2024届浙江省杭州市塘栖中学高二数学第二学期期末统考试题含解析

2024届浙江省杭州市塘栖中学高二数学第二学期期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，，则的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形2．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（）A．70种 B．140种 C．420种 D．840种3．若复数满足，则复数为（）A． B． C． D．4．已知，则（）A．0.6 B．3.6 C．2.16 D．0.2165．已知函数则函数的零点个数为（）个A．1 B．2 C．3 D．46．若函数的图象的顶点在第一象限，则函数的图像是（）A． B．C． D．7．为了落实中央提出的精准扶贫政策，永济市人力资源和社会保障局派人到开张镇石桥村包扶户贫困户，要求每户都有且只有人包扶，每人至少包扶户，则不同的包扶方案种数为（）A． B． C． D．8．下列四个函数中，在区间上是减函数的是（）A． B． C． D．9．若函数f(x)＝(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝的图象是()A． B． C． D．10．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A． B． C． D．11．复数的共轭复数所对应的点位于复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知点A0,2，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若FMA．18B．14C．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数在区间上为单调增函数，则的取值范围是__________．14．定义在上的偶函数满足且在[—1，0]上是增函数，给出下列关于的判断:①是周期函数；②关于直线对称；③是[0，1]上是增函数；④在[1，2]上是减函数；⑤.其中正确的序号是_________.15．已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4，且在双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为______.16．已知函数，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.(1)若曲线与曲线在点处的切线方程相同，求实数的值；(2)若恒成立，求证：当时，.18．（12分）已知椭圆C：与圆M：的一个公共点为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C交于A、B两点，且A是线段MB的中点，求的面积．19．（12分）如图，在以为顶点的多面体中，面，，，，，（Ⅰ）请在图中作出平面，使得平面，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面.20．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，1为半径.（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程.（2）设直线l与圆C相交于AB两点，求.21．（12分）已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2）求曲线在点处的切线方程．22．（10分）四棱锥中，底面是中心为的菱形，，．（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．【题目详解】因为,，所以，有．整理得，故,的形状为直角三角形．故选：B．【题目点拨】余弦的二倍角公式有三个，要根据不同的化简需要进行选取．．在判断三角形形状的方法中，一般有，利用正余弦定理边化角，角化边，寻找关系即可2、C【解题分析】

将情况分为2男1女和2女1男两种情况，相加得到答案.【题目详解】2男1女时：C52女1男时：C共有420种不同的安排方法故答案选C【题目点拨】本题考查了排列组合的应用，将情况分为2男1女和2女1男两种情况是解题的关键.3、D【解题分析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【题目详解】由，

得．

故选D．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．4、B【解题分析】

根据二项分布的期望的计算公式求解即可得到结果．【题目详解】∵，∴．故选B．【题目点拨】本题考查二项分布的期望，解题的关键是熟记此类分布期望的计算公式，属于基础题．5、B【解题分析】画出函数的图像如图，由可得，则问题化为函数与函数的图像的交点的个数问题。结合图像可以看出两函数图像的交点只有两个，应选答案B。点睛：解答本题的关键是依据题设条件，在平面直角坐标系中画出函数的图像，借助图像的直观将方程的解的个数问题等价转化为两个函数的图像的交点的个数问题，体现了等价转化与化归的数学思想及数形结合的数学思想的灵活运用。6、A【解题分析】

求导，根据导函数的性质解题。【题目详解】，斜率为正，排除BD选项。的图象的顶点在第一象限其对称轴大于0即b<0,选A【题目点拨】本题考查根据已知信息选导函数的大致图像。属于简单题。7、C【解题分析】

先分组再排序，可得知这人所包扶的户数分别为、、或、、，然后利用分步计数原理可得出所求方案的数目.【题目详解】由题意可知，这人所包扶的户数分别为、、或、、，利用分步计数原理知，不同的包扶方案种数为，故选C.【题目点拨】本题考查排列组合的综合问题，考查分配问题，求解这类问题遵循先分组再排序的原则，再分组时，要注意平均分组的问题，同时注意分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8、D【解题分析】

逐一对四个选项的函数进行判断，选出正确答案.【题目详解】选项A:因为底数大于1，故对数函数在区间上是增函数；选项B::因为底数大于1，故指数函数在区间上是增函数；选项C:因为指数大于零，故幂函数在区间上是增函数；选项D;反比例函数当比例系数大于零时，在每个象限内是减函数，故在区间上是减函数，故本题选D.【题目点拨】本题考查了指对幂函数的单调性问题，熟练掌握指对幂函数的单调性是解题的关键.9、C【解题分析】本题考查指数型函数的奇偶性，单调性；对数函数的图像及图像的平移变换.因为是奇函数，所以恒成立，整理得：恒成立，所以则又函数在R上是增函数，所以于是函数的图像是由函数性质平移1个单位得到.故选C10、B【解题分析】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.11、C【解题分析】

通过化简，于是可得共轭复数，判断在第几象限即得答案.【题目详解】根据题意得，所以共轭复数为，对应的点为，故在第三象限，答案为C.【题目点拨】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度不大.12、C【解题分析】试题分析：设,是点到准线的距离，,|FM||MN|=55,即,那么,即直线的斜率是-2，所以，解得，故选C．考点：抛物线的简单性质【思路点睛】此题考察抛物线的性质，和数形结合思想的考察，属于偏难点的基础题型，对于抛物线的考察不太同于椭圆和双曲线，对应抛物线的基础题型，当图形中有点到焦点的距离，就一定联想到点到准线的距离，再跟据平面几何的关系分析，比如此题，|FM||MN|=55，转化为，那分析图像等于知道的余弦值，也就知道了直线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、[1，＋∞)【解题分析】函数在区间上为单调增函数等价于导函数在此区间恒大于等于0，故14、①②⑤.【解题分析】,周期为2,,又，所以f(x)关于直线x=1对称，又因为f(x)为偶函数，在[-1，0]是增函数，所以在[0,1]上是减函数，由于f(x)在[1,2]上的图像与[-1,0]上的相同，因而在[1,2]也是增函数，综上正确的有①②⑤.15、8【解题分析】

双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4,可得的值，由条件以为圆心，2为半径的圆与双曲线仅有1个交点.由双曲线和该圆都是关于轴对称的，所以这个点只能是双曲线的右顶点.即，根据可求得答案.【题目详解】由题意可得双曲线的一条渐近线方程为，由焦点到渐近线的距离为4，即，即.双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个,即以为圆心，2为半径的圆与双曲线仅有1个交点.由双曲线和该圆都是关于轴对称的，所以这个点只能是双曲线的右顶点.所以，又即，即，所以.所以双曲线的右顶点到左焦点的距离为.所以这个点到双曲线的左焦点的距离为8.故答案为：8【题目点拨】本题考查双曲线的性质，属于中档题.16、1【解题分析】

先求内层函数的值，解得函数值为2，再将2代入求值即可【题目详解】当时，满足对应的表达式，先求内层函数，当时，满足对应的表达式，再求，所以【题目点拨】分段函数求值问题需注意先求解内层函数，再依次求解外层函数，每一个括号内对应的值都必须在定义域对应的区间内进行求值三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)，.(2)答案见解析。【解题分析】试题分析：(1)由题意得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得，.(2)由题意结合恒成立的结论分类讨论即可证得题中的结论.试题解析：(1)由，.得，解得，.(2)证明：设，则，①当时，，函数在上单调递增，不满足恒成立.②当时，令，由，得，或(舍去)，设，知函数在上单调递减，在上单调递增，故，即，得.又由，得，所以，令，.当时，，函数单调慈善当时，，函数单调递增；所以，即，故当时，得.18、(1)；(2)【解题分析】

（1）将公共点代入椭圆和圆方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）设过点M（0，﹣2）的直线l的方程为y＝kx﹣2，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式可得所求值．【题目详解】（1）由题意可得1，（b2﹣1）2，解得a2＝3，b2＝2，则椭圆方程为1；（2）设过点M（0，﹣2）的直线l的方程为y＝kx﹣2，联立椭圆方程2x2+3y2＝6，可得（2+3k2）x2﹣12kx+6＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2，A是线段MB的中点，可得x2＝2x1，解得k2，x12，可得△OAB的面积为•2•|x1﹣x2|＝|x1|．【题目点拨】本题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与圆锥曲线位置关系，其中联立直线方程和圆锥曲线方程，运用韦达定理，是解题的常用方法．19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解题分析】

（Ⅰ）取中点，连接，则平面即为所求平面；根据长度关系和平行关系可知四边形是平行四边形，得；又，利用线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得平面平面，根据面面平行性质可证得结论；（Ⅱ）易知是边长为的正三角形，从而根据角度关系可求得，结合，可利用线面垂直判定定理证得结论.【题目详解】（Ⅰ）如图，取中点，连接，则平面即为所求平面理由如下：，且四边形是平行四边形平面，平面平面，平面，平面平面平面，平面，且平面平面平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）四边形是平行四边形，则，是边长为的正三角形，，即平面，平面平面，平面，平面【题目点拨】本题考查线面平行和面面平行判定定理与性质定理的应用、线面垂直关系的证明问题，考查学生对于基础定理的掌握情况，属于常考题型.20、（1）直线的参数方程为（t为参数），圆的极坐标方程为；（2）.【解题分析】

（1）首先根据直线的点和倾斜角即可求出直线的参数方程，再根据圆的圆心坐标及半径可求出圆的直角坐标方程，再转化为极坐标方程即可.（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，再利用直线参数方程的几何意义即可求出的值.【题目详解】（1）直线的参数方程为（为参数），∵M的直角坐标为，圆的直角坐标方程为，即，∴圆的极坐标方程为；（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，化简得：，，.【题目点拨】本题第一问考查了直线的参数方程和圆的极坐标方程，第二问考查了直线的参数方程的几何意义，属于中档题.21、（1）极大值为，极小值为（2）【解题分析】

试题分析