2024届广东省广州市仲元中学高二数学第二学期期末预测试题含解析

2024届广东省广州市仲元中学高二数学第二学期期末预测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等于（）A． B． C． D．2．某城市关系要好的，，，四个家庭各有两个小孩共人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐名（乘同一辆车的名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名小孩恰有名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．种 B．种 C．种 D．种3．下列结论中正确的是（）A．导数为零的点一定是极值点B．如果在附近的左侧，右端，那么是极大值C．如果在附近的左侧，右端，那么是极小值D．如果在附近的左侧，右端，那么是极大值4．已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（）A． B． C． D．5．已知函数，的值域是，则实数的取值范围是()A．（1,2） B． C．（1,3） D．（1,4）6．已知是抛物线上一点，则到抛物线焦点的距离是（）A．2 B．3 C．4 D．67．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点的坐标为（）A． B． C． D．8．高二（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A．15 B．16 C．17 D．189．(+)(2-)5的展开式中33的系数为A．-80 B．-40 C．40 D．8010．已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为()A． B． C． D．11．已知双曲线与椭圆：有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．12．已知展开式的常数项为15，则（）A． B．0 C．1 D．-1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设抛物线的准线方程为__________.14．如图，在平面四边形中，，，，.若点为上的动点，则的最小值为______.15．有一个容器，下部分是高为的圆柱体，上部分是与圆柱共底面且母线长为的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为___________．16．方程的解为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和，通项公式，数列的通项公式为.（1）若，求数列的前项和及的值；（2）若，数列的前项和为，求、、的值，根据计算结果猜测关于的表达式，并用数学归纳法加以证明；（3）对任意正整数，若恒成立，求的取值范围.18．（12分）从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；(ⅱ)求抽到红球次数的数学期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数的分布列.19．（12分）如图，四棱锥中，底面是梯形，，，底面点是的中点．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若且与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值．20．（12分）已知等比数列的前项和，其中为常数.（1）求；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长.下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设为产值不超过500万元的城市个数，求的分布列及期望和方差.22．（10分）在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地.某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率（），设民宿租金为（单位：元/日），得到如图所示的数据散点图.（1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的三天中至少有2天闲置的概率.（2）①根据散点图判断，与哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求回归方程；②若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本.试用①中模型进行分析，旅游淡季民宿租金约定为多少元时，该民宿在这280天的收益达到最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；.参考数据：记，，，，，，，，，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据排列数的定义求解.【题目详解】，故选A.【题目点拨】本题考查排列数的定义.2、B【解题分析】若A户家庭的李生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的2个家庭,有种方法.若A户家庭的李生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,有.所以共有12+12=24种方法.本题选择B选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．3、B【解题分析】

根据极值点的判断方法进行判断.【题目详解】若，则，，但是上的增函数，故不是函数的极值点.因为在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，故的左侧附近，有为增函数，在的右侧附近，有为减函数，故是极大值.故选B.【题目点拨】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低（高）”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意，有（）”．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点，具体如下．（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极大值点；（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极小值点；4、A【解题分析】由题意可得：，则，据此可得，的虚部为.本题选择A选项.5、B【解题分析】

先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【题目详解】当x≤2时，f（x）=﹣x+6≥4，要使f（x）的值域是[4，+∞），则当x＞2时，f（x）=3+logax≥4恒成立，即logax≥1，若0＜a＜1，则不等式logax≥1不成立，当a＞1时，则由logax≥1=logaa，则a≤x，∵x＞2，∴a≤2，即1＜a≤2，故选：D．【题目点拨】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．6、B【解题分析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点到抛物线焦点的距离．详解：由抛物线方程可得抛物线中，则利用抛物线的定义可得点到抛物线焦点的距离．故选B.点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7、C【解题分析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【题目详解】z=，故选：C.【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8、C【解题分析】试题分析：由系统抽样的特点—等距离可得，∴3号、17号、号、号同学在样本中.考点：系统抽样.9、C【解题分析】，由展开式的通项公式可得：当时，展开式中的系数为；当时，展开式中的系数为，则的系数为.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.10、B【解题分析】分析：根据条件概率公式计算即可.详解：设事件A：答对A题，事件B：答对B题，则，..故选：B.点睛：本题考查了条件概率的计算，属于基础题.11、C【解题分析】

由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【题目详解】由椭圆，得，，则，双曲线与椭圆的焦点坐标为，，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为．设双曲线的实半轴长为m，则，得，则虚半轴长，双曲线的方程是．故选C．【题目点拨】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．12、A【解题分析】

先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项，再根据常数项为15，求得的值．【题目详解】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，由此求得，故选：．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可.【题目详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程为.故答案为：．【题目点拨】本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题.14、【解题分析】

建立直角坐标系，得出，，利用向量的数量积公式即可得出，结合，得出的最小值.【题目详解】因为，所以以点为原点，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以，又因为，所以直线的斜率为，易得，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，令，解得，所以，设点坐标为，则，则，，所以又因为，所以当时，取得最小值为．【题目点拨】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程．15、【解题分析】

设圆柱底面圆的半径为，分别表示出圆柱和圆锥的体积，利用导数求得极值点，并判断在极值点左右两侧的单调性，即可求得函数的最大值，即为容器的最大容积.【题目详解】设圆柱底面圆的半径为，圆柱体的高为，则圆柱的体积为；圆锥的高为，则圆锥的体积，所以该容器的容积为则，令，即，化简可得，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值；代入可得，故答案为：.【题目点拨】本题考查了导数在体积最值问题中的综合应用，圆柱与圆锥的体积公式应用，属于中档题.16、或【解题分析】

方程相等分为两种情况：相等或者相加等于14，计算得到答案.【题目详解】或解得：或故答案为：或【题目点拨】本题考查了组合数的计算，漏解是容易发生的错误.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2），，，；证明见解析（3）.【解题分析】

（1）根据等比数列的求和公式和极限的定义即可求解。（2）求出，可求，，的值，猜想的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明。（3）问题转化为，对于任意正整数恒成立，设，利用导数求出函数的最值即可求出的范围。【题目详解】，，，=（2），，，，猜想，理由如下，：当时，成立；：假设时成立，则，那么当时，即时，猜想也成立，故由和，可知猜想成立；（3），若恒成立，则，即，对于任意正整数恒成立，设，，令，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，，，，，，【题目点拨】本题考查了等比数列的求和公式、取极限、数学归纳法、导数求函数的最值，综合性比较强；在求参数的取值范围时可采用“分离参数法”，构造新函数，研究函数的最值。18、(1)①;②见解析;(2)见解析.【解题分析】分析：（1）(ⅰ)放回事件是独立重复试验，根据独立重复试验概率公式求结果，(ⅱ)抽到红球次数服从二项分布，根据二项分布期望与方差公式求结果，（2）先确定随机变量取法，再根据组合数求对应概率，列表可得分布列.详解：（1）抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为得黑球的概率为①所以恰2次为红色球的概率为抽全三种颜色的概率②～B(3,),则，（2）的可能取值为2，3，4，5,,，即分布列为：2345P点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解题分析】

（I）根据已知条件得到，，由此证得平面.从而证得,结合，证得平面，进而证得.（II）作出与平面所成的角，通过线面角的大小计算出有关的边长，作出二面角的平面角，解直角三角形求得二面角的正弦值.【题目详解】（Ⅰ）证明：因为平面，平面，所以．又由是梯形，，，知，而，平面，平面，所以平面．因为平面，所以．又，点是的中点，所以．因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以．（Ⅱ）解：如图所示，过作于，连接，因为平面，平面，所以，则平面，于是平面平面，它们的交线是．过作于，则平面，即在平面上的射影是，所以与平面所成的角是．由题意，．在直角三角形中，，于是．在直角三角形中，，所以．过作于，连接，由三垂线定理，得，所以为二面角的平面角，在直角三角形中，，．在直角三角形中，，所以二面角的正弦值为．【题目点拨】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查线面角的应用，考查面面角的求法，属于中档题.20、（1）（2）【解题分析】

（1）利用求出当时的通项，根据为等比数列得到的值后可得.（2）利用分组求和法可求的前项和.【题目详解】（1）因为，当时，，当时，，所以，因为数列是等比数列，所以对也成立，所以，即.（2）由（1）可得，因为，所以，所以，即.【题目点拨】（1）数列的通项与前项和的关系是，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.（2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相