2024届江苏省睢宁数学高二下期末学业水平测试试题含解析

2024届江苏省睢宁数学高二下期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设a,b,c为三角形ABC三边长，a≠1,b<c，若logc+ba+logc-bA．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定2．函数f(x)＝的图象大致为()A． B．C． D．3．下列说法错误的是A．回归直线过样本点的中心B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位D．对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小4．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．B．C．D．5．已知集合，则等于（）A． B． C． D．6．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，为坐标原点，则的面积与的面积之比为A． B． C． D．27．已知向量满足，点在线段上，且的最小值为，则的最小值为（）A． B． C． D．28．若，则等于（）A．3或4 B．4 C．5或6 D．89．由曲线，直线所围成的平面图形的面积为（）A． B． C． D．10．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A． B． C． D．11．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。若射线与曲线和曲线分别交于两点（除极点外），则等于（）A． B． C．1 D．12．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是______.14．函数的最小值是___．15．若的展开式中含项的系数为，则__________．16．将三封录取通知书投入四个邮筒共有_____________种不同的投递方式.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）若函数的导函数为偶函数，求的值；（2）若曲线存在两条垂直于轴的切线，求的取值范围18．（12分）已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求.19．（12分）甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局．(Ⅰ)求乙取胜的概率；(Ⅱ)记比赛局数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．20．（12分）（衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷）如图，在三棱柱中，侧棱底面，且，是棱的中点，点在侧棱上运动.（1）当是棱的中点时，求证：平面；（2）当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.21．（12分）某中学学生会由8名同学组成，其中一年级有2人，二年级有3人，三年级有3人，现从这8人中任意选取2人参加一项活动.（1）求这2人来自两个不同年级的概率；（2）设表示选到三年级学生的人数，求的分布列和数学期望.22．（10分）已知递增等比数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列为等差数列，且满足，，求数列的通项公式及前10项的和；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】试题分析：两边除以logc+balogc-ba考点：1.解三角形；2.对数运算.2、D【解题分析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值可区分剩余两个选项.【题目详解】因为f(－x)＝≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称，排除选项B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故选D.【题目点拨】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.3、D【解题分析】

分析：A.两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心B.两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D.正确.详解：A.两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心；B.两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D.错误，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大故选：D.点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义，线性回归方程，相关系数，以及独立性检验等，是概念辨析问题．4、B【解题分析】

根据已知条件可以把转化为即为函数在为和对应两点连线的斜率，且，是分别为时对应图像上点的切线斜率，再结合图像即可得到答案.【题目详解】，是分别为时对应图像上点的切线斜率，，为图像上为和对应两点连线的斜率，（如图）由图可知，故选：B【题目点拨】本题考查了导数的几何意义以及斜率公式，比较斜率大小，属于较易题.5、C【解题分析】

由不等式性质求出集合A、B，由交集的定义求出可得答案.【题目详解】解：可得；，可得=故选C.【题目点拨】本题考查了交集及其运算，求出集合A、B并熟练掌握交集的定义是解题的关键.6、D【解题分析】

设点位于第一象限，点，并设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出，由抛物线的定义得出点的坐标，可得出点的纵坐标的值，最后得出的面积与的面积之比为的值.【题目详解】设点位于第一象限，点，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，得，，由抛物线的定义得，得，，，，可得出，，故选：D.【题目点拨】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在直线与抛物线综合问题中的应用，解题的关键在于利用抛物线的定义以及韦达定理求点的坐标，并将三角形的面积比转化为高之比来处理，考查运算求解能力，属于中等题。7、D【解题分析】

依据题目条件，首先可以判断出点的位置，然后，根据向量模的计算公式，求出的代数式，由函数知识即可求出最值．【题目详解】由于，说明点在的垂直平分线上，当是的中点时，取最小值，最小值为，此时与的夹角为，与的夹角为，∴与的夹角为，的最小值是4，即的最小值是2.故选D.【题目点拨】本题主要考查了平面向量有关知识，重点是利用数量积求向量的模．8、D【解题分析】

根据排列数和组合数公式，化简，即可求出.【题目详解】解：由题意，根据排列数、组合数的公式，可得，，则，且，解得：.故选：D.【题目点拨】本题考查排列数和组合数公式的应用，以及对排列组合的理解，属于计算题.9、C【解题分析】

由，解得，解得，解得，所围成的平面图形的面积为，则，，故选C.10、D【解题分析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为11、A【解题分析】

把分别代入和，求得的极经，进而求得，得到答案．【题目详解】由题意，把代入，可得，把代入，可得，结合图象，可得，故选A．【题目点拨】本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12、A【解题分析】

先利用定积分计算阴影部分面积，再用阴影部分面积除以总面积得到答案.【题目详解】曲线分别是，的一部分则阴影部分面积为：总面积为：【题目点拨】本题考查了定积分，几何概型，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先由题意，得显然不是方程的根；当时，原方程可化为，令，，用导数的方法研究函数的单调性，极值，确定函数的大致形状，原方程有四个根，即等价于的图象与直线有四个不同的交点，结合图象，即可求出结果.【题目详解】当，显然不成立；当时，由得，令，，即，则，方程有四个不相等的实根等价于的图象与有四个不同的交点，当时，，则，由得，由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因此，函数的极小值为；当时，，则，由得；由得；所以在上单调递减，在上单调递增，因此函数的极大值为.画出函数的大致图象如下：由图象可得，只需.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查由函数零点个数求参数的问题，熟记分段函数的性质，导数的方法判断函数的单调性，求函数的极值等，灵活运用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.14、1【解题分析】

换元将原式化为：进而得到结果.【题目详解】令，，则，所以，即所求最小值为1.故答案为：1.【题目点拨】这个题目考查了对数型的复合函数的最值问题，研究函数最值一般先从函数的单调性入手，而复合函数的单调性，由内外层共同决定.15、2.【解题分析】分析：首先利用二项展开式的通项，求得该二项展开式的通项，之后令幂指数等于5，求得r的值，再回代，令其等于80，求得参数的值.详解：展开式的通项为，令，解得，所以有，解得，故答案是2.点睛：该题考查的是有关根据二项展开式的特定项，确定其参数的值的问题，需要熟练掌握二项展开式的通项，之后令幂指数等于相应的数，求得结果即可.16、【解题分析】

每封录取通知书放入邮筒有种不同的投递方式，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.【题目详解】由题意知，每封录取通知书放入邮筒有种不同的投递方式，由分步乘法计数原理可知，将三封录取通知书投入四个邮筒共有种不同的投递方式.故答案为：.【题目点拨】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）求出函数的导数，由于二次函数为偶函数，所以一次项系数为，进而求得a的值；（2）由题意得存在两个不同的根，转化成二次函数的判别式大于.【题目详解】（1）∵，由题因为为偶函数，∴，即（2）∵曲线存在两条垂直于轴的切线，∴关于的方程有两个不相等的实数根，∴，即，∴.∴a的取值范围为.【题目点拨】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要懂得把曲线存在两条垂直于轴的切线转化成方程有两根.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）先计算，再分别取时两个等式相减得到，计算得到.（2）先计算，，利用裂项求和得到答案.【题目详解】（1），当时，.当时，也成立.,.（2），，.【题目点拨】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用及计算能力.19、（I）316【解题分析】

(Ⅰ)乙取胜有两种情况一是乙连胜四局，二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，由互斥事件的概率公式与根据独立事件概率公式能求出乙胜概率；(Ⅱ)由题意得X=4，5，6，7，结合组合知识，利用独立事件概率公式及互斥事件的概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X的数学期望E(X).【题目详解】(Ⅰ)乙取胜有两种情况一是乙连胜四局，其概率p1二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，其概率p2∴乙胜概率为p=p(Ⅱ)由题意得X=4，5，6，7，P(X=4)=(1P(X=5)=CP(X=6)=(1P(X=7)=C所以ξ的分布列为ξ4567P1111EX=(4+5+6+7)×1【题目点拨】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20、（1）见解析；（2）.【解题分析】试题分析：（1）取线段的中点，连结．可得四边形是平行四边形，，即可证明平面；（2）以为原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法二面角的余弦值.试题解析：(1)取线段的中点，连结.∵,∴，且.又为的中点，∴,且.∴,且.∴四边形是平行四边形.∴.又平面平面,∴平面.(2)∵两两垂直，∴以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图,∵三棱柱中，平面，∴即为直线与平面所成的角.设，则由，得.∴.∴,设平面的一个法向量为，则令，得，即.又平面的一个法向量为,∴,又二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为.21、(1).(2)见解析.【解题分析】

（1）正难则反，先求这2人来自同一年级的概率，再用1减去这个概率，即为这2人来自两个不同年级的概率；（2）先求X的所有可能的取值，为0,1,2，再分别求时对应的概率P进而得到分布列，利用计算可得数学期望。【题目详解】（1）设事件表示“这2人来自同一年级”,这2人来自两个不同年级的概率为.（2）随机变量的可能取值为0,1,2,,,所以的分布列为012【题目点拨】本题考查古典概型的概率求解、离散型随机变量的分布列、数学期望的计算，属于基础