山西省太原市2024届高二数学第二学期期末考试模拟试题含解析

山西省太原市2024届高二数学第二学期期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，将其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为（）A． B． C． D．2．在等差数列中，已知，数列的前5项的和为，则（）A． B． C． D．3．若复数满足，其中为虚数单位，则A． B． C． D．4．以下四个命题中，真命题的是（）A．B．“对任意的”的否定是“存在”C．，函数都不是偶函数D．中，“”是“”的充要条件5．“m≠0”是“方程=m表示的曲线为双曲线”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．过点且与直线垂直的直线方程是（）A． B．C． D．7．的展开式中的系数是（）A．58 B．62 C．52 D．428．设随机变量服从正态分布，若，则（）A． B． C． D．与的值有关9．以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线的渐近线方程是（）A． B．C． D．10．把4个苹果分给两个人，每人至少一个，不同分法种数有()A．6 B．12 C．14 D．1611．口袋中装有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任意取出3个小球，以表示取出球的最大号码，则()A． B． C． D．12．函数，则在点处的切线方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，若随机变量的分布列是：012则当变化时，的极大值是__________．14．直线与圆恒有交点，则实数a的取值范围是.15．已知复数是纯虚数，则实数_________.16．平面上画条直线，且满足任何条直线都相交，任何条直线不共点，则这条直线将平面分成__________个部分．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍的概率分别为,乙同学购买书籍的概率分别为,假设甲、乙是否购买三种书籍相互独立.（1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为,求的概率分布列和数学期望.18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.（1）求证：；（2）在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为，如果存在,求与平面所成角的正弦值；如果不存在,请说明理由.19．（12分）已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性：（Ⅱ）若函数的两个零点为，且，求证：.20．（12分）已知直三棱柱中，，.（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离.21．（12分）已知等比数列，的公比分别为，．（1）若，，求数列的前项和；（2）若数列，满足，求证：数列不是等比数列．22．（10分）已知函数，.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）已知，若使成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由平移变换得到，由偶函数的性质得到，从而求.【题目详解】由题意得：，因为为偶函数，所以函数的图象关于对称，所以当时，函数取得最大值或最小值，所以，所以，解得：，因为，所以当时，，故选B.【题目点拨】平移变换、伸缩变换都是针对自变量而言的，所以函数向右平移个单位长度后得到函数，不能错误地得到.2、C【解题分析】

由，可求出，结合，可求出及.【题目详解】设数列的前项和为，公差为，因为，所以，则，故.故选C.【题目点拨】本题考查了等差数列的前项和，考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题.3、B【解题分析】

由复数的除法运算法则化简，由此可得到复数【题目详解】由题可得；；故答案选B【题目点拨】本题主要考查复数的除法运算法则，属于基础题。4、D【解题分析】

解：A．若sinx＝tanx，则sinx＝tanx，∵x∈（0，π），∴sinx≠0，则1，即cosx＝1，∵x∈（0，π），∴cosx＝1不成立，故∃x∈（0，π），使sinx＝tanx错误，故A错误，B．“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“存在x0∈R，x02+x0+1≤0”，故B错误，C．当θ时，f（x）＝sin（2x+θ）＝sin（2x）＝cos2x为偶函数，故C错误，D．在△ABC中，C，则A+B，则由sinA+sinB＝sin（B）+sin（A）＝cosB+cosA，则必要性成立；∵sinA+sinB＝cosA+cosB，∴sinA﹣cosA＝cosB﹣sinB，两边平方得sin2A﹣2sinAcosA+cos2A＝sin2B﹣2sinBcosB+cos2B，∴1﹣2sinAcosA＝1﹣2sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或A+B，当A＝B时，sinA+sinB＝cosA+cosB等价为2sinA＝2cosA，∴tanA＝1，即A＝B，此时C，综上恒有C，即充分性成立，综上△ABC中，“sinA+sinB＝cosA+cosB”是“C”的充要条件，故D正确，故选D．考点：全称命题的否定，充要条件等5、C【解题分析】

根据双曲线的标准方程进行判断．【题目详解】时，方程表示两条直线，时，方程可化为，时表示焦点在轴上的双曲线，时表示焦点在轴上的双曲线．故选C．【题目点拨】本题考查双曲线的标准方程，考查充分必要条件，解题关键是掌握双曲线的标准方程．6、B【解题分析】

先求出所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化简整理即得解.【题目详解】由题得直线的斜率为所以直线的方程为，即：故选B【题目点拨】本题主要考查相互垂直的直线的斜率关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7、D【解题分析】

由题意利用二项展开式的通项公式，赋值即可求出．【题目详解】的展开式中的系数是.选D.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的展开式以及赋值法求展开式特定项的系数．8、A【解题分析】分析：根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得，从而求出即可.详解：随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是，，而与关于对称，由正态曲线的对称性得：，故.故选：A.点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.9、D【解题分析】

由题求已知双曲线的焦点坐标，进而求出值即可得答案。【题目详解】由题可知双曲线的焦点坐标为，则所求双曲线的顶点坐标为，即，又因为离心率为，所以，解得，所以，即，所以渐近线方程是故选D【题目点拨】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题的关键是判断出焦点位置后求得，属于简单题。10、C【解题分析】

给两个人命名为甲、乙，根据甲分的苹果数进行分类即可求出．【题目详解】按照分给甲的苹果数，有种分法，故选C．【题目点拨】本题主要考查分类加法计数原理的应用．11、A【解题分析】

首先计算各个情况概率,利用数学期望公式得到答案.【题目详解】故.故本题正确答案为A.【题目点拨】本题考查了概率的计算和数学期望的计算,意在考查学生的计算能力.12、A【解题分析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程.详解：因为，所以所以切线方程为选A.点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】分析：先求，再根据二次函数性质求极大值.详解：因为，所以，当且仅当时取等号，因此的极大值是.点睛：本题考查数学期望公式以及方差公式：考查基本求解能力.14、【解题分析】

配方得，则，由已知直线和圆相交或相切，且直线过定点（0,1），只需点（0,1）在圆内或圆上，,则，综上所述的取值范围是.15、【解题分析】

将化简为的形式，根据复数是纯虚数求得的值.【题目详解】因为为纯虚数，所以.【题目点拨】本小题主要考查复数乘法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.16、【解题分析】分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。详解：1条直线将平面分成2个部分，即2条直线将平面分成4个部分，即3条直线将平面分为7个部分，即4条直线将平面分为11个部分，即，所以….根据累加法得所以点睛：本题综合考查了数列的累加法、归纳推理的综合应用。在解题过程中，应用归纳推理是解决较难题目的一种思路和方法，通过分析具体项，找到一般规律，再分析解决问题，属于中档题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）分布列见解析，.【解题分析】

（1）这是相互独立事件，所以甲购买书籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件为甲购买两本书和乙购买两本书的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【题目详解】（1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A，则.答：甲同学购买3种书籍的概率为.（2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为，.则，，所以，所以.，，.所以X的概率分布为X012P.答：所求数学期望为.【题目点拨】本题考查相互独立事件的概率，考查二项分布独立重复事件的概率的求法，解题的关键是找出基本事件的概率，属于中档题.18、（1）见解析（2）在线段上,存在一点,使得二面角的大小为，且与平面所成角正弦值为【解题分析】

（1）利用勾股定理得出，由平面，得出，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，于此得出；（2）设，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由解出的值，得出的坐标，则即为与平面所成角的正弦值.【题目详解】（1）∵，，∴，∴∵平面，∴，∴平面，平面，∴；（2）以为原点，以过平行于的直线为轴，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设，，，，设平面的法向量，则，即则，又平面的法向量为，∴解得：或（舍），，平面的法向量为，设与平面所成角为，则.【题目点拨】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的动点问题以及直线与平面所成角的计算，解题时要建立合适的坐标系，利用空间向量法来计算，另外就是对于动点的处理，要引入合适的参数表示动向量的坐标，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题．19、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析【解题分析】试题分析：（Ⅰ）由,可得在上单调增；在上单调增；在上单调减；（Ⅱ）根据有,由此可得,令,可以确定根据在上单调增,所以试题解析：（Ⅰ）函数,的定义域为,在上单调增；在上单调增；在上单调减.（Ⅱ）令,令,则令,令,则在上单调增,考点：函数的单调性；导数的应用.20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据直三棱柱的性质,可知直线与平面所成角即为,根据即可得解.（2）根据结合三棱锥体积求法即可得点到平面的距离.【题目详解】（1）画出空间几何体如下图所示:因为三棱柱为直三棱柱,所以即为直线与平面所成角因为,所以即直线与平面所成角为（2）因为直三棱柱中,,.所以则,设点到平面的距离为则所以即,解得所以点到平面的距离为【题目点拨】本题考查了直线与平面的夹角,点到平面距离的求法及等体积法的应用,属于基础题.21、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）分别求出，再得，仍然是等比数列，由等比数列前项和公式可得；（2）由已知，假设是等比数列，则，代入求得，与已知矛盾，假设错误．【题目详解】（1），，，则；证明：（2）假设数列是等比数列，可得，设数列的公比为，可得，因此有，即，因此有，与已知条件中不相等矛盾，因此假设不成立，故数列不是等比数列．【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式，前项和公式，考查否定性命题的证明．证明否定性命题可用反证法，假设结论的反面成立，结合已知推理出矛盾的结论，说明假设错误．也可直接证明，