常熟中学2024届数学高二第二学期期末联考试题含解析

常熟中学2024届数学高二第二学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，，都为正数，那么，用反证法证明“三个数，，至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是（）A．这三个数都不大于2 B．这三个数都不小于2C．这三个数至少有一个不大于2 D．这三个数都小于22．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种3．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若，则（）A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3，2} D．{3，0，1，2}4．若函数在处的导数为，则为A． B． C． D．05．已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A．1 B．2 C． D．6．定积分（）A． B． C． D．7．已知，则（）A． B． C． D．8．一物体做直线运动，其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s=5t-t2，则该物体在A．-1m/s B．1m9．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，2010．二项式展开式中的常数项为（）A． B．C． D．11．设函数，则的图象大致为（）A． B．C． D．12．已知全集U＝{x∈Z|0<x<10}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则(∁UA)∩B＝()A．{6，8} B．{2，4} C．{2，6，8} D．{4，8}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量服从正态分布，若，，则．14．已知集合，集合，那么集合的子集个数为___个．15．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最小值为__________．16．在中，角，，的对边分别是，，，，若，则的周长为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．18．（12分）给出如下两个命题：命题，；命题已知函数，且对任意，，，都有，求实数的取值范围，使命题为假，为真.19．（12分）在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足.(1)求(2)由(1)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．20．（12分）如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面是等腰直角三角形,且,侧面⊥底面.(1)若分别为棱的中点,求证:∥平面；(2)棱上是否存在一点,使二面角成角，若存在,求出的长；若不存在,请说明理由.21．（12分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．22．（10分）已知复数，为虚数单位，且复数为实数．（1）求复数；（2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：利用反证法和命题的否定分析解答.详解：“三个数，，至少有一个不小于2”的否定是“这三个数都小于2”，所以做出与命题结论相矛盾的假设是这三个数都小于2.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数a,b,c至少有一个不小于m的否定是三个数都小于m.2、B【解题分析】由分步计数原理得，可选方式有2×3＝6种．故选B．考点：分步乘法计数原理．3、B【解题分析】分析：由求出a的值，再根据题意求出b的值，然后由并集运算直接得答案.详解：由，，即，，则.故选：B.点睛：本题考查了并集及其运算，考查了对数的运算，是基础题.4、B【解题分析】

根据函数的导数的极限定义进行转化求解即可．【题目详解】，故选：B．【题目点拨】本题主要考查函数的导数的计算，结合导数的极限定义进行转化是解决本题的关键．5、D【解题分析】

先求出复数z，然后根据公式，求出复数的模即可.【题目详解】，，.故选D.【题目点拨】本题主要考查复数的模计算，较基础.6、A【解题分析】

先根据定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数与，所围成的图形的面积，在求出，可得答案.【题目详解】解：由定积分的几何意义可知是由曲线与，所围成的图形的面积，也就是单位圆的，故，，故，故选：A.【题目点拨】本题主要考查定积分的有关计算，属于基础题，注意运算准确.7、D【解题分析】

利用同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可求值得解．【题目详解】∵cosθ•tanθ＝sinθ，∴sin（）＝cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2．故选D．【题目点拨】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8、A【解题分析】

先对s求导，然后将t=3代入导数式，可得出该物体在t=3s时的瞬时速度。【题目详解】对s=5t-t2求导，得s'因此，该物体在t=3s时的瞬时速度为-1m/s，故选：A。【题目点拨】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题。9、A【解题分析】

由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.【题目详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，样本容量为：，抽取的高中生近视人数为：，故选A.【题目点拨】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.10、B【解题分析】

求出二项展开式的通项，使得的指数为，即可得出常数项.【题目详解】通项为常数项为故选：B【题目点拨】本题主要考查了利用二项式定理求常数项，属于基础题.11、A【解题分析】

根据可知函数为奇函数，根据奇函数性质，排除；根据时，的符号可排除，从而得到结果.【题目详解】，为上的奇函数，图象关于原点对称，且，可排除，；又，当时，，当时，，可排除，知正确.故选：.【题目点拨】本题考查函数图象的辨析问题，解决此类问题通常采用排除法来进行求解，排除依据通常为：奇偶性、特殊值符号和单调性.12、A【解题分析】

先化简已知条件,再求.【题目详解】由题得,因为,,故答案为A【题目点拨】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.8【解题分析】分析：先根据正态分布曲线对称性求，再根据求结果.详解：因为正态分布曲线关于对称，所以,因此点睛：利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.14、1．【解题分析】

可以求出集合M，N，求得并集中元素的个数，从而得出子集个数．【题目详解】∵M＝{﹣1，1}，N＝{1，2}；∴M∪N＝{﹣1，1，2}；∴M∪N的子集个数为23＝1个．故答案为：1．【题目点拨】本题考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算，子集的定义，以及集合子集个数的求法．15、.【解题分析】分析：过P、Q分别作准线的垂线PA、QB，垂足分别是A、B，设，，可得，由余弦定理得：，进而根据基本不等式，求得的取值范围，从而得到本题答案.详解：如图：过P、Q分别作准线的垂线PA、QB，垂足分别是A、B，设，，由抛物线定义，得，在梯形中，，，由余弦定理得：，则的最小值为.故答案为：.点睛：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题.16、【解题分析】由题意，所以，且由余弦定理，得，所以所以的周长为.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）先证平面CMD,得,再证，进而完成证明．（2）先建立空间直角坐标系，然后判断出的位置，求出平面和平面的法向量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值．【题目详解】解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.又BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点.由题设得，设是平面MAB的法向量,则即可取.是平面MCD的法向量,因此，，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.【题目点拨】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题．18、【解题分析】

判断命题的否定为真时，实数的取值范围，从而得到命题为真时实数的取值范围，化简不等式可知只需在上是减函数。取绝对值讨论在不同区间内的解集即可。【题目详解】由已知，若命题，，是真命题令则在区间没有零点令，可得，其对称轴为要使得在区间没有零点即解得实数的取值范围为则当命题p为真时，因为，所以，。设，依题意，在上是减函数，。①当时，

，。令，得：对恒成立。设，则。因为，所以。所以在上是增函数，则当时，有最大值为，所以。②当时，

，。令，得：。设，则，所以在上是增函数。所以，所以。综合①②，又因为在上是图形连续不断的，所以。故若q为真，则则p真q假为则q真p假综上【题目点拨】本题主要考查了转化化归的思想以及导数的应用，存在性的命题可将其转化为否定命题，进而得到原命题的真假，属于难题.19、(1)见解析.(2)见解析.【解题分析】试题分析：（I）由，n分别取1，2，3，代入计算，即可求得结论，猜想；（II）用数学归纳法证明的关键是n=k+1时，变形利用归纳假设．试题解析：(1)当时，，∴或(舍,).当时，，∴．当时，，∴．猜想：.(2)证明：①当时，显然成立．②假设时，成立，则当时，,即∴.由①、②可知，，.点睛：数学归纳法两个步骤的关系：第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第一步无第二表，属于不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无第一步中，则第二步中的假设就失去了基础．只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数n都成立．20、(1)见解析(2)【解题分析】

分析：（1）取中点,连结,由三角形中位线定理可得,可证明四边形为平行四边形,可得,由线面平行的判定定理可得结论；（2）取中点,连结、,先证明、、两两垂直.以为原点,分别以、、正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量，平面的法向量为，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.详解：(1)取中点,连结,∵分别为、中点，∴//,,又点为中点,∴且,∴四边形为平行四边形,∴∥,又平面,平面,∴∥平面.(2)取中点,连结、,∵是以为直角的等腰直角三角形,又为的中点,∴,又平面⊥平面,由面面垂直的性质定理得⊥平面,又平面,∴⊥,由已知易得:、、两两垂直.以为原点,分别以、、正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,则,设,则:,.设平面ABF的法向量为,则,∴,令,则,∴.又平面的法向量为,由二面角成角得:,∴,解得:,或不合题意,舍去.