浙江省杭州市高级中学2024届数学高二第二学期期末联考试题含解析

浙江省杭州市高级中学2024届数学高二第二学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题“”的否定是()A． B．C． D．2．若方程在区间（-1,1）和区间（1,2）上各有一根,则实数的取值范围是()A． B． C． D．或3．双曲线经过点，且离心率为3，则它的虚轴长是（）A． B． C．2 D．44．甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为（）A．1∶2∶3 B．1∶∶C．1∶∶ D．1∶2∶35．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A．144个 B．120个 C．96个 D．72个6．命题“任意”为真命题的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．7．“”是“圆：与圆：外切”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件8．若函数f(x)＝(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝的图象是()A． B． C． D．9．函数在区间上的最大值是（）A． B． C． D．10．若函数，函数有3个零点，则k的取值范围是()A．（0，1） B． C． D．11．设集合，则A． B． C． D．12．已知点A0,2，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若FMA．18B．14C．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，的最大值为，则实数的值为_______．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且15．将极坐标方程化为直角坐标方程得________．16．已知，则展开式中项的系数为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知非零向量，且，求证：．18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，是的中点，是的中点.(1)求此四棱锥的体积；(2)求证：平面；(3)求证：平面平面．19．（12分）在中，内角所对的边分别是，已知．（Ⅰ）求证：为等腰三角形；（Ⅱ）若是钝角三角形，且面积为，求的值．20．（12分）如图，直三棱柱中，侧面为正方形，，是的中点，是的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.21．（12分）如图所示，四棱锥中，底面，，为中点.（1）试在上确定一点，使得平面；（2）点在满足（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）已知直线l的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；(2)若，求直线的极坐标方程，以及直线l与曲线的交点的极坐标．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

命题的否定：任意变存在，并对结论进行否定.【题目详解】命题的否定需要将限定词和结论同时否定，题目中：为限定词，为条件，为结论；而的否定为，的否定为，所以的否定为故本题正确答案为C.【题目点拨】本题考查了命题的否定,属于简单题.2、B【解题分析】

函数f（x）＝在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，则，解得即可．【题目详解】∵函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，∴，即，解得a＜1，故选B．【题目点拨】本题考查函数零点的判断定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键．3、A【解题分析】

根据双曲线经过的点和离心率，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得虚轴长.【题目详解】将点代入双曲线方程及离心率为得，解得，故虚轴长，故本小题选A.【题目点拨】本小题主要考查双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质，考查方程的思想，属于基础题.解题过程中要注意：虚轴长是而不是.4、A【解题分析】

设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。【题目详解】设立方体为以2为边长的正方体，则，，所以【题目点拨】设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。5、B【解题分析】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选B考点：排列、组合及简单计数问题．6、C【解题分析】试题分析：对此任意性问题转化为恒成立，当，即，，若是原命题为真命题的一个充分不必要条件，那应是的真子集，故选C.考点：1.集合；2.充分必要条件.7、B【解题分析】

由圆：与圆：外切可得，圆心到圆心的距离是求出的值，然后判断两个命题之间的关系。【题目详解】由圆：与圆：外切可得，圆心到圆心的距离是即可得所以“”是“圆：与圆：外切”的充分不必要条件。【题目点拨】本题考查了两个圆的位置关系及两个命题之间的关系，考查计算能力，转化思想。属于中档题。8、C【解题分析】本题考查指数型函数的奇偶性，单调性；对数函数的图像及图像的平移变换.因为是奇函数，所以恒成立，整理得：恒成立，所以则又函数在R上是增函数，所以于是函数的图像是由函数性质平移1个单位得到.故选C9、B【解题分析】

函数，，令，解得x．利用三角函数的单调性及其导数即可得出函数的单调性．【题目详解】函数，，令，解得．∴函数在内单调递增，在内单调递减．∴时函数取得极大值即最大值．．故选B．【题目点拨】本题考查了三角函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求三角函数的最值问题，一般是通过两角和差的正余弦公式将函数表达式化为一次一角一函数，或者化为熟悉的二次函数形式的复合函数来解决.10、A【解题分析】

画出的图像，有3个零点等价于有3个交点。【题目详解】有3个零点等价于有3个交点记则过原点作的切线，有3个零点等价于有3个交点记则过原点作的切线，设切点为则切线方程为：，又切线过原点，即，将，，代入解得，所以切线斜率所以【题目点拨】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查了函数零点个数的问题，属于中档题。11、A【解题分析】由题意，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．12、C【解题分析】试题分析：设,是点到准线的距离，,|FM||MN|=55,即,那么,即直线的斜率是-2，所以，解得，故选C．考点：抛物线的简单性质【思路点睛】此题考察抛物线的性质，和数形结合思想的考察，属于偏难点的基础题型，对于抛物线的考察不太同于椭圆和双曲线，对应抛物线的基础题型，当图形中有点到焦点的距离，就一定联想到点到准线的距离，再跟据平面几何的关系分析，比如此题，|FM||MN|=55，转化为，那分析图像等于知道的余弦值，也就知道了直线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

求导后，若，则，可验证出不合题意；当时，求解出的单调性，分别在，，三种情况下通过最大值取得的点构造关于最值的方程，解方程求得结果.【题目详解】由题意得：当时，，则在上单调递增，解得：，不合题意，舍去当时，令，解得：，可知在，上单调递减；在上单调递增①当，即时，解得：，不合题意，舍去②当，即时，，解得：③当，即时解得：，不合题意，舍去综上所述：本题正确结果：【题目点拨】本题考查根据函数的最值求解参数值的问题，关键是对于含有参数的函数，通过对极值点位置的讨论确定最值取得的点，从而可利用最值构造出方程，求解出参数的取值范围.14、π【解题分析】依题意，由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=1215、【解题分析】

在曲线极坐标方程两边同时乘以，由可将曲线的极坐标方程化为普通方程.【题目详解】在曲线极坐标方程两边同时乘以，得，化为普通方程得，即，故答案为：.【题目点拨】本题考查曲线极坐标方程与普通方程之间的转化，解题时充分利用极坐标与普通方程之间的互化公式，考查运算求解能力，属于中等题.16、-2【解题分析】

利用定积分可求=2，则二项式为，展开式的通项：．令5-2r=-1，解得r=1．继而求出系数即可．【题目详解】∵=2，则二项式的展开式的通项：，令5-2r=-1，解得r=1．∴展开式中x-1的系数为.故答案为：-2．【题目点拨】本题考查二项式定理通项的应用，根据通项公式展开即可，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析【解题分析】

⇔．同时注意，，将要证式子等价变形，用分析法即可获证．【题目详解】解：∵∴，要证，只需证，只需证，只需证，只需证0，即，上式显然成立，故原不等式得证．【题目点拨】用分析法证明，即证使等式成立的充分条件成立．注意应用条件⇔和．18、（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解题分析】

(1)由题意，根据棱锥的体积，即求解该四棱锥的体积；(2)在上取中点为，连接和，证得，利用线面平行的判定定理，即可求解.(3)∵，，得到平面，进而得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面⊥平面．【题目详解】(1)四棱锥的体积.(2)证明：在上取中点为，连接和，则易得，且，且故四边形为平行四边形，故，又面，面故面.(3)证明：∵，，又，∴平面，又平面，∴，又，∴平面．∴平面．又面，∴平面⊥平面．【题目点拨】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．19、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）将正切化弦，结合两角和差正弦公式可求得，根据三角形内角和可整理为，则由正弦定理可得到结论；（Ⅱ）利用三角形面积公式可求得；根据三角形为钝角三角形且（Ⅰ）中的，可知为钝角，求得；利用余弦定理可构造方程求得之间关系，从而得到所求结果.【题目详解】（Ⅰ）由得：则：由正弦定理可知：为等腰三角形（Ⅱ）由题意得：，解得：为钝角三角形，且为钝角由余弦定理得：【题目点拨】本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.20、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

(1)由题意可得平面即可得，再利用可以得到，由线面垂直判断定理可得平面，然后根据面面垂直判断定理可得结论；(2)先以点为原点建立空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，再求出平面的法向量和平面的法向量，由数量积公式求出二面角的余弦值.【题目详解】（1）∵三棱柱为直三棱柱，，∴平面，∴，∵是的中点，是的中点，∴，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）建立如图所示空间直角坐标系，如图：设，则，，，，，设平面的法向量为，则即，令得，又平面的法向量，∴，即二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查了面面垂直的证明，向量法求二面角的余弦值，考查了学生的逻辑推理以及计算能力，属于一般题.21、(1).(2).【解题分析】【试题分析】（1）先确定点的位置为等分点，再运用线面平行的判定定理进行证明平面；（2）借助（1）的结论，及线面角的定义构造三角形找出直线与平面所成角，再通过解直角三角形求出其正弦值：解：(1)证明:平面PAD.过M作交PA于E,连接DE.因为,所以，又，故,且，即为平行四边形,则,又平面PAD,平面PAD,平面；(2)