福建省厦门市外国语学校2024届数学高二第二学期期末预测试题含解析

福建省厦门市外国语学校2024届数学高二第二学期期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若直线与曲线相切，则的最小值为（）A． B． C． D．2．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为()A． B． C． D．83．现有甲、乙等5名同学排成一排照相，则甲、乙两名同学相邻，且甲不站两端的站法有（）A．24种 B．36种 C．40种 D．48种4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A．B．C．D．5．若函数＝sinxcosx,x∈R,则函数的最小值为A． B． C． D．6．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（）A．180种 B．150种 C．96种 D．114种7．用反证法证明命题“设为实数，则方程至多有一个实根”时，要做的假设是A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根8．已知定义在上的函数的周期为6，当时，，则（）A． B． C． D．9．古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着A,B,C三根金铜石细柱，其中细柱A上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若A柱上现有3个金盘（如图），将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动次数为（）A．5 B．7 C．9 D．1110．复数对应的点在第二象限，其中m为实数，i为虚数单位，则实数的取值范围（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）11．设，则的值为（）A．2 B．0 C． D．112．高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占，而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的离心率为，左焦点为，点（为半焦距）.是双曲线的右支上的动点，且的最小值为.则双曲线的方程为_____.14．若实数，满足约束条件，则的最大值是_____．15．如图，已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面，若四面体绕所在直线旋转.且始终在平面的上方，则它在平面内影子面积的最小值为________.16．已知实数，满足条件，复数（为虚数单位），则的最小值是_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率。（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.18．（12分）高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数1次2次3次4次5次6次及以上总计男1087321545女546463055总计1512137845100（1）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户.①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X，求X的分布列及均值.附公式及表如下：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过元（含元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，享受免单优惠；若摸出个红球则打折，若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元.（1）若两个顾客均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.21．（12分）已知，是正数，求证：.22．（10分）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．（1）求抛物线的方程及焦点到准线的距离；（2）若直线与交于两点，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：由直线与曲线相切，可以表示出的值，然后用导数求出的最小值详解：由题意可得，设切点坐标为，，则则，令，时，，递减时，，递增的最小值为故选点睛：本题主要考查了运用导数的几何意义来求相切情况，在解答多元问题时，要将其转化为单元问题，本题在求解中转化为关于变量的最值，利用导数即可求出最小值。2、C【解题分析】分析：由三视图可知，该几何体表示一个棱长为的正方体切去一个以直角边长为的等腰直角三角形为底面，高为的三棱锥，即可利用体积公式，求解几何体的体积．详解：由给定的三视图可知，该几何体表示一个棱长为的正方体切去一个以直角边长为的等腰直角三角形为底面，高为的三棱锥，所以该几何体的体积为，故选C．点睛：本题考查了几何体的三视图及几何体的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．3、B【解题分析】

对5个位置进行编号1，2，3，4，5，则甲只能排在第2，3，4位置，再考虑乙，再考虑其它同学.【题目详解】对5个位置进行编号1，2，3，4，5，∵甲不站两端，∴甲只能排在第2，3，4位置，（1）当甲排在第2位置时，乙只能排第1或第3共2种排法，其他3位同学有A3∴共有2×A（2）当甲排在第3位置时，乙只能排第2或第4共2种排法，其他3位同学有A3∴共有2×A（3）当甲排在第4位置时，乙只能排第3或第5共2种排法，其他3位同学有A3∴共有2×A∴排法种数N=12+12+12=36种.【题目点拨】分类与分步计数原理，在确定分类标准时，一般是从特殊元素出发，同时应注意元素的顺序问题.4、B【解题分析】试题分析：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形,且边长为20，那么利用体积公式可知,故选B.考点：本题主要考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．点评：解决该试题的关键是由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积．5、B【解题分析】∵函数，∴函数的最小值为故选B6、D【解题分析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有种情况；②三个路口人数情况2，2，1，共有种情况.若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有种.故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.7、D【解题分析】

反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立.【题目详解】命题“设为实数，则方程至多有一个实根”的否定为“设为实数，则方程恰好有两个实根”；因此，用反证法证明原命题时，只需假设方程恰好有两个实根.故选D【题目点拨】本题主要考查反证法，熟记反设的思想，找原命题的否定即可，属于基础题型.8、C【解题分析】

根据函数的周期性以及时的解析式结合，可得，利用对数的运算性质，化简可得答案．【题目详解】∵定义在上的函数的周期为6，当时，，又∵，∴，.即，故选C.【题目点拨】本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，考查了学生的计算能力，属于中档题.9、B【解题分析】

设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为an，则a【题目详解】设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为an要把最下面的第n个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的n-1个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动an-1把第n个金盘移到另一个柱子上后，再把n-1个金盘移到该柱子上，故又至少移动an-1次，所以aa1=1，故a2【题目点拨】本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.10、B【解题分析】

整理复数为的形式，根据复数对应点在第二象限列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【题目详解】i对应点在第二象限，因此有，即，故选B【题目点拨】本小题主要考查复数对应点所在象限，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.11、C【解题分析】

分别令和即可求得结果.【题目详解】令，可得：令，可得：故选【题目点拨】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.12、B【解题分析】

根据所给的条件求出男生数和男生中三好学生数，本题可以看作一个古典概型，试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果，根据概率公式得到结果.【题目详解】因为高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占，而且三好学生中女生占一半，所以本班有40名男生，男生中有5名三好学生，由题意知，本题可以看作一个古典概型，试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果，所以没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是，故选B.【题目点拨】该题考查的是有关古典概型的概率求解问题，在解题的过程中，需要首先求得本班的男生数和男生中的三好学生数，根据古典概型的概率公式求得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由，可知，而的最小值为，结合离心率为2，联立计算即可．【题目详解】设双曲线右焦点为，则，所以，而的最小值为，所以最小值为，又，解得，于是，故双曲线方程为.【题目点拨】本题考查了双曲线的方程，双曲线的定义，及双曲线的离心率，考查了计算能力，属于中档题．14、8【解题分析】

画出可行域，将基准直线向下平移到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.【题目详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【题目点拨】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最大值的方法，属于基础题.15、【解题分析】

在四面体中找出与垂直的面，在旋转的过程中在面内的射影始终与垂直求解.【题目详解】和都是等边三角形，取中点，易证，，即平面，所以.设在平面内的投影为，则在四面体绕着旋转时，恒有.因为平面，所以在平面内的投影为.因此，四面体在平面内的投影四边形的面积要使射影面积最小，即需最短；在中，，，且边上的高为，利用等面积法求得，边上的高，且，所以旋转时，射影的长的最小值是.所以【题目点拨】本题考查空间立体几何体的投影问题，属于难度题.16、【解题分析】

先作出不等式组对应的区域，再利用复数的几何意义将的最小值转化成定点与区域中的点的距离最小的问题利用图形求解．【题目详解】如图，作出对应的区域，由于为虚数单位），所以表示点与两点之间的距离，由图象可知的最小值为到直线的距离，即，故答案为．【题目点拨】本题考查一定点与区域中的一动点距离最值的问题，考查复数的几何意义，利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解题分析】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，计算即得(II)由题意知X可取的值为：.利用超几何分布概率计算公式得X的分布列为X01234P进一步计算X的数学期望.试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则(II)由题意知X可取的值为：.则因此X的分布列为X01234PX的数学期望是=【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.18、（1）在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.（2）①②答案见解析.【解题分析】

（1）由题意完成列联表，结合列联表计算可得，即可求得答案；（2）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为，结合已知，即可求得答案.【题目详解】（1）由表格数据可得列联表如下：非移动支付活跃用户移动支付活跃用户合计男252045女154055合计4060100将列联表中的数据代入公式计算得：.所以在犯错误概率不超过的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.（2）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为.①抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为.②记抽出的男“移动支付达人”人数为，则.由题意得，；；；；.所以的分布列为01234所以的分布列为03006009001200由，得的数学期望元.【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量的分布列，分布列的性质，独立性检验及其应用等知识，考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题.19、（1）；（2）选择第一种抽奖方案更合算.【解题分析】

（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；（2）选择方案一，计算所付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的数学期望值，比较得出结论.【题目详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为；（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.，，，.故的分布列为，所以（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以（元）.因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.【题目点拨】本题考查独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与数学期望，同时也考查了二项分布的数学期望与数学期望的性质，解题时要明确随机变量所满足的分