2024届江西省抚州市临川第二中学数学高二下期末学业质量监测试题含解析

2024届江西省抚州市临川第二中学数学高二下期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若实数a,b满足a+b<0，则()A．a,b都小于0B．a,b都大于0C．a,b中至少有一个大于0D．a,b中至少有一个小于02．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A． B． C． D．3．如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，，，则等于（）A． B． C． D．4．袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球，从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A． B． C． D．5．由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（）A．②①③ B．②③① C．①②③ D．③①②6．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种 B．420种 C．630种 D．840种7．已知函数fxA．fx的最小正周期为π，最大值为B．fx的最小正周期为π，最大值为C．fx的最小正周期为2πD．fx的最小正周期为2π8．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位9．已知非零向量满足，若函数在R上存在极值，则和夹角的取值范围为（）A． B． C． D．10．已知函数是可导函数，且，则()A． B． C． D．11．执行下面的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件是（）A． B． C． D．12．如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知小正方形的外接圆恰好是大正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数的单调递增区间是，则的值是__________．14．函数的单调减区间是________.15．将一颗骰子抛掷两次，用表示向上点数之和，则的概率为______.16．若直角坐标平面内两点满足点都在函数的图像上，且点关于原点对称，则称是函数一个“姊妹点对”（与可看作同一“姊妹点对”）.已知则的“姊妹点对”有_______个.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求四边形的面积.18．（12分）若数列的前项和为，且，.（1）求，，；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.19．（12分）已知函数.（1）若不等式的解集，求实数的值.（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.20．（12分）山西省2021年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分。根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩。举例说明1：甲同学化学学科原始分为65分，化学学科等级的原始分分布区间为，则该同学化学学科的原始成绩属等级，而等级的转换分区间为那么，甲同学化学学科的转换分为：设甲同学化学科的转换等级分为，求得.四舍五入后甲同学化学学科赋分成绩为66分。举例说明2：乙同学化学学科原始分为69分，化学学科等级的原始分分布区间为则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为这时不用公式，乙同学化学学科赋分成绩直接取下端点70分。现有复兴中学高一年级共3000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布。且等级为所在原始分分布区间为，且等级为所在原始分分布区间为，且等级为所在原始分分布区间为（1）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，小红同学在这次考试中物理原始分为72分，求小明和小红的物理学科赋分成绩；（精确到整数）.（2）若以复兴中学此次考试频率为依据，在学校随机抽取4人，记这4人中物理原始成绩在区间的人数，求的数学期望和方差.（精确到小数点后三位数）.附：若随机变量满足正态分布，给出以下数据，21．（12分）某超市为了解气温对某产品销售量的影响，随机记录了该超市12月份中天的日销售量(单位：千克)与该地当日最低气温(单位:)的数据，如下表所示:求关于的线性回归方程；（精确到）判断与之间是正相关还是负相关；若该地12月份某天的最低气温为，请用中的回归方程预测该超市当日的销售量.参考公式：，参考数据：，22．（10分）己知抛物线的顶点在原点，焦点为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）是抛物线上一点，过点的直线交于另一点，满足与在点处的切线垂直，求面积的最小值，并求此时点的坐标。

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】假设a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,则a+b≥0,这与a+b<0相矛盾,因此假设错误,即a,b中至少有一个小于0.2、B【解题分析】

解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，故选B．3、A【解题分析】

利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．【题目详解】解：由题意在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，可知：，，，．故选：．【题目点拨】本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，属于基础题．4、C【解题分析】

从袋中任取2个球，基本事件总数n．所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m，利用古典概型公式可得所求．【题目详解】袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球，从袋中任取2个球，基本事件总数n1．所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m24，∴所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为p．故选C．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5、D【解题分析】

根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解.【题目详解】由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是：大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女；小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生；结论：②安梦怡是独生子女，故选D.【题目点拨】本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6、B【解题分析】依题意可得，3位实习教师中可能是一男两女或两男一女．若是一男两女，则有种选派方案，若是两男一女，则有种选派方案．所以总共有种不同选派方案，故选B7、B【解题分析】

首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为fx=【题目详解】根据题意有fx所以函数fx的最小正周期为T=且最大值为fxmax=【题目点拨】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.8、B【解题分析】

=cos2x,=,所以只需将函数的图象向右平移个单位可得到故选B9、B【解题分析】设和的夹角为∵在上存在极值∴有两个不同的实根，即∵∴，即∵∴故选B点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3），向量垂直则；(4)求向量的模（平方后需求）.10、C【解题分析】分析：由题意结合导数的定义整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：,即：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数在某一点处导数的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11、C【解题分析】

根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，即可得出答案.【题目详解】解：当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，满足输出结果为，故进行循环的条件，应为：.故选：C.【题目点拨】本题考查程序框图的应用，属于基础题.12、B【解题分析】分析：设大正方形的边长为1，其内切圆的直径为1，则小正方形的边长为，从而阴影部分的面积为，由此利用几何概型能求出在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.详解：设大正方形的边长为1，其内切圆的直径为1，则小正方形的边长为，所以大正方形的面积为1，圆的面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积为，所以在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.点睛：本题主要考查了面积比的几何概型及其概率的计算问题，其中根据题意，准确求解阴影部分的面积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及函数与方程思想的应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】分析：求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可求的单调区间；详解：若，则，即在上单调递增，不符题意，舍；

若，令，可得或（舍去）x(0，2−aa2−aa（2−aaf′（x）-0+f（x）减增)，+∞）∴在上是减函数，在上是增函数；根据题意若函数的单调递增区间是，则即答案为1.点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．14、【解题分析】

根据对数型复合函数单调区间的求法，求得的单调减区间.【题目详解】由得，解得，所以的定义域为，由于的开口向下，对称轴为；在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知，的单调减区间为.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查对数型复合函数单调区间的求法，属于基础题.15、【解题分析】分析：利用列举法求出事件“”包含的基本事件个数，由此能出事件“”的概率．详解：将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，用表示向上点数之和，则基本数值总数，事件“”包含的基本事件有：共6个，∴事件“”的概率．即答案为.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．16、2.【解题分析】

根据题意可知，只需作出函数y=x2+2x（x<0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可．【题目详解】根据题意可知，“友好点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可.如图所示：当时，观察图象可得：它们有2个交点.故答案为：2.【题目点拨】本题考查函数的新定义问题，根据已知条件将问题转化为零点个数问题，利用数形结合画出图像即可求解，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）在中由余弦定理得，再由正弦定理能求出；（2），四边形ABCD的面积，由此能求出结果．【题目详解】（1）在平面四边形中，，，，．中，由余弦定理可得：，∵，∴．（2）中，，【题目点拨】本题考查角的正弦值、四边形面积的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18、（1）；（2），证明见解析【解题分析】

（1）由已知条件分别取，能依次求出，，的值；（2）猜想.证明当是否成立，假设时，猜想成立，即：，证明当也成立，可得证明【题目详解】解：（1）由题意：，，当时，可得，可得同理当时：，可得当时：，可得（2）猜想.证明如下：①时，符合猜想，所以时，猜想成立.②假设时，猜想成立，即：.（），，两式作差有：，又，所以对恒成立.则时，，所以时，猜想成立.综合①②可知，对恒成立.【题目点拨】本题主要考查数列的递推式及通项公式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中档题.19、（1）（2）【解题分析】

（1）由根据绝对值不等式的解法列不等式组，结合不等式的解集，求得的值.（2）利用绝对值不等式，证得的最小值为4，由此求得的取值范围.【题目详解】（1）∵函数，故不等式，即，即，求得.再根据不等式的解集为.可得，∴实数.（2）在（1）的条件下，，∴存在实数使成立，即，由于，∴的最小值为2，∴，故实数的取值范围是.【题目点拨】本小题主要考查根据绝对值不等式的解集求参数，考查利用绝对值不等式求解存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20、(1)小明82分，小红70分；(2)1.504，0.938【解题分析】

（1）根据题意列式求解（2）先确定区间，再根据正态分布求特定区间概率，最后根据二项分布求期望与方差.【题目详解】解（1）小明同学且等级为,设小明转换后的物理等级分为，求得．小明转换后的物理成绩为82小红同学且等级为，且等级为所在原始分分布区间为，小红为本等级最