2024届湖南省岳阳市岳阳县高二数学第二学期期末调研试题含解析

2024届湖南省岳阳市岳阳县高二数学第二学期期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数和偶函数,使得函数是偶函数；命题2：存在函数、及区间，使得、在上均是增函数,但在上是减函数；命题3：存在函数、（定义域均为），使得、在处均取到最大值，但在处取到最小值.那么真命题的个数是()．A． B． C． D．2．曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．3．已知，则下列结论正确的是A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是偶函数4．若满足约束条件，则的最大值为（）A．9 B．5 C．11 D．35．设，若直线与圆相切，则的取值范围是（）A． B．C． D．6．在等差数列中，已知，数列的前5项的和为，则（）A． B． C． D．7．已知函数，则使得成立的的解集为（）A． B． C． D．8．若曲线在处的切线，也是的切线，则（）A． B．1 C．2 D．9．关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（）A．平行直线的斜二测图仍是平行直线B．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变C．正三角形的直观图一定为等腰三角形D．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同10．函数导数是()A． B． C． D．11．已知随机变量，则参考数据：若，A．0.0148 B．0.1359 C．0.1574 D．0.3148.12．随机变量服从正态分布，且.已知，则函数图象不经过第二象限的概率为()A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.2000二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数，且在上有最大值，则最大值为_____．14．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝4，则异面直线AB与CD的夹角为_____．15．双曲线的渐近线方程为16．某超市国庆大酬宾，购物满100元可参加一次游戏抽奖活动，游戏抽奖规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处，小球自由落下过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋得奖金4元，落入B袋得奖金8元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为.已知李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士的活动奖金期望值为_____元.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，三个内角的对边分别为．（1）若是的等差中项，是的等比中项，求证：为等边三角形；（2）若为锐角三角形，求证：．18．（12分）已知函数，(1)若，证明：函数是上的减函数；(2)若曲线在点处的切线不直线平行，求a的值；(3)若，证明：(其中…是自然对数的底数)．19．（12分）已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点，求抛物线的方程和双曲线的方程．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，且.（I）求直线的方程；（II）已知过右焦点的动直线与椭圆交于不同两点，是否存在轴上一定点，使？（为坐标原点）若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由.21．（12分）用数学归纳法证明.22．（10分）某地方政府召开全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前、后生产的大量产品中各抽取了200件作为样本，检测一项质量指标值．若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图所示的是设备改造前样本的频率分布直方图．（1）若设备改造后样本的该项质量指标值服从正态分布，求改造后样本中不合格品的件数；（2）完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量标值与设备改造有关．0设备改造前设备改造后合计合格品件数不合格品件数合计附参考公式和数据：若，则，．0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】对于命题1，取，，满足题意；对于命题2，取，，满足题意；对于命题3，取，，满足题意；即题中所给的三个命题均为真命题，真命题的个数是.本题选择D选项.2、C【解题分析】

求导，把分别代入导函数和原函数，得到斜率和切点，再计算切线方程.【题目详解】将代入导函数方程，得到将代入曲线方程，得到切点为：切线方程为：故答案选C【题目点拨】本题考查了曲线的切线，意在考查学生的计算能力.3、A【解题分析】因为，所以，又，故，即答案C，D都不正确；又因为，所以应选答案A．4、A【解题分析】

先作出不等式组所表示的可行域，然后平移直线，观察直线在轴上的截距取最大值时对应的最优解，将最优解代入函数即可得出答案。【题目详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，得，点的坐标为，平移直线，当该直线经过点，它在轴上的截距取最大值，此时，取最大值，即，故选：A.【题目点拨】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，解题思路就是作出可行域，平移直线观察在坐标轴上的截距变化寻找最优解，是常考题型，属于中等题。5、C【解题分析】分析：由直线与圆相切，得，从而，进而，由此能求出的取值范围.详解：，直线与圆相切，圆心到直线的距离，解得，，，，的取值范围是.故选C.点睛：本题考查代数和取值范围的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.6、C【解题分析】

由，可求出，结合，可求出及.【题目详解】设数列的前项和为，公差为，因为，所以，则，故.故选C.【题目点拨】本题考查了等差数列的前项和，考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题.7、A【解题分析】

由已知可得：是偶函数，当时，在为增函数，利用的单调性及奇偶性将转化成：，解得：，问题得解.【题目详解】因为所以是偶函数.当时，又在为增函数，在为减函数所以在为增函数所以等价于，解得：故选：A【题目点拨】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的应用，还考查了转化思想及函数单调性的判断，属于中档题。8、C【解题分析】

求出的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为（m，n），得的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m，n，进而得到b的值．【题目详解】函数的导数为y＝ex，曲线在x＝0处的切线斜率为k＝=1，则曲线在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x；函数的导数为y＝，设切点为（m，n），则＝1，解得m＝1，n＝1，即有1＝ln1+b，解得b＝1．故选A．【题目点拨】本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题．9、C【解题分析】

根据斜二测画法的特征，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【题目详解】解：对于A，平行直线的斜二测图仍是平行直线，A正确；对于B，斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变，B正确；对于C，正三角形的直观图不一定为等腰三角形，如图所示；∴C错误；对于D，画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同，D正确．故选：C．【题目点拨】本题考查了斜二测画法的特征与应用问题，是基础题．10、A【解题分析】

根据导数的基本公式和运算法则求导即可．【题目详解】，故选：A．【题目点拨】本题考查了导数的基本公式和运算法则，属于基础题．11、B【解题分析】

根据正态分布函数的对称性去分析计算相应概率.【题目详解】因为即，所以，，又，，且，故选：B.【题目点拨】本题考查正态分布的概率计算，难度较易.正态分布的概率计算一般都要用到正态分布函数的对称性，根据对称性，可将不易求解的概率转化为易求解的概率.12、C【解题分析】图象不经过第二象限，，随机变量服从正态分布，且，函数图象不经过第二象限的概率为，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果.【题目详解】因为，所以，因此，解得，所以，由得或；由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；所以当时，取极大值，由得或；又在上有最大值，所以只需.故答案为3【题目点拨】本题主要考查导数的应用，由函数在给定区间有最大值求参数，只需利用导数的方法研究函数单调性，即可求解，属于常考题型.14、【解题分析】

取的中点，连接，根据等腰三角形的性质可得，，再根据直线与平面垂直的判定定理可得平面，然后根据直线与平面垂直的性质可得，从而可得答案.【题目详解】如图所示：取的中点，连接，因为，为的中点，所以，因为，为的中点，所以，又，所以平面，因为平面，所以，所以异面直线与所成的角为.故答案为：【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质，考查了直线与平面垂直的判定定理和性质，属于基础题.15、【解题分析】试题分析：由双曲线方程可知渐近线方程为考点：双曲线方程及性质16、5【解题分析】

先记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，分别求出其对应概率，再由题意得到抽取活动奖金的可能取值，进而可求出结果.【题目详解】记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，由题意可得，所以.因为李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士可参加一次抽奖，抽取活动奖金的可能取值为，所以期望为.故答案为5【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记概念即可，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）由是的等差中项可得，由是的等比中项，结合正弦定理与余弦定理即可得到，由此证明为等边三角形；（2）解法1：利用分析法，结合锐角三角形的性质即可证明；解法2：由为锐角三角形以及三角形的内角和为，可得，利用公式展开，进行化简即可得到．【题目详解】（1）由成等差数列，有①因为为的内角，所以②由①②得③由是的等比中项和正弦定理得，是的等比中项，所以④由余弦定理及③，可得再由④，得即，因此从而⑤由②③⑤，得所以为等边三角形．（2）解法1：要证只需证因为、、都为锐角，所以，故只需证：只需证：即证：因为，所以要证：即证：即证：因为为锐角，显然故原命题得证，即．解法2：因为为锐角，所以因为所以，即展开得：所以因为、、都为锐角，所以，所以即【题目点拨】本题考查正余弦定理、等差等比的性质，锐角三角形的性质，熟练掌握定理是解决本题的关键．18、（I）详见解析；（II）；（III）详见解析.【解题分析】试题分析：(1)由题意二次求导可得，函数是上的减函数.(2)利用题意由导函数研究函数的切线得到关于a的方程，解方程可得.(3)原不等式等价于，结合(1)的结论构造函数，令，可证得．试题解析：（Ⅰ）当时，函数的定义域是，所以，令，只需证：时，．又，故在上为减函数，所以，所以，函数是上的减函数．（Ⅱ）由题意知，，且，所以，即有，令，，则，故是上的增函数，又，因此是的唯一零点，即方程有唯一实根，所以．（Ⅲ）因为，故原不等式等价于，由（Ⅰ）知，当时，是上的减函数，故要证原不等式成立，只需证明：当时，，令，则，在上的增函数，所以，即，故，即．19、,.【解题分析】试题分析：首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过，求出c、p的值，进而结合双曲线的性质即可求解．试题解析：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，∵点P在抛物线上，∴6＝2p×.∴p＝2，∴所求抛物线的方程为y2＝4x.∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1.又点P在双曲线上，∴，解方程组,得或(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x2－＝1.20、（1）或；（2）【解题分析】

（I）解法一：直线方程与椭圆方程联立化为一元二次方程，利用弦长公式即可得出．解法二：利用焦半径公式可得．（II）II）设l2的方程为与椭圆联立：．假设存在点T（t，0）符合要求，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．∠OTP=∠OTQ，再利用根与系数的关系即可得出．【题目详解】解：（I）设的方程为与椭圆联立得直线经过椭圆内一点，故恒成立，设，则，，解得，的方程为或；解2：由焦半径公式有，解得.（II）设的方程为与椭圆联立：，由于过椭圆内一点，假设存在点符合要求，设，韦达定理：，点在直线上有，即，，解得.【题目点拨】解决解析几何中探索性问题的方法存在性问题