2024届吉林省蛟河市第一中学校数学高二第二学期期末检测试题含解析

2024届吉林省蛟河市第一中学校数学高二第二学期期末检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则（）A． B． C． D．2．已知实数，则的大小关系是()A． B． C． D．3．已知复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数（）A． B． C． D．4．用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上（）A．增加一项 B．增加项C．增加项 D．增加项5．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（）A．18 B．24 C．30 D．366．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A． B． C． D．7．复数为虚数单位）的虚部为（）A． B． C． D．8．ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则（）A． B． C． D．9．已知函数，的图象过点，且在上单调，的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，若存在两个不相等的实数，满足，则（）A． B． C． D．10．如图，阴影部分的面积是（）A． B． C． D．11．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝()A．5 B．6 C．7 D．812．已知等差数列的前项和为，若，则（）A．3 B．9 C．18 D．27二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．观察下面几个算式：；；；1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25.利用上面算式的规律，计算______14．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前n项和为，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______．15．已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，则p（X>4）=16．某种产品每箱装6个,其中有4个合格,2个不合格,现质检人员从中随机抽取2个进行检测,则检测出至少有一个不合格产品的概率是_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.18．（12分）已知曲线在处的切线方程为.（Ⅰ）求值.（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围.19．（12分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.点的直角坐标为，直线与曲线交于两点.（Ⅰ）写出点的极坐标和曲线的普通方程；（Ⅱ）当时，求点到两点的距离之积.20．（12分）选修4-5：不等式选讲（1）已知，且，证明；（2）已知，且，证明.21．（12分）在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值.22．（10分）设等差数列的公差为d、前n项和为，已知，．（1）求数列的通项公式：（2）令，求数列的前n项和．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

结合函数、不等式及绝对值含义判断即可【题目详解】对，若，则，但推不出，故错；对，若，设，则函数为增函数，则，故错；对，若，但推不出，故错误；对，设，则函数为增函数，当时，，则，故正确；故选：D【题目点拨】本题考查由指数、对数、幂函数及绝对值的含义比大小，属于基础题2、B【解题分析】

根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．【题目详解】解：∵，∴，，．∴．故选：B．【题目点拨】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3、A【解题分析】

利用等式把复数z计算出来，然后计算z的共轭复数得到答案.【题目详解】，则.故选A【题目点拨】本题考查了复数的计算和共轭复数,意在考查学生对于复数的计算能力和共轭复数的概念,属于简单题.4、D【解题分析】

明确从变为时，等式左端的变化，利用末尾数字作差即可得到增加的项数.【题目详解】当时，等式左端为：当时，等式左端为：需增加项本题正确选项：【题目点拨】本题考查数学归纳法的基础知识，关键是明确等式左端的数字变化规律.5、C【解题分析】

由于选出的3名学生男女生都有，所以可分成两类，一类是1男2女，一类是2男1女.【题目详解】由于选出的3名学生男女生都有，所以可分成两类：（1）3人中是1男2女，共有；（2）3人中是2男1女，共有；所以男女生都有的选法种数是.【题目点拨】本题考查分类与分步计算原理，考查分类讨论思想及简单的计算问题.6、C【解题分析】

根据椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,通过计算可知高相等时截面面积相等,因而由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.【题目详解】由椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点、上底面为底面的圆锥当截面与底面距离为时，截圆锥得到的截面小圆半径为则，即所以截面面积为把代入椭圆方程，可求得所以橄榄球形状几何体的截面面积为由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积为故选:C【题目点拨】本题考查了类比推理的综合应用,空间几何体体积的求法,属于中档题.7、B【解题分析】

由虚数的定义求解．【题目详解】复数的虚部是－1．故选：B．【题目点拨】本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础．8、D【解题分析】

边化角，再利用三角形内角和等于180°，全部换成B角，解出即可【题目详解】（）【题目点拨】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题．9、A【解题分析】

由图像过点可得，由的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，可知，结合在上单调，从而得到，由此得到的解析式，结合图像，即可得到答案。【题目详解】因为的图象过点，则，又，所以.一方面，的图象向左平移单位后得到的图象与原函数图象重合，则，即，化简可知．另一方面，因为在上单调，所以，即，化简可知.综合两方面可知．则函数的解析式为，结合函数图形，因为，当时，，结合图象可知则，故选A．【题目点拨】本题主要考查正弦函数解析式的求法，以及函数图像的应用，考查学生的转化能力，属于中档题。10、C【解题分析】

运用定积分的性质可以求出阴影部分的面积.【题目详解】设阴影部分的面积为，则.选C【题目点拨】考查了定积分在几何学上的应用，考查了数学运算能力.11、B【解题分析】试题分析：由题意可知,,,即,,解得．故B正确．考点：1二项式系数；2组合数的运算．12、D【解题分析】设等差数列的首项为，公差为.∵∴，即∴∴故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、10000【解题分析】观察归纳中间数为2，结果为4＝22；中间数为3，结果为9＝32；中间数为4，结果为16＝42；于是中间数为100，结果应为1002＝10000.故答案为：10000点睛：这个题目考查的是合情推理中的数学式子的推理；一般对于这种题目，是通过数学表达式寻找规律，进而得到猜想．或者通过我们学习过程中的一些特例取归纳推理，注意观察题干中的式子的规律，以免出现偏差．14、6【解题分析】

设等比数列{an}的公比q，由于是正项的递增等比数列，可得q＞1．由a1+a5=82，a2•a4=81=a1a5，∴a1，a5，是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a1，a5，利用通项公式可得q，an．利用等比数列的求和公式可得数列{}的前n项和为Tn．代入不等式2019|Tn﹣1|＞1，化简即可得出．【题目详解】数列为正项的递增等比数列，，a2•a4=81=a1a5，即解得，则公比，∴，则，∴，即，得，此时正整数的最大值为6.故答案为6.【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15、0.1587【解题分析】

P(3≤X≤4)=12P(2≤X≤4)=0.3413,

观察如图可得,

∴P(X>4)=0.5-P(3≤X≤4)=0.5-0.3413

=0.1587考点：正态分布点评：随机变量～N(μ,δ2)中，16、【解题分析】

首先明确试验发生包含的事件是从6个产品中抽2个，共有种结果，满足条件的事件是检测出至少有一个不合格产品，共有种结果，根据古典概型概率公式得到结果.【题目详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，因为试验发生包含的事件是6个产品中抽取2个，共有种结果，满足条件的事件是检测出至少有一个不合格产品，共有种结果，所以检测出至少有一个不合格产品的概率是，故答案是：.【题目点拨】该题考查的是有关等可能事件的概率的求解问题，在解题的过程中，注意对试验所包含的基本事件数以及满足条件的基本事件数，以及概率公式，属于简单题目.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或(2)【解题分析】

运用分类讨论去绝对值，然后求出不等式结果由题意得，结合解集得出不等式组求出结果【题目详解】（1）即①当时，原不等式化为，即，解得，∴；②当时，原不等式化为，即，解得，∴.③当时，原不等式化为，即，解得，∴∴不等式的解集为或.（2）不等式可化为问题转化为在上恒成立，又，得∴，∴.【题目点拨】本题考查了含有绝对值问题的不等式，首先需要进行分类讨论去掉绝对值，然后求出不等式结果，在第问中需要进行转化，继而只有一个绝对值问题求解。18、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解题分析】

（Ⅰ）利切点为曲线和直线的公共点，得出，并结合列方程组求出实数、的值；（Ⅱ）解法1：由，得出，将问题转化为直线与曲线的图象有两个交点时，求出实数的取值范围，然后利用导数研究函数的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数的取值范围；解法2：利用导数得出函数的极小值为，并利用极限思想得出当时，，结合题意得出，从而得出实数的取值范围．【题目详解】（Ⅰ），，；（Ⅱ）解法1：，函数有两个零点，相当于曲线与直线有两个交点.，当时，在单调递减，当时，在单调递增，时，取得极小值，又时，；时，，；解法2：，，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，时，取得极小值，又时，，.【题目点拨】本题考查导数的几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式；（2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率．19、(1)见解析;(2).【解题分析】分析：⑴由极坐标方程求出点的极坐标，运用求得曲线的普通方程⑵将代入，求出直线的参数方程，然后计算出结果详解：（Ⅰ）由得，又得，∴点的极坐标为.由得，所以有，由得，所以曲线的普通方程为：.（Ⅱ）因为，点在上，∴直线的参数方程为：，将其代入并整理得，设所对应的参数分别为，且有，所以.点睛：本题考查了极坐标和普通方程之间的转化，运用代入化简即可，在求距离时可以运用参数方程来解答，计算量减少20、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）由展开利用基本不等式证明即可；（2）由，结合条件即可得解.【题目详解】证明：（1）因为，当时等号成立.（2）因为，又因为，所以，，，∴.当时等号成立，即原不等式成立.【题目点拨】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.21、（1）见解析；（2）．【解题分析】试题分析：由题意可证得两两垂直，建立空间直角坐标系求解．（1）通过证明，可得．（2）由题意可得平面的一个法向量为，又可求得平面的法向量为，故可求得，结合图形可得平面与平面所成的二面角为锐角，由此可得所求余弦值．试题解析：（1）∵平面平面平面，∴，又，∴两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直