2024届广东省东莞中学松山湖学校数学高二下期末教学质量检测试题含解析

2024届广东省东莞中学松山湖学校数学高二下期末教学质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．斐波那契螺旋线，也称“黄金蜾旋线”，是根据斐波那契数列（1，1，2，3，5，8…）画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．2．设方程的两个根为，则（）A． B． C． D．3．将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为()A． B．C． D．4．椭圆的左、右焦点分别为，弦过，若的内切圆的周长为，两点的坐标分别为，，则（）A． B． C． D．5．某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A． B． C． D．6．函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为()A．[，] B．[，3]C．[，] D．[，3]7．（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1 B．2C．4 D．88．已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部等于（）A．1 B．-1 C．2 D．-29．若抛物线,过其焦点的直线与抛物线交于两点,则的最小值为()A．6 B． C．9 D．10．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度11．已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为（）A．1 B． C．2 D．12．平面向量与的夹角为，则（）A．4 B．3 C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为抛物线上一个动点，定点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和的最小值是__________．14．复数（是虚数单位）的虚部为______．15．如图是一个算法流程图，若输入的值为2，则输出的值为_______..16．已知集合，集合，则_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的普通方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求.18．（12分）已知函数(为常数，是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与轴平行.（1）求的值；（2）求的单调区间.19．（12分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列.(1)求展开式的二项式系数的和；(2)求展开式中含的项.20．（12分）（1）解不等式:（2）设，求证：21．（12分）已知椭圆：的离心率为，短轴长为1．（1）求椭圆的标准方程；（1）若圆：的切线与曲线相交于、两点，线段的中点为，求的最大值．22．（10分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

根据几何概型的概率公式，分别求出阴影部分面积和矩形ABCD的面积，即可求得。【题目详解】由已知可得：矩形的面积为，又阴影部分的面积为，即点取自阴影部分的概率为，故选。【题目点拨】本题主要考查面积型的几何概型的概率求法。2、D【解题分析】

画出方程左右两边所对应的函数图像，结合图像可知答案。【题目详解】画出函数与的图像，如图结合图像容易知道这两个函数的图像有两个交点，交点的横坐标即为方程的两个根，结合图像可知，，根据是减函数可得，所以有图像可知所以即，则，所以，而所以故选D【题目点拨】本题考查对数函数与指数函数的图像与性质，解题的关键是画出图像，利用图像解答，属于一般题。3、A【解题分析】

利用代入法，即可得到伸缩变换的曲线方程．【题目详解】∵伸缩变换，∴xx′，yy′，代入曲线y＝sin2x可得y′＝3sinx′故选：A．【题目点拨】本题考查代入法求轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．4、A【解题分析】

设△ABF1的内切圆的圆心为G．连接AG，BG，GF1．设内切圆的半径为r，则1πr=π，解得r=．可得==•|F1F1|，即可得出．【题目详解】由椭圆=1，可得a=5，b=4，c==2．如图所示，设△ABF1的内切圆的圆心为G．连接AG，BG，GF1．设内切圆的半径为r，则1πr=π，解得r=．则==•|F1F1|，∴4a=|y1﹣y1|×1c，∴|y1﹣y1|==．故选C．【题目点拨】本题考查了椭圆的标准方程定义及其性质、三角形内切圆的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5、A【解题分析】所选的四人中至少有一名女生的选法为本题选择A选项.6、B【解题分析】

分析：由，求出的取值范围，从而求出的范围，从而可得的值域.详解：，，，，即在区间上的值域为，故选B.点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.7、C【解题分析】设公差为，，，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.8、A【解题分析】由题设可得，则复数的虚部等于，应选答案A。9、B【解题分析】分析：设直线方程为，联立方程组得出A，B两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出关于A，B两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值.详解：抛物线的焦点，设直线方程为，联立方程组，得，设，则，，由抛物线的性质得，.故选：B.点睛：本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.10、D【解题分析】因为把的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，所以，为了得到函数的图象，可以将函数的图象，向右平移个单位长度故选D.11、A【解题分析】

首先根据双曲线的焦距得到，再求焦点到渐近线的距离即可.【题目详解】由题知：，，.到直线的距离.故选：A【题目点拨】本题主要考查双曲线的几何性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于简单题.12、C【解题分析】

根据条件，得出向量的坐标，进行向量的和的计算，遂得到所求向量的模．【题目详解】由题目条件，两向量如图所示：可知则答案为2.【题目点拨】本题考查了向量的坐标和线性加法运算，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点的焦点的距离，设点到抛物线的准线的距离为，所以，可得当三点共线时，点到点的距离与点到准线的距离之和最小，所以最小值为.点睛：本题主要考查了抛物线的定义及其标准方程的应用，解答中把抛物线上的点到准线的距离转化为到抛物线的焦点的距离是解答的关键，这是解答抛物线最值问题的一种常见转化手段，着重考查了学生的转化与化归和数形结合思想的应用.14、1【解题分析】

先将复数化简，再求虚部即可【题目详解】，所以复数的虚部为：1故答案为1【题目点拨】本题考查复数的基本概念，在复数中，实部为，虚部为，属于基础题15、5【解题分析】

直接模拟程序即可得结论.【题目详解】输入的值为2，不满足，所以，故答案是：5.【题目点拨】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有程序框图的输出结果的求解，属于简单题目.16、{3，4}．【解题分析】

利用交集的概念及运算可得结果.【题目详解】，.【题目点拨】本题考查集合的运算，考查交集的概念与运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)，;(2).【解题分析】

（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；根据直线过原点，即可得的极坐标方程．（2）联立直线的极坐标方程与曲线的极坐标方程，根据极径的关系代入即可求得的值．【题目详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），得曲线的普通方程为，所以曲线的极坐标方程为，即.因为直线过原点，且倾斜角为，所以直线的极坐标方程为.（2）设点，对应的极径分别为，，由，得，所以，，又，，所以.【题目点拨】本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的转化，利用极坐标求线段和，属于中档题．18、（1）1；（2）单调递增区间为，单调递减区间为【解题分析】试题分析：(1)利用导函数与函数切线的关系得到关于实数k的方程，解方程可得k=1；(2)结合(1)的结论对函数的解析式进行求导可得，研究分子部分，令，结合函数h(x)的性质可得：的单调递增区间是（0，1）单调递减区间是.试题解析：（1）由题意得又，故(2)由（1）知，设，则即在上是减函数，由知，当时，，从而当时，，从而综上可知，的单调递增区间是（0，1）单调递减区间是19、（1）；（2）【解题分析】

列出二项展开式的通项公式，利用前三项系数成等差可求得；（1）根据展开式二项式系数和的性质可得结果；（2）根据展开式通项公式可知，当时为所求项，代入通项公式求得结果.【题目详解】二项展开式的通项公式为：展开式前三项的系数依次为，，，整理可得：解得：（舍）或二项展开式的通项公式为：（1）二项展开式的二项式系数的和为：（2）令，解得：展开式中含的项为【题目点拨】本题考查组合数的运算、二项展开式二项式系数和的性质、求指定项的问题，考查对于二项式定理的知识的掌握，属于常规题型.20、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）根据零点分段法，分三段建立不等式组，解出各不等式组的解集，再求并集即可.（2）运用柯西不等式，直接可以证明不等式，注意考查等号成立的条件，.【题目详解】（1）解：原不等式等价于或或即：或或故元不等式的解集为：（2）由柯西不等式得，，当且仅当，即时等号成立.所以【题目点拨】本题考查绝对值不等式得解法、柯西不等式等基础知识，考查运算能力.含绝对值不等式的解法：（1）定义法；即利用去掉绝对值再解（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（4）图象法或数形结合法；21、（1）；（1）【解题分析】试题分析:(1)待定系数法求椭圆方程;(1)借助韦达定理表示的最大值,利用二次函数求最值.试题解析:（I），所以,又，解得．所以椭圆的标准方程．（II）设，，，易知直线的斜率不为，则设．因为与圆相切，则，即；由消去，得，则，，，，即，，设，