奇函数，∴，∵当时，，∴函数为上的增函数，∵，，∴，∴，若为真，则，解得（2），若为真，则，∵为假，为真，∴、一真一假，若真假，则；若假真，则综上，实数的取值范围是考点：1.函数性质的应用；2.命题的真假判断及其逻辑运算.18、（1）（2）【解题分析】

（1）先将表示为，然后利用裂项求和法可求出；（2）先求出数列的前项和，于是得出，然后利用作差法可求出数列的通项公式．【题目详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以.当时.；当时，.故【题目点拨】本题考查裂项法求和以及作差法求数列的通项公式，求通项要结合递推式的结构选择合适的方法求数列通项，求和则需考查数列通项的结构合理选择合适的求和方法进行计算，属于常考题．19、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）通过证明，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值.【题目详解】（1）平面，平面，所以，由已知条件得：，，所以平面.（2）由（1）结合已知条件以点为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则：各点坐标为，，，，，所以，，，，，设是平面的一个法向量，则，即：，取，则得：，同理可求：平面的一个法向量.设：平面和平面成角为，则.【题目点拨】此题考查线面垂直的证明和求二面角的余弦值，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，根据法向量的关系求解二面角的余弦值.20、（1）详见解析；（2）；（3）.【解题分析】

（1）根据圆柱性质可得,由圆的性质可得,即可证明平面;（2）先判断当三棱锥体积最大时的位置.过底面圆心作,即可得二面角的平面角为,根据所给线段关系解三角形即可求得,进而用反三角函数表示出即可.（3）将绕旋转到使其共面,且在的反向延长线上,结合余弦定理即可求得的最小值,也就是的最小值.【题目详解】（1）证明:因为是圆柱的母线,平面所以又因为是圆柱的底面直径所以,即又因为所以平面（2）当三棱锥体积最大时,底面积最大,所以到的距离最大,此时为设底面圆的圆心为,连接则,又因为所以平面因为,所以取中点,则过O作,垂足为则,所以为中点连接,由平面可知所以为二面角的平面角在中,,,所以则二面角的大小为（3）将绕旋转到使其共面,且在的反向延长线上,如下图所示:因为,,,,在中,由余弦定理可知则所以的最小值为【题目点拨】本题考查了线面垂直的判定,二面角的平面角作法及求法,空间中最短距离的求法,综合性较强,属于中档题.21、（I）；（II）；（III）有理项分别为，；.【解题分析】

在二项展开式的第六项的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值；在二项展开式中，令，可得展开式的所有项的系数之和；二项式的展开式的通项公式为，令为整数，可求出的值，即可求得展开式中所有的有理项．【题目详