2024届内蒙古自治区北京八中乌兰察布分校数学高二下期末综合测试模拟试题含解析

2024届内蒙古自治区北京八中乌兰察布分校数学高二下期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为，F是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆半径为A． B． C． D．2．已知集合，，则=（）A． B． C． D．3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的正整数a的可能取值的集合是（

）A． B．C． D．4．函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．5．设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6．已知，用数学归纳法证明时，从假设推证成立时，需在左边的表达式上多加的项数为（）A． B． C． D．17．已知函数，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．8．已知函数是奇函数，当时，，当时，，则的解集时（）A． B．C． D．9．在中，若，则自然数的值是（）A．7 B．8 C．9 D．1010．已知复数，为的共轭复数，则的值为（）A． B． C． D．11．（）A．1 B． C． D．12．已知分别为内角的对边，且成等比数列，且，则=（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数在闭区间上的最大值为__________．14．已知向量，，若与垂直，则实数__________．15．已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为______.16．设随机变量的分布列（其中），则___．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数的一个零点是．（1）求实数的值；（2）设，若，求的值域．18．（12分）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点.（1）证明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.20．（12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．21．（12分）在直角坐标系中直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）求直线的普通方程及曲线直角坐标方程；（2）若曲线上的点到直线的距离的最小值.22．（10分）已知函数，.（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求的最大值及取得最大值的x的集合.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值，也即为最小，当三点共线时取最小值．所以，解得，由内切圆的面积公式，解得．故选D．2、B【解题分析】

利用集合的基本运算定义即可求出答案【题目详解】已知集合，，利用集合的基本运算定义即可得：答案：B【题目点拨】本题考查集合的基本运算，属于基础题3、A【解题分析】由题意，循环依次为，，所以可能取值的集合为，故选A.4、D【解题分析】

先求出函数的定义域，确定内层函数的单调性，再根据复合函数的单调性得出答案．【题目详解】由题可得，即，所以函数的定义域为，又函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为，故选D．【题目点拨】本题考查对数函数的单调性和应用、复合函数的单调性、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．5、A【解题分析】试题分析：函数定义域是，，，设，则，设，则，，易知，即也即在上恒成立，所以在上单调递增，又，因此是的唯一零点，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，，函数至少有一个零点，则，．故选B．考点：函数的零点，用导数研究函数的性质．【名师点睛】本题考查函数的零点的知识，考查导数的综合应用，题意只要函数的最小值不大于0，因此要确定的正负与零点，又要对求导，得，此时再研究其分子，于是又一次求导，最终确定出函数的最小值，本题解题时多次求导，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，难度较大．6、B【解题分析】

分别计算和时的项数，相减得到答案.【题目详解】时，，共有项.时，，共有项.需在左边的表达式上多加的项数为：故答案选B【题目点拨】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的计算能力.7、B【解题分析】

先求出导函数，再分别讨论，，的情况，从而得出的最大值【题目详解】由题可得：；（1）当时，则，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）当时，则在恒成立，则函数在上单调递增，当时，，故不可能恒有；（3）当时，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，则，对任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，则在上所以单调递增，在上单调递减，所以；所以的最大值为；综述所述，的最大值为；故答案选B【题目点拨】本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题。8、A【解题分析】

对的范围分类讨论，利用已知及函数是奇函数即可求得的表达式，解不等式即可．【题目详解】因为函数是奇函数，且当时，所以当，即：时，，当，即：时，可化为：，解得：.当，即：时，利用函数是奇函数，将化为：，解得：所以的解集是故选A【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性应用，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题．9、B【解题分析】

利用二项式的通项公式求出的表达式,最后根据,解方程即可求出自然数的值.【题目详解】二项式的通项公式为：,因此,,所以,解得.故选B.【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用,考查了数学运算能力.10、D【解题分析】试题分析：,故选D.考点：1.复数的运算；2.复数相关概念.11、D【解题分析】

根据微积分基本原理计算得到答案.【题目详解】.故选：.【题目点拨】本题考查了定积分，意在考查学生的计算能力.12、C【解题分析】因为成等比数列，所以,利用正弦定理化简得：,又，所以原式=所以选C.点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

先求出函数的导数，在闭区间上，利用导数求出函数的极值，然后与进行比较，求出最大值.【题目详解】，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以是函数的极大值点，即，，，所以函数在闭区间上的最大值为3.【题目点拨】本题考查了闭区间上函数的最大值问题.解决此类问题的关键是在闭区间上先利用导数求出极值，然后求端点的函数值，最后进行比较，求出最大值.14、-1【解题分析】

由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程，解方程即可求得实数k的值.【题目详解】由平面向量的坐标运算可得：，与垂直，则，即：，解得：.【题目点拨】本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15、【解题分析】

由题意可得直线的斜率为，再由垂直可得曲线在处的切线斜率为，对曲线求导令导函数为可得的值.【题目详解】解：直线的斜率为,可得曲线在处的切线为，，当，，可得，可得，故答案：.【题目点拨】本题考查了直线与直线的垂直关系及导函数的几何意义的应用、导数的计算，属于中档题.16、【解题分析】

根据概率和为列方程，解方程求得的值.【题目详解】依题意，解得.故填【题目点拨】本小题主要考查随机变量分布列概率和为，考查方程的思想，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)a=1;(2).【解题分析】

分析：（1）令即可求得结果；（2）将原解析式代入，结合二倍角公式、辅助角公式等求得，将x的范围带入解析式，结合三角函数图像的性质即可求出值域.【题目详解】：（Ⅰ）依题意，得，即，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．．由得当即时，取得最大值2，当即时，取得最小值-1.所以的值域是【题目点拨】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典解答本题，关键在于能利用三角函数的公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.18、（1）见解析（2）【解题分析】分析：（1）求导，利用函数单调性证明即可．（2）分类讨论和,构造函数,讨论的性质即可得到a的范围．详解：（1）当时，，.设函数，则.当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当时，，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..如果，则当，且时，，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，.点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大．19、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）由得平面PAE，进而可得证；（2）先证得平面，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为和，设与平面所成角为，则，代入计算即可得解.【题目详解】（1）证明：连接，因为，为线段的中点，所以.又，，所以为等边三角形，.因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：设，则，因为，所以，同理可证，所以平面.如图，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.易知为二面角的平面角，所以，从而.由，得.又由，，知，.设平面的法向量为，由，，得，不妨设，得.又，，所以.设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.【题目点拨】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）分别在、和三种情况下讨论，去掉绝对值求得结果；（Ⅱ）由解集不是空集可知：且；利用绝对值三角不等式求得，解不等式求得结果.【题目详解】（Ⅰ）当时，不等式为当时，，解得：；当时，，显然不等式不成立；当时，则，解得：综上可得，不等式的解集为：或（Ⅱ）不等式的解集不是空集，则，且，即又，解得：实数的取值范围是【题目点拨】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式求最值、恒成立思想的应用等知识，关键是能够将不等式解集不是空集转化为参数与函数最值之间的比较，从而利用绝对值三角不等式求得最值，属于常考题型.21、（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.【解题分析】

(1)直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.(2)计算圆心到直线的距离，判断相离，再利用公式得到答案.【题目详解】解：（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为（2）曲线的圆心到直线的距离所以直线与圆相离，则曲线上的点到直线的距离的最小值为【题目点拨】本题考查了参数方程和极坐标方程，将圆上的