2024届湖南省衡阳八中、澧县一中数学高二下期末经典模拟试题含解析

2024届湖南省衡阳八中、澧县一中数学高二下期末经典模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．己知某物体的温度θ（单位：摄氏度）随时间t（单位：分钟）的变化规律是θ＝m·2t+（t≥0，m＞0），若物体的温度总不低于2摄氏度，则实数m的取值范围是（）A．[，+∞） B．[，+∞） C．[，+∞） D．（1，+∞]2．若集合，，则有（）A． B． C． D．3．是虚数单位，若，则的值是（）A． B． C． D．4．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．5．函数f（x）是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f（2）=0，则使f（x）<0的x的取值范围（）A．（－∞，2） B．（2，+∞）C．（－∞，-2）∪（2，+∞） D．（－2，2）6．设，，，则大小关系是()A． B．C． D．7．若随机变量的数学期望，则的值是()A． B． C． D．8．用数学归纳法证明不等式“（，）”的过程中，由推导时，不等式的左边增加的式子是（）A． B．C． D．9．已知函数fx在R上可导，且fx=A．-2 B．2 C．4 D．-410．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：气温（℃）181310-1用电量（度）24343864由表中数据得到线性回归方程y=-2x+a，当气温为A．68度 B．52度 C．12度 D．28度11．若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．12．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为()A．a≥3B．a>3C．a≤3D．a<3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有____种．14．设向量与，共线，且，，则________．15．复数（是虚数单位）的虚部是______．16．由0，1，2，…，9十个数字组成的无重复数字的三位数共______个三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数．(1)当时，求函数的值域；(2)若，求实数的取值范围．18．（12分）已知为虚数单位，复数满足，（1）求．（2）在复平面内，为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若是直角，求实数的值．19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，单位圆上存在两点，满足均与轴垂直，设与的面积之和记为．若，求的值；若对任意的，存在，使得成立，且实数使得数列为递增数列，其中求实数的取值范围．20．（12分）设函数f（x）=，求函数f（x）的单调区间．21．（12分）已知.（1）讨论的单调性；（2）若，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数，将的图象向右平移两个单位长度，得到函数的图象．（1）求函数的解析式；（2）若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围；（3）若函数与的图象关于直线对称，设，已知对任意的恒成立，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

直接利用基本不等式求解即可．【题目详解】由基本不等式可知，，当且仅当“m•2t＝21﹣t”时取等号，由题意有，，即，解得．故选：C．【题目点拨】本题考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于基础题．2、B【解题分析】分析：先分别求出集合M和N，由此能求出M和N的关系.详解：，，故.故选：B.点睛：本题考查两个集合的包含关系的判断，考查指数函数、一元二次函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.3、C【解题分析】

4、C【解题分析】

构造函数，利用导数判断出函数的单调性，将不等式变形为，结合函数的单调性可解出该不等式.【题目详解】构造函数，则，所以，函数在上单调递减，由，可得，即，解得，因此，不等式的解集为，故选C.【题目点拨】本题考查利用导数求解函数不等式，解决这类不等式的基本步骤如下：（1）根据导数不等式的结构构造新函数；（2）利用导数研究函数的单调性，必要时要考查该函数的奇偶性；（3）将不等式转化为的形式，结合函数的单调性进行求解.5、D【解题分析】

根据偶函数的性质,求出函数在(－∞，0]上的解集,再根据对称性即可得出答案.【题目详解】由函数为偶函数,所以,又因为函数在(－∞，0]是减函数,所以函数在(－∞，0]上的解集为,由偶函数的性质图像关于轴对称,可得在(0,+∞)上的解集为(0,2),综上可得,的解集为(-2,2).故选:D.【题目点拨】本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.6、A【解题分析】

根据三个数的特征，构造函数，求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可以判断出的大小关系.【题目详解】解:考查函数，则，在上单调递增，，，即，，故选A.【题目点拨】本题考查了通过构造函数，利用函数的单调性判断三个数大小问题，根据三个数的特征构造函数是解题的关键.7、C【解题分析】分析：由题意结合二项分布数学期望的计算公式求解实数p的值即可.详解：随机变量则的数学期望，据此可知：，解得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项分布的数学期望公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、D【解题分析】

把用替换后两者比较可知增加的式子．【题目详解】当时，左边，当时，左边，所以由推导时，不等式的左边增加的式子是，故选：D.【题目点拨】本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的概念是解题基础．从到时，式子的变化是数学归纳法的关键．9、A【解题分析】

求导后代入x=1可得关于f'1【题目详解】由fx=令x=1，则f'1本题正确选项：A【题目点拨】本题考查导数值的求解，关键是能够根据导数运算法则得到导函数的解析式，属于基础题.10、A【解题分析】由表格可知x=10，y=40，根据回归直线方程必过(x,y)得a11、D【解题分析】

对，利用分析法证明；对，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对，考虑的情况；对，利用同向不等式的可乘性.【题目详解】对，，因为大小无法确定，故不一定成立；对，当时，才能成立，故也不一定成立；对，当时不成立，故也不一定成立；对，，故一定成立.故选：D.【题目点拨】本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.12、A【解题分析】∵f(x)=x3−ax−1，∴f′(x)=3x2−a，要使f(x)在(−1,1)上单调递减，则f′(x)⩽0在x∈(−1,1)上恒成立，则3x2−a⩽0，即a⩾3x2，在x∈(−1,1)上恒成立，在x∈(−1,1)上，3x2<3，即a⩾3，本题选择A选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、60【解题分析】试题分析：每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种.考点：排列组合.14、-3【解题分析】

根据向量共线的坐标表示即可求解.【题目详解】，,且，共线，即．故答案为：【题目点拨】本题主要考查了向量共线的坐标运算，属于容易题.15、【解题分析】

分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数,即可求得虚部.【题目详解】复数的虚部是:.故答案为:.【题目点拨】本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题.16、648【解题分析】

首先考虑百位不为，得到百位的情况数，再利用排列得到十位与个位的情况数，通过分步计数原理，得到答案.【题目详解】因为百位不能为，所以百位共有种情况，再在剩下的个数中，任选个安排在十位与个位，有种情况，根据分步计数原理可得，符合要求的三位数有个.故答案为：.【题目点拨】本题考查排列的应用，分步计数原理，属于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)【解题分析】

(1)当时，，求导，可知函数在上单调递增，即可求出的值域；(2)根据已知可得，对分类讨论：当时，不等式恒成立；当时，，令，只需即可，求导可得，令，则，即可得，从而可得，从而可得．【题目详解】(1)当时，，所以所以在上单调递增，最小值为，最大值为，所以的值域为．(2)由，得，①当时，不等式恒成立，此时；②当时，，令，则，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以，所以综上可得实数的取值范围．【题目点拨】本题主要考查导数在研究函数中的应用，同时考查恒成立及分类讨论的思想，属于中档题．18、（1）z＝3+4i；（2）c＝8【解题分析】

（1）设，由，进行计算化简，得到关于的方程组，解得答案；（2）代入（1）中求出的，然后由∠AOB是直角，得到，得到关于的方程，求出的值.【题目详解】（1）设，由，得，∴，解得．∴；（2）由题意，的坐标分别为∴，，∵是直角，∴，即．【题目点拨】本题考查复数的运算，复数模长的表示，向量垂直的坐标表示，属于简单题.19、（1）或（2）【解题分析】

（1）运用三角形的面积公式和三角函数的和差公式，以及特殊角的函数值，可得所求角；（2）由正弦函数的值域可得的最大值，再由基本不等式可得的最大值，可得的范围，再由数列的单调性，讨论的范围，即可得到的取值范围．【题目详解】依题意，可得，由，得，又，所以．由得因为，所以，所以，当时，，（当且仅当时，等号成立）又因为对任意，存在，使得成立，所以，即，解得，因为数列为递增数列，且，所以，从而，又，所以，从而，又，①当时，，从而，此时与同号，又，即，②当时，由于趋向于正无穷大时，与趋向于相等，从而与趋向于相等，即存在正整数，使，从而，此时与异号，与数列为递增数列矛盾，综上，实数的取值范围为．【题目点拨】本题主要考查了三角函数的定义，三角函数的恒等变换，以及不等式恒成立，存在性问题解法和数列的单调性的判断和运用，试题综合性强，属于难题，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力．20、单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0，1]【解题分析】

先求出f(x)的导数f′(x)，令f′(x)=0，得出零点．讨论零点两侧导数正负即可解出答案（注意定义域）【题目详解】解：f′(x)＝－ex＋ex＝ex，由f′(x)＝0，得x＝1.因为当x＜0时，f′(x)＜0；当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0，1]．【题目点拨】本题主要考察利用导数求函数单调区间，属于基础题．21、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解题分析】试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式可得，当时，，在上单调递增；当时，由导函数的符号可知在单调递减；在单调递增.（Ⅱ）构造函数，问题转化为在上恒成立，求导有，注意到.分类讨论：当时，不满足题意.当时，，在上单调递增；所以，满足题意.则实数的取值范围是.试题解析：（Ⅰ），当时，，.∴在上单调递增；当时，由，得.当时，；当时，.所以在单调递减；在单调递增.（Ⅱ）令，问题转化为在上恒成立，，注意到.当时，，，因为，所以，，所以存在，使，当时，，递减，所以，不满足题意.当时，，当时，，，所以，在上单调递增；所以，满足题意.综上所述：.22、（1）（2）（3）【解题分析】【试题分析】（1）借助平移的知识可直接求得函数解析式；（2）先换元将问题进行等价转化为有且只有一个根，再构造二次函数运用函数方程思想建立不等式组分析求解；（3）先依据题设条件求出函数的解析式，再运用不等式恒成立求出函数的最小值：解