江苏省常州市戚墅堰高级中学2024届数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

江苏省常州市戚墅堰高级中学2024届数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线x2a2A．y=±2x B．y=±3x2．某食堂一窗口供应2荤3素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则两人打菜方法的种数为（）A．64 B．81 C．36 D．1003．已知数列满足，，则（）A．-1 B．0 C．1 D．24．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（）A．1 B．2 C．3 D．45．对变量x,y有观测数据(xi,yiA．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关6．若函数恰有个零点，则的取值范围为（）A． B．C． D．7．已知，，均为正实数，则，，的值（）A．都大于1 B．都小于1C．至多有一个不小于1 D．至少有一个不小于18．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）A．720种 B．520种 C．360种 D．600种9．某家具厂的原材料费支出x（单位：万元）与销售量y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则为（）x24568y2535605575A． B． C． D．510．用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（）A． B．C． D．11．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC的长为（）A． B． C．3 D．12．已知随机变量服从二项分布，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.14．已知随机变量ξ的分布列为ξ12345P0.10.20.40.20.1若η=2ξ﹣3，则η的期望为_______15．若向量，，且，则实数__________．16．用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上加上的项为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）平面四边形中，,为等边三角形，现将沿翻折得到四面体，点分别为的中点.（Ⅰ）求证：四边形为矩形；（Ⅱ）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知、分别是椭圆左、右焦点，右焦点到上顶点的距离为，若．求此椭圆的方程;直线与椭圆交于，两点，若弦的中点为求直线的方程．19．（12分）已知函数，且在和处取得极值.（I）求函数的解析式.（II）设函数，是否存在实数，使得曲线与轴有两个交点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20．（12分）已知平面直角坐标系xOy，直线l过点P0,3，且倾斜角为α，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为（1）求直线l的参数方程和圆C的标准方程；（2）设直线l与圆C交于M、N两点，若PM-PN=2，求直线21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.22．（10分）已知椭圆的离心率为，，分别是其左、右焦点，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若在直线上任取一点，从点向的外接圆引一条切线，切点为.问是否存在点，恒有？请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：∵e=因为渐近线方程为y=±bax点睛：已知双曲线方程x2a22、B【解题分析】

由题甲，乙均有两种情况，一荤一素和两素，再由分步原理可得种数。【题目详解】甲有两种情况：一荤一素，种；两素，种.故甲共有种，同理乙也有9种，则两人打菜方法的种数为种.故选B.【题目点拨】本题考查分类加法和分步乘法计数原理，属于基础题。3、A【解题分析】分析：先根据已知推算出数列的周期，再求的值.详解：，所以因为，所以点睛：（1）本题主要考查数列的递推和周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)求数列的某一项时，如果n的取值比较大，一般与数列的周期有关，所以要推算数列的周期.4、A【解题分析】

直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图像即可得出结论.【题目详解】因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得：导函数值先负后正的点只有一个，故函数在内极小值点的个数是1.故选：A【题目点拨】本题考查了极小值点的概念，需熟记极小值点的定义，属于基础题.5、C【解题分析】试题分析：由散点图1可知，点从左上方到右下方分布，故变量x与y负相关；由散点图2可知，点从左下方到右上方分布，故变量u与v正相关，故选C考点：本题考查了散点图的运用点评：熟练运用随机变量的正负相关的概念是解决此类问题的关键，属基础题6、D【解题分析】

将问题转化为与恰有个交点；利用导数和二次函数性质可得到的图象，通过数形结合可确定或时满足题意，进而求得结果.【题目详解】令，则恰有个零点等价于与恰有个交点当时，，则当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增可得图象如下图所示：若与有两个交点，则或又，即当时，恰有个零点本题正确选项：【题目点拨】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于轴的直线与曲线的交点个数的问题，利用数形结合的方式找到临界状态，从而得到满足题意的范围.7、D【解题分析】分析:对每一个选项逐一判断得解.详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则，所以选项A是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则，所以选项B是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则，所以选项C是错误的.对于选项D,假设，则，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D是正确的.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数至少有一个不小于1的否定是8、D【解题分析】

分别计算甲乙只有一人参加、甲乙都参加两种情况下的发言顺序的种数，根据分类加法计数原理加和求得结果.【题目详解】甲、乙只有一人参加，则共有：C2甲、乙都参加，则共有：C5根据分类加法计数原理可得，共有：480+120=600种发言顺序本题正确选项：D【题目点拨】本题考查排列组合综合应用问题，关键是能够通过分类的方式，分别计算两类情况的种数，属于常考题型.9、C【解题分析】

由给定的表格可知，，代入，可得．【题目详解】解：由给定的表格可知，，代入，可得．故选：．【题目点拨】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．10、B【解题分析】因为当时，等式的左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了，应选答案B．点睛：解答本题的关键是搞清楚当时，等式的左边的结构形式，当时，等式的左边的结构形式是，最终确定添加的项是什么，使得问题获解．11、D【解题分析】

在中，由，以及的值，利用余弦定理，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，在中，由，由余弦定理可得，则，故选D.【题目点拨】本题主要考查了余弦定理的应用，以及余弦定理是解答特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握余弦定理是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12、A【解题分析】

由二项分布的公式即可求得时概率值.【题目详解】由二项分布公式：.故选A.【题目点拨】本题考查二项分布的公式，由题意代入公式即可求出.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则，解得，故m的取值范围是.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.14、3【解题分析】解：Eξ=1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2Eη=2Eξ-3=315、.【解题分析】依题设，，由∥得，，解得.16、【解题分析】

分n=k和n=k+1写出等式左边的项，对比可得增加的项。【题目详解】当n=k时，左边是，当时左边是,所以增加的项为，填。【题目点拨】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）【解题分析】【试题分析】（1）先运用三角形中位线定理证得四边形为平行四边形，再借助等边三角形的性质及线面垂直的判定定理证明，进而证明，从而证明四边形为矩形；（2）先依据题设条件及面面垂直的性质定理证明平面，再建立空间直角坐标系，运用空间向量的数量积公式求出平面的一个法向量.进而求出直线与平面所成角的正弦值：解：（Ⅰ）∵点分别为的中点，∴且，∴四边形为平行四边形.取的中点，连结.∵为等腰直角三角形，为正三角形，∴,∴平面.又∵平面，∴，由且可得，∴四边形为矩形.（Ⅱ）由平面分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.依题意，设，则，∴.设为平面的一个法向量，则有令，则.∴直线与平面所成角的正弦值.点睛：解答本题的第一问时，先运用三角形中位线定理证得四边形为平行四边形，再借助等边三角形的性质及线面垂直的判定定理证明，进而证明，从而证明四边形为矩形；解答地二问时先依据题设条件平面平面及面面垂直的性质定理证明平面，再建立空间直角坐标系求解．18、；.【解题分析】

由已知条件得，由此求出椭圆方程；设，，再结合弦的中点为，求直线的方程.【题目详解】由题意得，所以，所以．设，，，两点在椭圆上，，，弦的中点为，，，，直线的方程为，即.【题目点拨】本题考查椭圆方程和直线方程的求法，属于中档题.19、(1)（2）存在，且或时，使得曲线与轴有两个交点.【解题分析】试题分析：解：（1），因为在和处取得极值，所以和是＝0的两个根，则解得经检验符合已知条件故（2）由题意知，令得，或，随着变化情况如下表所示：

1

（1，3）

3

－

0

+

0

－

递减

极小值

递增

极大值

递减

由上表可知：极大值＝，又取足够大的正数时，；取足够小的负数时，，因此，为使曲线与轴有两个交点，结合的单调性，得：，∴或，即存在，且或时，使得曲线与轴有两个交点.考点：导数的运用点评：根据导数的符号判定函数的单调性是解题的关键，同时能利用其极值于x轴的关系的求解交点问题，属于中档题．20、（1）直线l的参数方程为x=tcosαy=3+tsinα（t为参数），圆C【解题分析】

（1）根据直线参数方程的几何意义得出参数方程，根据极坐标与直角坐标的关系化简得出圆的标准方程；（2）把直线l的参数方程代入圆的标准方程，根据参数的几何意义及根与系数的关系得出α．【题目详解】（1）因为直线l过点P(0,3)，且倾斜角为所以直线l的参数方程为x=tcosαy=3+tsinα因为圆C的极坐标方程为ρ2所以ρ2所以圆C的普通方程为：x2圆C的标准方程为：(x-1)2（2）直线l的参数方程为x=tcosαy=3+tsinα，代入圆C整理得t2设M、N两点对应的参数分别为t1、t2，则△>0恒成立，t1所以|PM|-|PN|=t1因为0≤α<π，所以α=π4或【题目点拨】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．21、（1），；（2）.【解题分析】分析：（1）消去参数可以求出直线的普通方程，由，，能求出曲线的直角坐标方程；（2）设动点坐标，利用点到直线距离公式和三角函数的辅助角公式，确定