陕西省西安市西安中学2024届数学高二第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

陕西省西安市西安中学2024届数学高二第二学期期末教学质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线的焦点坐标为A．（0，2） B．（2，0） C．（0，4） D．（4，0）2．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩3．已知随机变量服从的分布列为123…nP…则的值为（）A．1 B．2 C． D．34．如图所示，阴影部分的面积为（）A． B．1 C． D．5．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种 B．18种 C．24种 D．48种6．已知双曲线的一个焦点坐标为，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为()A． B． C． D．或7．若，则（）A．2 B．4 C． D．88．设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x增加一个单位时（）A．y平均增加2.5个单位 B．y平均增加2个单位C．y平均减少2.5个单位 D．y平均减少2个单位9．随机变量，且，则（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.8010．的展开式中的系数为A．10 B．20 C．40 D．8011．设x＝，y＝，z＝－，则x，y，z的大小关系是()A．x＞y＞z B．z＞x＞yC．y＞z＞x D．x＞z＞y12．椭圆的长轴长为（）A．1 B．2 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则__________．14．已知正项数列{an}满足，若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．15．若函数为奇函数，则___________.16．从包括甲乙两人的6名学生中选出3人作为代表，记事件：甲被选为代表，事件:乙没有被选为代表，则等于_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点.(1)求证：AE//平面PDC；(2)若BC＝CD＝PD，求直线AC与平面PBC所成角的余弦值.18．（12分）已知函数．（1）若，求函数的最大值；（2）令，讨论函数的单调区间；（3）若，正实数满足，证明.19．（12分）已知椭圆满足：过椭圆C的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为坐标原点，若点在直线上，点在椭圆C上，且，求线段长度的最小值.20．（12分）我们称点到图形上任意一点距离的最小值为点到图形的距离，记作（1）求点到抛物线的距离；（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；（3）试探究：平面内，动点到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹．21．（12分）已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值.22．（10分）双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）双曲线上有两个点，直线和的斜率之积为，判别是否为定值，；（3）经过点的直线且与双曲线有两个交点，直线的倾斜角是，是否存在直线（其中）使得恒成立？（其中分别是点到的距离）若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据抛物线标准方程求得，从而得焦点坐标．【题目详解】由题意，，∴焦点在轴正方向上，坐标为．故选A．【题目点拨】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．解题时要掌握抛物线四种标准方程形式．2、A【解题分析】

根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.【题目详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.【题目点拨】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.3、A【解题分析】

由概率之和为1，列出等式，即可求得k值.【题目详解】由概率和等于1可得：，即.故选A.【题目点拨】本题考查分布列中概率和为1，由知识点列式即可得出结论.4、B【解题分析】如图所示轴与函数围成的面积为,因此故选B.5、C【解题分析】试题分析：先将甲、乙两机看成一个整体，与另外一机进行全排列，共有种排列方法，且留有三个空；再从三个位置中将丙、丁两机进行排列，有种方法；由分步乘法计数原理，得不同的着舰方法有种.考点：排列组合.6、A【解题分析】分析：先利用双曲线的渐近线相互垂直得出该双曲线为等轴双曲线，再利用焦点位置确定双曲线的类型，最后利用几何元素间的等量关系进行求解.详解：因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即，又双曲线的一个焦点坐标为，所以，即，即该双曲线的方程为.故选D.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，要注意以下等价关系的应用：等轴双曲线的离心率为，其两条渐近线相互垂直.7、D【解题分析】

通过导数的定义，即得答案.【题目详解】根据题意得，，故答案为D.【题目点拨】本题主要考查导数的定义，难度不大.8、C【解题分析】试题分析：根据题意，对于回归方程为，当增加一个单位时，则的平均变化为，故可知平均减少个单位，故选C.考点：线性回归方程的应用.9、B【解题分析】分析：由及可得．详解：∵，∴．故选B．点睛：本题考查正态分布，若随机变量中，则正态曲线关于直线对称，因此有，（）．10、C【解题分析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。11、D【解题分析】

先对y,z分子有理化，比较它们的大小，再比较x,z的大小得解.【题目详解】y＝＝，z＝－＝，∵＋＞＋＞0，∴z＞y.∵x－z＝－＝＝＞0，∴x＞z.∴x＞z＞y.故答案为D【题目点拨】(1)本题主要考查比较法比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.12、B【解题分析】

将椭圆方程化成标准式，根据椭圆的方程可求，进而可得长轴.【题目详解】解：因为，所以，即，，所以，故长轴长为故选：【题目点拨】本题主要考查了椭圆的定义的求解及基本概念的考查，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-32【解题分析】

通过对原式x赋值1，即可求得答案.【题目详解】令可得，故答案为-32.【题目点拨】本题主要考查二项式定理中赋值法的理解，难度不大.14、.【解题分析】

先化简得到数列{an}是一个等比数列和其公比，再求数列{an}的前n项和.【题目详解】因为，所以，因为数列各项是正项，所以，所以数列是等比数列，且其公比为3，所以数列{an}的前n项和为.故答案为：【题目点拨】（1）本题主要考查等比数列性质的判定，考查等比数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)解答本题的关键是得到.15、【解题分析】

根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a的值，再将1代入即可求解【题目详解】∵函数为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即f（﹣x），∴（2x﹣1）（x+a）＝（2x+1）（x﹣a），即2x2+（2a﹣1）x﹣a＝2x2﹣（2a﹣1）x﹣a，∴2a﹣1＝0，解得a．故故答案为【题目点拨】本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．16、【解题分析】因为，所以。应填答案。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

（1）取的中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．（2）推导出，由，得，再推导出，，从而平面，，，，进而平面，连结，，则就是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的余弦值．【题目详解】解：（1）证明：取的中点，连结、，是的中点，，且，，，，且，四边形是平行四边形，，又平面，平面．（2）解：，是等腰三角形，，又，，平面，平面，，又，平面，平面，，，又，平面，连结，，则就是直线与平面所成角，设，在中，解得，，，在中，解得，在中，，直线与平面所成角的余弦值为．【题目点拨】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18、（1）f（x）的最大值为f（1）=1．（2）见解析（3）见解析【解题分析】试题分析：（Ⅰ）代入求出值，利用导数求出函数的极值，进而判断最值；（Ⅱ）求出，求出导函数，分别对参数分类讨论，确定导函数的正负，得出函数的单调性；（Ⅲ）整理方程，观察题的特点，变形得，故只需求解右式的范围即可，利用构造函数，求导的方法求出右式的最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以a=-2，此时f（x）=lnx-x2+x，f'（x）=-2x+1，由f'（x）=1，得x=1，∴f（x）在（1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f（x）的最大值为f（1）=1．

（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2-ax+1，∴g（x）=lnx-ax2-ax+x+1，当a=1时，g'（x）＞1，g（x）单调递增；当a＞1时，x∈（1，）时，g'（x）＞1，g（x）单调递增；x∈（，+∞）时，g'（x）＜1，g（x）单调递减；当a＜1时，g'（x）＞1，g（x）单调递增；（Ⅲ）当a=2时，f（x）=lnx+x2+x，x＞1，．由f（x1）+f（x2）+x1x2=1，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=1．从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2），．令t=x2x1，则由φ（t）=t-lnt得，φ'（t）=．可知，φ（t）在区间（1，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，正实数x1，x2，∴．19、（I）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）设出短轴端点的坐标，根据过右焦点与短轴端点的直线的倾斜角为，可以求出斜率，这样就可以求出，再根据右焦点，可求出，最后利用求出，最后写出椭圆标准方程；（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中，由，可得出等式，求出线段长度的表达式，结合求出的等式和基本不等式，可以求出线段长度的最小值.【题目详解】（I）设椭圆的短轴端点为（若为上端点则倾斜角为钝角），则过右焦点与短轴端点的直线的斜率，（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中,即就是，解得.又，且当时等号成立，所以长度的最小值为【题目点拨】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用基本不等式求线段长最小值问题，考查了数学运算能力.20、（1）（2）（3）见解析【解题分析】

(1)设A是抛物线上任意一点，先求出|PA|的函数表达式，再求函数的最小值得解；(2）由题意知集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，再求出面积；(3)将平面内到定圆的距离转化为到圆上动点的距离，再分点现圆的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．【题目详解】(1)设A是抛物线上任意一点，则，因为,所以当时，.点到抛物线的距离.（2）设线段的端点分别为，，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，，点集由如下曲线围成：，，，，，，，，集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，其面积为．(3)设动点为，当点在圆内不与圆心重合，连接并延长，交于圆上一点，由题意知，，所以，即的轨迹为一椭圆；如图．如果是点在圆外，由，得，为一定值，即的轨迹为双曲线的一支；当点与圆心重合，要使，则必然在与圆的同心圆，即的轨迹为一圆.【题目点拨】本题主要考查新定义的理解和应用，考查抛物线中的最值问题，考查轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21、（1）；（2）4.【解题分析】

（1）运用等差数列的性质求得公差d，再由及d求得通项公式即可．（2）利用前n项和公式直接求解即可.【题目详解】（1）设数列的公差为，∴，故.（2），∴，解得或（舍去），∴.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式及项数的求法