2024届北京市对外经贸大学附属中学数学高二第二学期期末复习检测模拟试题含解析

2024届北京市对外经贸大学附属中学数学高二第二学期期末复习检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（）A．5 B．6 C．7 D．82．设是实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知函数，若对于任意的，都有成立，则的最小值为（）A．4 B．1 C． D．25．“已知函数，求证：与中至少有一个不少于.”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是（）A．假设且B．假设且C．假设与中至多有一个不小于D．假设与中至少有一个不大于6．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）A． B． C． D．7．若动点与两定点，的连线的斜率之积为常数，则点的轨迹一定不可能是（）A．除两点外的圆 B．除两点外的椭圆C．除两点外的双曲线 D．除两点外的抛物线8．已知函数，表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为，有以下命题：①的解析式为；②的极值点有且仅有一个；③的最大值与最小值之和等于零.其中正确的命题个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个9．若随机变量的数学期望，则的值是()A． B． C． D．10．函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．1611．设随机变量X~N（0，1），已知，则（）A．0.025 B．0.050C．0.950 D．0.97512．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数对应的点在第四象限；③若是纯虚数，则实数；④若，则；⑤“复数为纯虚数”是“”的充要条件；⑥复数；⑦复数满足；⑧复数为实数.其中正确命题的是______.（填序号）14．已知函数,若对任意,存在,，则实数的取值范围为_____.15．已知某运动员每次投篮命中的概率都为.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出到之间取整数值的随机数，指定，，，表示命中，，，，，，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了组随机数：据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________.16．已知函数，则=______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：（1）圆C的直角坐标方程；（2）圆C的极坐标方程．18．（12分）甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是34，乙猜对歌名的概率是23，丙猜对歌名的概率是(I)求该小组未能进入第二轮的概率；(Ⅱ)记乙猜歌曲的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，(1)若B1C=1，求直线AB(2)在(1)的条件下，求二面角A1(3)若B1C=2，CG⊥平面A1ABB1，G为垂足，令CG=pCA+qCB+rCB20．（12分）2018年6月14日，国际足联世界杯足球赛在俄罗斯举行了第21届赛事.虽然中国队一如既往地成为了看客，但中国球迷和参赛的32支队伍所在国球迷一样，对本届球赛热情似火，在6月14日开幕式的第二天，我校足球社团从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：收看没收看男生6020女生2020（1）根据上表说明，能否有99%的把握认为，是否收看开幕式与性别有关?（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加志愿者宣传活动.（i）问男、女学生各选取了多少人？（ⅱ）若从这12人中随机选取3人到校广播站开展足球项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X，写出X的分布列，并求.附：，其中.0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.87921．（12分）选修4一5:不等式选讲已知函数，.(1)当时,解不等式；(2)若对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.22．（10分）已知函数有两个不同极值点，且.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】，故输出.2、B【解题分析】

求解不等式，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【题目详解】解：设是实数，若“”则：，即：，不能推出“”若：“”则：，即：，能推出“”由充要条件的定义可知：是实数，则“”是“”的必要不充分条件；故选：B．【题目点拨】本题考查了充分条件和必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3、A【解题分析】

记，由可得，所以为奇函数，又当时，，结合奇函数性质，可得在上单调递减，处理，得，所以，可得出的范围.【题目详解】解：因为，所以记，则所以为奇函数，且又因为当时，，即所以当时，，单调递减又因为为奇函数，所以在上单调递减若则即所以所以故选：A.【题目点拨】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合运用，利用导数研究函数的单调性，构造函数法解决抽象函数问题，观察结构特点巧妙构造函数是关键.4、D【解题分析】

由题意得出的一个最大值为，一个最小值为，于此得出的最小值为函数的半个周期，于此得出答案．【题目详解】对任意的，成立.所以，，所以，故选D．【题目点拨】本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．5、B【解题分析】分析：因为与中至少有一个不少于的否定是且，所以选B.详解：因为与中至少有一个不少于的否定是且，故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)两个数中至少有一个大于等于a的否定是两个数都小于a.6、C【解题分析】

由三视图还原原几何体，可知该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中为等腰直角三角形，，再由棱锥体积剪去棱锥体积求解.【题目详解】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中为等腰直角三角形，，

∴该几何体的体积，

故选：C.【题目点拨】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题.7、D【解题分析】

根据题意可分别表示出动点与两定点的连线的斜率,根据其之积为常数，求得和的关系式，对的范围进行分类讨论，分别讨论且和时，可推断出点的轨迹.【题目详解】因为动点与两定点，的连线的斜率之积为常数，所以，整理得，当时，方程的轨迹为双曲线；当时，且方程的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹为圆，抛物线的标准方程中，或的指数必有一个是1,故点的轨迹一定不可能是抛物线，故选D.【题目点拨】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法①求动点的轨迹方程的.8、C【解题分析】

首先利用导数的几何意义及函数过原点，列方程组求出的解析式，则命题①得到判断；然后令，求出的极值点，进而求得的最值，则命题②③得出判断．【题目详解】∵函数的图象过原点，∴．又，且在处的切线斜率均为，∴，解得，∴．所以①正确．又由得，所以②不正确．可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的极大值为，极小值为，又，∴，∴的最大值与最小值之和等于零．所以③正确．综上可得①③正确．故选C．【题目点拨】本题考查导数的几何意义的应用以及函数的极值、最值的求法，考查运算能力和应用能力，属于综合问题，解答时需注意各类问题的解法，根据相应问题的解法求解即可．9、C【解题分析】分析：由题意结合二项分布数学期望的计算公式求解实数p的值即可.详解：随机变量则的数学期望，据此可知：，解得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项分布的数学期望公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10、C【解题分析】

试题分析：根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．解：∵x=﹣2时，y=loga1﹣1=﹣1，∴函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，=（）（2m+n）=4+++2≥4+2•=8，当且仅当m=，n=时取等号．故选C．考点：基本不等式在最值问题中的应用．11、C【解题分析】本题考查服从标准正态分布的随机变量的概率计算．，选C．12、B【解题分析】

由三视图得到该几何体为三棱锥，底面是等腰直角三角形，且，三棱锥的高为1．再由棱锥体积公式求解．【题目详解】由三视图还原原几何体，如图所示，该几何体为三棱锥，底面是等腰直角三角形，且，三棱锥的高为1．∴该三棱锥的体积．故选B．【题目点拨】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、⑧【解题分析】

根据复数的定义和性质，依次判断每个选项得到答案.【题目详解】①当复数虚部为0时可以比较大小，①错误；②复数对应的点在第二象限，②错误；③若是纯虚数，则实数，③错误；④若，不能得到，举反例，④错误；⑤“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件，⑤错误；⑥复数，取，不能得到，⑥错误；⑦复数满足，取，，⑦错误；⑧复数为实数，根据共轭复数定义知⑧正确.故答案为：⑧.【题目点拨】本题考查了复数的性质，定义，意在考查学生对于复数知识的理解和掌握.14、【解题分析】

利用导数求函数f（x）在（﹣1，1）上的最小值，把对任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2）转化为g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1有解．【题目详解】解：由f（x）＝ex﹣x，得f′（x）＝ex﹣1，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝1．对任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2），即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1，函数g（x）＝x2﹣bx+4的对称轴为x＝．当≤3，即b≤6时，g（x）在（3，4）上单调递增，g（x）＞g（3）＝13﹣3b，由13﹣3b≤1，得b≥4，∴4≤b≤6；当≥4，即b≥2时，g（x）在（3，4）上单调递减，g（x）＞g（4）＝20﹣4b，由20﹣4b≤1，得b≥，∴b≥2；当3＜＜4，即6＜b＜2时，g（x）在（3，4）上先减后增，，由≤1，解得或b，∴6＜b＜2．综上，实数b的取值范围为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．【题目点拨】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力，是中档题．15、0.25【解题分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.共5组随机数，∴所求概率为.答案为：0.25.16、【解题分析】

先求内层函数值，再求外层函数值.【题目详解】根据题意，函数，则，则；故答案为．【题目点拨】本题主要考查分段函数求值问题，分段函数的求值问题主要是利用“对号入座”策略.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）．（2）．【解题分析】试题分析：利用消去参数可得圆的直角坐标方程，再利用公式可把直角坐标方程化为极坐标方程.试题解析：（1）圆的直角坐标方程为．5分（2）把代入上述方程，得圆的极坐标方程为．10分考点：参数方程与普通方程的互化，普通方程与极坐标方程的互化.18、（Ⅰ）34（Ⅱ）ξ的分别列为Eξ=0×1【解题分析】试题分析：（1）分别将甲、乙、丙第i次猜对歌名记为事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)，则A（2）利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出．试题解析：分别将甲、乙、丙第i次猜对歌名记为事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)，则（Ⅰ）该小组未能进入第二轮的概率P=P(=P(A（Ⅱ）乙猜对歌曲次数ξ的可能取值为0,1,2,3，P(ξ=0)=P(AP(ξ=1)=P(A=P(=1P(ξ=2)=P(A==1P(ξ=3)=P(A∴ξ的分别列为Eξ=0×1点睛：本题考查了相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19、（1）π6；（2）3π4；（3）q=49，【解题分析】

(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设平面A1ACC1的法向量为n=(x,y，z)，则n(2)在(1)的条件下，平面A1ACC1的法向量为n=(1,0，1)，取平面ABC的法向量m=(0,0，(3)作CM⊥AB，M为垂足.由B1C⊥平面ABC.可得B1C⊥AB，AB⊥平面MCB作CG⊥MB1，垂足为G，则CG⊥平面ABB1.利用三角形面积计算公式、勾股定理及其CG=pCA【题目详解】解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，C(0,0，0)，B1(0,0，1)，A(0,-1,0)，CA=(0,-1,0)，CC1=(-1,0，设平面A1ACC1的法向量为n=(x,y∴-y=-x+z=0，取x=1，则n=(1,0，1)cos<∴直线AB1与平面A1(2)在(1)的条件下，平面A1ACC1的法向量为取平面ABC的法向量m=(0,0，1)则cos<由图可知：二面角A1∴二面角A1-AC-B的平面角为(3)作CM⊥AB，M为垂足．由B1C⊥平面又B1∴AB⊥平面MCB∴平面B1CM⊥平面作CG⊥MB1，垂足为G，则CG⊥平面在Rt△MCB1，CM=AC×CBB1B1∴B可得CG=CBCG=pCA+qCB+rCB∴(49,-49∴q=49，p=4【题目点拨】本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、数量积的运算性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20、（1）有（2）（i）男生有9人，女生有3人.（ⅱ）见解析，【解题分析】

（1）套用公式，算出的值与6.635比较大小，即可得到本题答案；（2）（i）由男女的比例为3：1，即可得到本题答案；（ii）根据超几何分布以及离散型随机变量的均值公式，即可得到本题答案.【题目详解】（1）因为，所以有99%的把握认为，是否收看开幕式与性别有关.（2）（ⅰ）根据分层抽样方法得，男生人，女生人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人.（ⅱ）由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.，，，X0123P∴.【题目点拨】本题主要考查分层抽样，独立性检验的应用和超几何分布以及其分布列均值的求法，考查学生的运算求解能力.21、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）当时，，分段讨论即可；（2