2024届浙江杭州地区重点中学高二数学第二学期期末考试模拟试题含解析

2024届浙江杭州地区重点中学高二数学第二学期期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误 B．推理形式错误 C．小前提错误 D．非以上错误2．将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为()A． B．C． D．3．已知集合，则（）A． B． C． D．4．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A．-40 B．-20 C．20 D．406．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中不可能成立的是A．没有最大元素，有一个最小元素B．没有最大元素，也没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素D．有一个最大元素，没有最小元素7．一元二次不等式的解集为（）A． B．C． D．8．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A． B． C． D．9．若能被整除，则的值可能为（）A． B． C．x="5,n=4" D．10．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若q＝2，且a2与2a4的等差中项为18，则S5＝()A．－62 B．62 C．32 D．－3211．已知是定义在上的奇函数，且，若，则（）A．-3 B．0 C．3 D．201912．设命题甲：关于的不等式对一切恒成立，命题乙：对数函数在上递减，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是定义在上的奇函数，若，，则的值为__________．14．已知函数，则_____15．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）.16．复数的虚部是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.18．（12分）设事件A表示“关于的一元二次方程有实根”，其中，为实常数.（Ⅰ）若为区间[0，5]上的整数值随机数，为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；（Ⅱ）若为区间[0，5]上的均匀随机数，为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率.19．（12分）已知椭圆:经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程.20．（12分）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数01234保费设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.21．（12分）已知椭圆C：与圆M：的一个公共点为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C交于A、B两点，且A是线段MB的中点，求的面积．22．（10分）在中，角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误.【题目详解】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比，所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误.本题正确选项：【题目点拨】本题考查三段论推理形式的判断，关键是明确大小前提的具体要求，属于基础题.2、A【解题分析】

利用代入法，即可得到伸缩变换的曲线方程．【题目详解】∵伸缩变换，∴xx′，yy′，代入曲线y＝sin2x可得y′＝3sinx′故选：A．【题目点拨】本题考查代入法求轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．3、A【解题分析】

先求得集合的元素，由此求得两个集合的交集.【题目详解】依题意，故,故选A.【题目点拨】本小题主要考查两个集合的交集的求法，考查对数运算，属于基础题.4、A【解题分析】分析：由f（x）的导函数形式可以看出ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=ex﹣kx，g′（x）=ex﹣k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．详解：∵函数的定义域是（0，+∞），∴f′（x）=．x=1是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．∴ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=ex﹣kxg′（x）=ex﹣k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（lnk）=k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y=ex和y=ex图象，它们切于（1，e），综上所述，k≤e．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析转化ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点.5、D【解题分析】令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.故常数项==-40+80=406、C【解题分析】试题分析：设,显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；,显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；,显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能；同时，假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故选C．考点：以集合为背景的创新题型．【方法点睛】创新题型，应抓住问题的本质，即理解题中的新定义，脱去其“新的外衣”，转化为熟悉的知识点和题型上来．本题即为，有理数集的交集和并集问题，只是考查两个子集中元素的最值问题，即集合M、N中有无最大元素和最小元素．7、C【解题分析】

根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集，得到答案．【题目详解】由题意，不等式，即或，解得，即不等式的解集为，故选C．【题目点拨】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．8、A【解题分析】

先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，找到此时的圆心再化为极坐标.【题目详解】可化简为：根据极坐标与直角坐标的互化公式可得：化简可得：即：圆心为：故圆心的极坐标为：故选：A.【题目点拨】本题主要考查了极坐标和直角坐标的互化和圆的极坐标方程，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.9、C【解题分析】

所以当时，能被整除，选C.10、B【解题分析】

先根据a2与2a4的等差中项为18求出，再利用等比数列的前n项和求S5.【题目详解】因为a2与2a4的等差中项为18，所以，所以.故答案为：B【题目点拨】(1)本题主要考查等比数列的通项和前n项和，考查等差中项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)等比数列的前项和公式：.11、B【解题分析】

根据题意，由函数的奇偶性分析可得，函数是周期为4的周期函数，据此求出、、的值，进而结合周期性分析可得答案.【题目详解】解：根据题意，是定义在上的奇函数，则，又由，则有，即，变形可得：，即函数是周期为4的周期函数，是定义在上的奇函数，则，又由，则，故.故选：B.【题目点拨】本题考查函数的奇偶性周期性的综合应用，涉及函数值的计算，属于基础题.12、A【解题分析】

试题分析：若的不等式对一切恒成立，则，解得；在上递减，则，解得，易知甲是乙的必要不充分条件，故选B.考点：1.充分条件与充要条件；2.二次函数与对数函数的性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据函数奇偶性和可推导得到函数为周期函数，周期为；将变为，根据奇函数可得，且可求得结果.【题目详解】为奇函数，又是周期为的周期函数又，本题正确结果：【题目点拨】本题考查利用函数的周期性求解函数值的问题，关键是能够利用函数的奇偶性和对称性求解得到函数的周期，从而将所求函数值变为已知的函数值.14、【解题分析】分析：求出f′（1）=﹣1，再根据定积分法则计算即可．详解：∵f（x）=f'（1）x2+x+1，∴f′（x）=2f'（1）x+1，∴f′（1）=2f'（1）+1，∴f′（1）=﹣1，∴f（x）=﹣x2+x+1，∴=（﹣x3+x2+x）=.故答案为.点睛：这个题目考查了积分的应用，注意积分并不等于面积，解决积分问题的常见方法有：面积法，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数；应用公式直接找原函数的方法；利用被积函数的奇偶性得结果.15、216【解题分析】

每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分

3

步进行，第一步

,A

、B.

C

三点选三种颜色灯泡共有

种选法；第二步

,

在

A1

、

B1

、

C1

中选一个装第

4

种颜色的灯泡，有

3

种情况；第三步

,

为剩下的两个灯选颜色

,

假设剩下的为

B1

、

C1,

若

B1

与

A

同色

,

则

C1

只能选

B

点颜色；若

B1

与

C

同色

,

则

C1

有A.

B

处两种颜色可选,故为

B1

、

C1

选灯泡共有

3

种选法，得到剩下的两个灯有

3

种情况，则共有

×3×3=216

种方法．故答案为

21616、【解题分析】

利用错位相消法可以化简式子,最后求出它的虚部.【题目详解】令,,得,,.故答案为：【题目点拨】本题考查了错位相消法,考查了等比数列的前项和公式,考查了乘方运算的性质,考查了数学运算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.试题解析：（I）的定义域为.当时，，曲线在处的切线方程为（II）当时，等价于设，则，（i）当，时，，故在上单调递增，因此；（ii）当时，令得.由和得，故当时，，在单调递减，因此.综上，的取值范围是【考点】导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性【名师点睛】求函数的单调区间的方法：（1）确定函数y＝f（x）的定义域；（2）求导数y′＝f′（x）；（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．18、（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解题分析】试题分析：(1)列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得满足题意的概率值为；(2)利用题意画出概率空间，结合几何概型公式可得满足题意的概率值为.试题解析：（Ⅰ）当a∈{0，1，2，3，4，5}，b∈{0，1，2}时，共可以产生6×3=18个一元二次方程.若事件A发生，则a2－4b2≥0，即|a|≥2|b|.又a≥0，b≥0，所以a≥2b.从而数对（a，b）的取值为（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），共12组值.所以P（A）=.（Ⅱ）据题意，试验的全部结果所构成的区域为D={(a，b)|0≤a≤5，0≤b≤2}，构成事件A的区域为A={(a，b)|0≤a≤5，0≤b≤2，a≥2b}.在平面直角坐标系中画出区域A、D，如图，其中区域D为矩形，其面积S（D）=5×2=10，区域A为直角梯形，其面积S（A）=.所以P（A）=.19、（1）；（2）或【解题分析】

（1）由椭圆的离心率可得，，从而使椭圆方程只含一个未知数，把点的坐标代入方程后，求得，进而得到椭圆的方程为；（2）因为直线过定点，所以只要求出直线的斜率即可，此时需对直线的斜率分等于0和不等于0两种情况进行讨论，当斜率不为0时，设直线的方程为，点、，利用得到关于的方程，并求得.【题目详解】（1）设椭圆的焦距为，则，∴，，所以，椭圆的方程为，将点的坐标代入椭圆的方程得，解得，则，，因此，椭圆的方程为.（2）①当直线斜率为0时，与椭圆交于，，而.此时，故不符合题意.②当直线斜率不为0时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程代入椭圆的方程，并化简得，，解得或，由韦达定理可得，，，同理可得，所以，即解得：，符合题意因此，直线的方程为或.【题目点拨】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系并与向量进行交会，求解过程中要始终领会设而不求的思想，即利用坐标运算解决几何问题，考查运算求解能力.20、（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.1．【解题分析】试题分析：试题解析：（Ⅰ）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故（Ⅱ）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故又，故因此所求概率为（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为【考点】条件概率，随机变量的分布列、期望【名师点睛】条件概率的求法：（1）定义法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）＝，求出P（B|A）；（2）基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n（AB），得P（B|A）＝.求离散