金学导航大联考2024届数学高二下期末综合测试模拟试题含解析

金学导航大联考2024届数学高二下期末综合测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的图象关于对称，的图象在点处的切线过点，若图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）A． B． C． D．2．若离散型随机变量的概率分布列如下表所示，则的值为()1A． B． C．或 D．3．函数f(x)=13ax3A．0<a<1 B．1<a<2 C．0<a<2 D．a>24．已知，则（）A． B． C． D．5．圆截直线所得的弦长为，则（）A． B． C． D．26．已知集合，，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，则可以组成这样的新集合的个数为（）A． B． C． D．7．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导数满足x2＜1，则下列不等式中一定成立的是（）A．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1 B．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1C．f（）﹣1＜f（）＜f（）+1 D．f（）﹣1＜f（）＜f（）+18．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是（）A． B． C． D．9．已知集合，集合满足，则集合的个数为A． B． C． D．10．把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（）A．36 B．40 C．42 D．4811．点是双曲线在第一象限的某点，、为双曲线的焦点.若在以为直径的圆上且满足，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.12．已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若对一切恒成立，则a的取值范围为________.14．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是___________．15．若函数有且只有一个零点，则实数的值为__________.16．已知空间整数点的序列如下：，，，，，，，，，，，,,,…，则是这个序列中的第____________个.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．产品质量/毫克频数（Ⅰ）以样本的频率作为概率，试估计从甲流水线上任取件产品，求其中不合格品的件数的数学期望．甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计（Ⅱ）由以上统计数据完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？（Ⅲ）由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量服从正态分布，求质量落在上的概率．参考公式：参考数据：参考公式：，其中．18．（12分）已知的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．(Ⅰ)求的值和这两项的二项式系数；(Ⅱ)在的展开式中，求含项的系数（结果用数字表示）．19．（12分）已知数列满足：，且.（Ⅰ）求，，的值，并猜想数列的通项公式；（Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.20．（12分）已知函数.（1）若函数上是减函数，求实数a的最小值；（2）若，使（）成立，求实数a的取值范围.21．（12分）设,圆:与轴正半轴的交点为,与曲线的交点为,直线与轴的交点为.(1)用表示和;(2)求证:;(3)设,,求证:.22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线l的倾斜角的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

首先根据函数的图象关于点对称得到，，即.利用导数的切线过点得到，再求函数在处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子计算即可.【题目详解】因为函数的图象关于点对称，所以.即：，解得，.所以，，切点为.，.切线为：.因为切线过点，所以，解得.所以，.，所以.所以.故选：B【题目点拨】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.2、A【解题分析】由离散型随机变量ξ的概率分布表知：.解得.故选：A.3、D【解题分析】

函数f(x)=13ax3-x2+5(a>0)在(0,1)【题目详解】f'(x)=ax2-2x，函数f(x)=13ax3-x2+5(a>0)在(0,1)上不单调，即故答案为D.【题目点拨】本题考查了函数的单调性，考查了二次函数的性质，考查了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.4、B【解题分析】

由题意首先求得的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果.【题目详解】由题意结合诱导公式可得：，则.本题选择B选项.【题目点拨】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5、A【解题分析】

将圆的方程化为标准方程,结合垂径定理及圆心到直线的距离,即可求得的值.【题目详解】圆,即则由垂径定理可得点到直线距离为根据点到直线距离公式可知,化简可得解得故选:A【题目点拨】本题考查了圆的普通方程与标准方程的转化,垂径定理及点到直线距离公式的应用,属于基础题.6、C【解题分析】

利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理计算即可，注意这个特殊元素的处理.【题目详解】已知集合，，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，分为2类：含5，不含5；则可以组成这样的新集合的个数为个.故选C.7、D【解题分析】

构造函数g（x）＝f（x），利用导数可知函数在（0，+∞）上是减函数，则答案可求．【题目详解】由x2f′（x）＜1，得f′（x），即得f′（x）0，令g（x）＝f（x），则g′（x）＝f′（x）0，∴g（x）＝f（x）在（0，+∞）上为单调减函数，∴f（）+2＜f（）+3＜f（）+4，则f（）＜f（）+1，即f（）﹣1＜f（）；f（）＜f（）+1．综上，f（）﹣1＜f（）＜f（）+1．故选：D．【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是解题的关键，是中档题．8、D【解题分析】

利用捆绑法：先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，并把他们捆绑在一起看作一个元素和剩余的3名男歌手进行全排列，利用排列组合的知识和分步计数原理求解即可.【题目详解】根据题意，分两步进行：先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，同时对两名女歌手进行全排列有种选择；再把他们捆绑在一起看作一个元素和剩余的3名男歌手进行全排列有种选择，由分步计数原理可得，共有出场方案的种数为.故选：D【题目点拨】本题考查利用捆绑法和分步乘法计数原理，结合排列数公式求解排列组合问题；考查运算求解能力和逻辑推理能力；分清排列和组合和两个计数原理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.9、D【解题分析】分析：根据题意得到为的子集，确定出满足条件的集合的个数即可详解：集合，集合满足，则满足条件的集合的个数是故选点睛：本题是基础题，考查了集合的子集，当集合中有个元素时，有个子集。10、A【解题分析】

将情况分为113和122两种情况，相加得到答案.【题目详解】当分的票数为这种情况时：当分的票数为这种情况时：一张票数的人可以选择：不同分法的种数为36故答案选A【题目点拨】本题考查了排列组合，将情况分为两类可以简化运算.11、D【解题分析】试题分析：根据题画图，可知P为圆与双曲线的交点，根据双曲线定义可知：，所以，又，即，所以，，双曲线离心率，所以。考点：双曲线的综合应用。12、B【解题分析】

利用余弦定理化简后可得，再利用正弦定理把边角关系化为角的三角函数的关系式，从而得到，因此，结合的范围可得所求的取值范围.【题目详解】，因为为锐角三角形，所以，，，故,选B.【题目点拨】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由题意可得恒成立，设，求得导数和单调性、极值和最值，即有a小于最小值．【题目详解】对一切恒成立，可得恒成立，设，则，，当时，，递增；时，，递减，可得处取得极小值，且为最小值4，可得．故答案为：．【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和导数的运用，考查运算能力，属于中档题．14、【解题分析】

由已知结合三角形内角平分线定理可得|PF1|＝2|PF2|，再由椭圆定义可得|PF2|，得到a﹣c，从而得到e，再与椭圆离心率的范围取交集得答案．【题目详解】∵，∴，，∵是的角平分线，∴，则，由，得，由，可得，由，∴椭圆离心率的范围是．故答案为：【题目点拨】本题考查椭圆的简单性质，训练了角平分线定理的应用及椭圆定义的应用，是中档题．15、-2【解题分析】

将有且只有一个零点问题转化成a＝﹣lnx，两函数有一个交点，然后令g（x）＝﹣lnx，对g（x）进行单调性分析，即可得到g（x）的大致图象，即可得到a的值．【题目详解】由题意，可知：令2，即：a＝﹣lnx，x＞2．可设g（x）＝﹣lnx，x＞2．则g′（x），x＞2．①当2＜x＜2时，g′（x）＞2，g（x）单调递增；②当x＞2时，g′（x）＜2，g（x）单调递减；③当x＝2时，g′（x）＝2，g（x）取极大值g（2）＝﹣2．∵函数有且只有一个零点，∴a只能取g（x）的最大值﹣2．故答案为：﹣2．【题目点拨】本题主要考查函数零点问题，构造函数的应用，用导数方法研究函数的单调性．属中档题．16、【解题分析】按照规律：三个数字和相等的先看最小数字，再看第二小的数字；相同数字组成的点，先看最小数字排的位置，再看第二小的数字排的位置。三个数字和为的1个，三个数字和为的3个，三个数字之和为6的是3+6+1=10个，三个数字和为7，由组成的共3个，由三个数字组成的共6个，所以是第29个。应填答案。点睛：解答本题的关键是搞清题设中数组的规律，然后依据规律做出正确的推理和判断。求解时，先观察出数组的规律是：三个数字和相等的先看最小数字，再看第二小的数字；相同数字组成的点，先看最小数字排的位置，再看第二小的数字排的位置。然后做出推断：三个数字和为的1个，三个数字和为的3个，三个数字之和为6的是3+6+1=10个，三个数字和为7，由组成的共3个，由三个数字组成的共6个，进而得出是第29个。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）不能；（Ⅲ）.【解题分析】

（Ⅰ）由表知，以频率作为概率，再根据二项分布求数学期望，（Ⅱ）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为，由此得列联表，根据表中数据计算出观测值，结合临界值表可得；（Ⅲ）根据正态分布的概率公式可得．【题目详解】解：（Ⅰ）由表知，样本中不合格品的件数为，故任取一件产品是不合格品的频率为以频率作为概率，则从甲流水线上任取一件产品是不合格品的概率为，则，从而．（Ⅱ）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为，所以，列联表是：所以故在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关（Ⅲ）乙流水线生产的产品质量服从正态分布，所以产品质量的数学期望，标准差为因为，所以即：所以乙流水线产品质量落在上的概率为．【题目点拨】本题考查了二项分布中数学期望公式、频率分布直方图、独立性检验以及正态分布的概率，属中档题．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）285【解题分析】

(Ⅰ)由题意知：得到，代入计算得到答案.(Ⅱ)分别计算每个展开式含项的系数，再把系数相加得到答案.【题目详解】解：（Ⅰ）∵，∴，∴；（Ⅱ）方法一：含项的系数为.方法二：含的系数为.【题目点拨】本题考查了展开式的二项式系数，特定项系数，意在考查学生的计算能力.19、（Ⅰ），，，猜想.（Ⅱ）证明见解析【解题分析】

（Ⅰ）令，可得，，的值，根据，可猜想数列的通项公式；（Ⅱ）①当时，猜想显然成立；②假设当时猜想成立，通过证明当时，猜想也成立，从而得到证明.【题目详解】解：（Ⅰ）由递推公式可得，，，猜想.（Ⅱ）下面用数学归纳法证明猜想成立.①当时，猜想显然成立；②假设当时猜想成立，即，则时，由，得，即当时，猜想也成立，由①②可知，对任意均成立.【题目点拨】本题主要考查归纳推理及用数学归纳法证明猜想成立.20、(1);(2)．【解题分析】

由已知函数的定义域均为,且.(1)函数,因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．(2)命题“若使成立”等价于“当时，有”．由（1），当时，，．问题等价于：“当时，有”．当时，由（1），在上为减函数，则=，故．当时，由于在上为增函数，故的值域为，即．由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，=，．所以，，与矛盾，不合题意．综上，得．考点：1.导数公式；2